1、1课时跟踪检测 (十三) 渐开线与摆线一、选择题1半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( )A B2C12 D14解析：选 C 根据条件可知，圆的摆线方程为Error!( 为参数)，把 y0 代入，得 2 k( kZ)，此时 x6 k( kZ)2给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确
2、的说法有( )A BC D解析：选 C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置3已知一个圆的参数方程为Error!( 为参数)，那么圆的摆线方程中参数取 对应的 2点 A 与点 B 之间的距离为( )(32， 2)A. 1 B. 2 2C. D.1032 1解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为Error!( 为参数 )，把 代入参数方程中可得Error! 2即 A ，(3( 2 1)， 3)2| AB| .3(
3、2 1) 322 3 2 2 104如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线” ，其中 AE， EF， FG， GH的圆心依次按 B， C， D， A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 长是( )A3 B4C5 D6解析：选 C 根据渐开线的定义可知， 是半径为 1 的 圆周长，长度AE14为 ，继续旋转可得 是半径为 2 的 圆周长，长度为 ； 是半径为 3 的 圆周长，长度 2 EF 14 FG 14为 ； 是半径为 4 的 圆周长，长度为 2，所以曲线 AEFGH 的长是 5.32 GH 14二、填空题5我们知道关于直线 y x 对称的
4、两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!( 为参数)关于直线 y x 对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线 y x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 y x 对称的曲线方程，只需把其中的 x， y 互换答案：Error! ( 为参数)6已知圆的渐开线的参数方程是Error!( 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数 时对应的曲线上的点的坐标为_ 4解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当 时对应的坐标只需把 代入曲线的参数方程，得 x 4 4 22， y ，由此可得对
5、应的坐标为 . 28 22 28 (22 28 ， 22 28 )答案：2 (22 28 ， 22 28 )7已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为_解析：圆的摆线的参数方程为Error!令 r(1cos )0，得 2 k，代入 x r( sin )，得 x r(2ksin 2k)，又过(1,0)， r(2ksin 2 k)1， r .又 r0， kN .12k答案：Error! ( 为参数， kN )三、解答题8有一个半径是 2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点 M，与轮子中心的距3离是 a，求点 M 的轨迹方程解：设轮子中心为 O，则 OM a.点 M 的轨迹即是以 O
6、 为圆心， a 为半径的基圆的摆线由参数方程知点 M 的轨迹方程为Error!9已知一个圆的摆线方程是Error!( 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解：根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4，所以面积是 16，该圆对应的渐开线参数方程是Error!( 为参数)10已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程解：令 y0，可得 a(1cos )0，由于 a0，即得 cos 1，所以 2 k( kZ)代入 x a( sin )，得 x a(2ksin 2 k)( kZ)又因为 x2，所以 a(2ksin 2 k)2( kZ)，即得 a (kZ)1k又由实际可知 a0，所以 a (kN )1k易知，当 k1 时， a 取最大值为 .1代入即可得圆的摆线的参数方程为Error!( 为参数)圆的渐开线的参数方程为Error!( 为参数)4
