1、1第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)新 知 初 探 1点与椭圆的位置关系点 P(x0， y0)与椭圆 1( ab0)的位置关系：x2a2 y2b2点 P在椭圆上 1；点 P在椭圆内部 1.x20a2 y20b22直线与椭圆的位置关系直线 y kx m与椭圆 1( ab0)的位置关系，判断方法：x2a2 y2b2联立Error! 消 y得一元二次方程当 0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当 0 时，方程有一解，直线与椭圆相切；当 0，直线与椭圆相交；5 5当 m 或 m 时， 0，直线与椭圆相切；5 5当 m 时， 0直线与椭圆相交； 0直线与椭圆相切； b0)上的两个不同的点， M(x0
2、， y0)是线段 AB的中点，y2b2则Error!由，得 (x x ) (y y )0，变形得1a2 21 2 1b2 21 2 ，即 kAB . y1 y2x1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 x0y0 b2x0a2y0活学活用已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，点(2， )在 C上x2a2 y2b2 22 2(1)求 C的方程；(2)直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴， l与 C有两个交点 A， B，线段 AB的中点为M.证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有 ， 1，a2 b2a 22 4a2 2b2解得 a28， b24.所以
3、C的方程为 1.x28 y24(2)证明：法一：设直线 l： y kx b(k0， b0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，M(xM， yM)将 y kx b代入 1，得(2 k21) x24 kbx2 b280.x28 y24故 xM ， yM kxM b .x1 x22 2kb2k2 1 b2k2 15于是直线 OM的斜率 kOM ，yMxM 12k即 kOMk .12所以直线 OM的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值法二：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)，则Error!得 0， x1 x2 x1 x28 y1 y2 y1 y24 kAB .y1
4、 y2x1 x2 4 x1 x28 y1 y2 12 xMyM又 kO M ， kABkOM .yMxM 12直线 OM的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值与椭圆有关的综合问题典例 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C： 1( ab0)的离心率 e ，且点x2a2 y2b2 22P(2,1)在椭圆 C上(1)求椭圆 C的方程；(2)斜率为1 的直线与椭圆 C相交于 A， B两点，求 AOB面积的最大值解 (1)由题意得Error!Error!椭圆 C的方程为 1.x26 y23(2)设直线 AB的方程为 y x m，联立Error! 得 3x24 mx2 m260，Error!| AB| |x1
5、 x2| ，1 1 243 9 m2原点到直线的距离 d .|m|2 S OAB 12 43 9 m2 |m|2 .23 9 m2 m2 23 9 m2 m22 3226当且仅当 m 时，等号成立，322 AOB面积的最大值为 .322求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 活学活用已知椭圆 C的方程为 1( ab0)，左、右焦点分别是 F1， F2，若椭圆 C上的x2a2 y2b2点 P 到 F1，
6、F2的距离和等于 4.(1，32)(1)写出椭圆 C的方程和焦点坐标；(2)直线 l过定点 M(0,2)，且与椭圆 C交于不同的两点 A， B，若 AOB为锐角( O为坐标原点)，求直线 l的斜率 k的取值范围解：(1)由题意得 2a4，得 a2，又点 P 在椭圆 1上，(1，32) x2a2 y2b2 1，解得 b21.14 34b2椭圆 C的方程为 y21，x24焦点 F1( ，0)， F2( ，0)3 3(2)由题意得直线 l的斜率存在且不为 0，设 l： y kx2，代入 y21，整理得x24(14 k2)x216 kx120， (16 k)24(14 k2)1216(4 k23)0，
7、得 k2 .设34A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 ， x1x2 .16k1 4k2 121 4k2 AOB为锐角，cos AOB0，则 x1x2 y1y20，OA OB 又 y1y2( kx12)( kx22)7 k2x1x22 k(x1 x2)4， x1x2 y1y2(1 k2)x1x22 k(x1 x2)4(1 k2) 2 k 4121 4k2 ( 16k1 4k2) 0，4 4 k21 4k2 k2b0)的焦点 F(c,0)的弦中最短弦长是( )x2a2 y2b2A. B.2b2a 2a2bC. D.2c2a 2c2b解析：选 A 最短弦是过焦点 F(c,0)且与
8、焦点所在直线垂直的弦将点( c， y)的坐标代入椭圆 1，得 y ，故最短弦长是 .x2a2 y2b2 b2a 2b2a3若直线 kx y30 与椭圆 1 有两个公共点，则实数 k的取值范围是( )x216 y24A.(54， 54)B.54， 548C. ( ， 54) (54， )D. ( ， 54) ( 54， 54)解析：选 C 由Error!得(4 k21) x224 kx200，当 16(16 k25)0，即 k或 k0，0b0)过点(0,4)，离心率为 .x2a2 y2b2 35(1)求 C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C所截线段的中点坐标45解：(1)将(0
9、,4)代入 C的方程得 1， b4.16b2又 e ，得 ，即 1 ，ca 35 a2 b2a2 925 16a2 925 a5， C的方程为 1.x225 y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y (x3)45 45设直线与 C的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线方程 y (x3)代入 C的方程，45得 1，即 x23 x80，解得 x1 x23， AB的中点坐标 x0 x225 x 3 225 x1 x22， y0 (x1 x26) ，即中点坐标为 .32 y1 y22 25 65 (32， 65)10.如图，已知椭圆 1( ab0)， F1， F2分别
10、为椭圆的左、x2a2 y2b2右焦点， A为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且 2 ，求椭圆的方程AF2 F2B 解：(1)若 F1AB90，则 AOF2为等腰直角三角形所以有| OA| OF2|，即 b c.所以 a c， e .2ca 22(2)由题知 A(0， b)， F2(1,0)，设 B(x， y)，由 2 ，解得 x ， y .代入 1，得 1，即 1，AF2 F2B 32 b2 x2a2 y2b294a2b24b2 94a2 14解得 a23， b22，所以椭圆方程为 1.x23 y2211层级二 应
11、试能力达标1若直线 mx ny4 和圆 O： x2 y24 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A2 B1C0 D0 或 1解析：选 A 由题意，得 2，所以 m2 n2b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交 E于 A， B两x2a2 y2b2点若 AB的中点坐标为(1，1)，则 E的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29解析：选 D 因为直线 AB过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB的方程为 y (x3)，12代入椭圆方程 1 消去 y，x2a
12、2 y2b2得 x2 a2x a2 a2b20，(a24 b2) 32 94所以 AB的中点的横坐标为 1，即 a22 b2，32a22(a24 b2)又 a2 b2 c2，所以 b c3.所以 E的方程为 1.x218 y295过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： 1( ab0)相交于 A， B两点，若12 x2a2 y2b2M是线段 AB的中点，则椭圆 C的离心率等于_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，分别代入椭圆方程相减得 x1 x2 x1 x2a20，根据题意有 x1 x2212， y1 y2212，且 y1 y2 y1 y2b2 ，所以 0，得 a22 b
13、2，所以 a22( a2 c2)，整理得 a22 c2，y1 y2x1 x2 12 2a2 2b2 ( 12)所以 ，即 e .ca 22 22答案：226在离心率为 的椭圆 1( ab0)上任取一点 M，过 M作 MN垂直 y轴于点 N，32 x2a2 y2b2若 ，点 P的轨迹图形的面积为 ，则 a的值为_MP 12MN 13解析：设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(0， y0)，由条件 可知点 P是线段 MN的中点，MP 12MN 故Error! 即Error!由离心率为 ，ca 32可得 4c23 a2，即 4a24 b23 a2，故 a2 b.故椭圆方程为 1，x24b
14、2 y2b2把点 M(x0， y0)代入可得 1， 2x 24b2 y2b2即 x2 y2 b2，表示半径为 b的圆，面积为 b2.故 b1， a2 b2.答案：27在平面直角坐标系 xOy中，点 P到两点(0， )，(0， )的距离之和等于 4，设3 3点 P的轨迹为 C.(1)求 C的方程；(2)设直线 y kx1 与 C交于 A， B两点， k为何值时 ？此时| AB|的值是多OA OB 少解：(1)设 P(x， y)，由椭圆的定义知，点 P的轨迹 C是以(0， )，(0， )为焦点，3 3长半轴长为 2的椭圆，它的短半轴长 b 1.22 3 2故曲线 C的方程为 x21.y24(2)设
15、 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!消去 y，并整理，得( k24) x22 kx30.由根与系数的关系得x1 x2 ， x1x2 .2kk2 4 3k2 4若 ，则 x1x2 y1y20.OA OB 因为 y1y2( kx11)( kx21) k2x1x2 k(x1 x2)1，所以 x1x2 y1y2 13k2 4 3k2k2 4 2k2k2 4 0，所以 k .4k2 1k2 4 12当 k 时， x1 x2 ， x1x2 .12 417 121714所以| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .54(417)2 41217 465178在直角坐标平面内，
16、已知点 A(2,0)， B(2,0)， P是平面内一动点，直线 PA， PB斜率之积为 .34(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)过点 作直线 l与轨迹 C交于 E， F两点，线段 EF的中点为 M，求直线 MA的斜(12， 0)率 k的取值范围解：(1)设 P点的坐标为( x， y)，依题意，有 (x2)，yx 2 yx 2 34化简并整理，得 1( x2)x24 y23动点 P的轨迹 C的方程是 1( x2)x24 y23(2)依题意，直线 l过点 且斜率不为零，故可设其方程为 x my ，联立Error!(12， 0) 12消去 x，并整理得 4(3m24) y212 my450， 0恒成立设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， M(x0， y0)，则 y1 y2 ， y0 ，3m3m2 4 y1 y22 3m2 3m2 4 x0 my0 ， k .12 23m2 4 y0x0 2 m4m2 4当 m0 时， k0；当 m0 时， k .14m 4m 4| m| 8，0 ，0| k| ， k 且 k0.|4m4m| 4|m| 1|4m 4m| 18 18 18 18综合可知直线 MA的斜率 k的取值范围是 .18， 1815
