1、- 1 -二次函数的图象与性质一课一练基础闯关题组一 二次函数 y=ax2的图象和性质1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的表达式为 y=-x2,当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时,这时水面宽度 AB 为 世纪金榜导学号 18574044( )125A.-20 m B.10 mC.20 m D.-10 m【解析】选 C.由题意可知 A,B 两点的纵坐标均为-4,把 y=-4 代入 y=- x2得:- x2=-4,解得:x=10,125 125则 A(-10,-4),B(10,-4),AB=10-(-10)=20.2.函数 y=k(x-k)与
2、y=kx2,y= (k0),在同一坐标系上的图象正确的是 ( )k【解析】选 C.一次函数 y=k(x-k)=kx-k2,k0,-k 20)过 A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是 ( )A.y10y2 B.y20y1C.y1y20 D.y2y10【解析】选 C.抛物线 y=ax2(a0),A(-2,y 1)关于 y 轴对称点的坐标为(2,y 1).又a0,00 时,y 值随 x 的增减情况.(4)指出函数的最大值或最小值.【解析】(1)根据题意设抛物线表达式为 y=ax2,把(-1,2)代入得:a=2,则二次函数表达式为 y=2x2.(2)画出函数图象,如图所示.(
3、3)当 x0 时,y 随 x 的增大而增大.(4)函数的最小值为 0,没有最大值.题组二 二次函数 y=ax2+c 的图象和性质1.(2017西湖一模)函数 y=-x2+1 的图象大致为 ( )【解析】选 B.二次项系数 a0,则反比例函数 y= 的图象在第一、三象限,二次函数 y=-ax2+a 的图象开口向下,排a除 A;二次函数图象与 y 轴交点(0,a)在 y 轴正半轴,排除 B;如果 a0)的图象是k( )- 5 -【解析】选 D.令 y=0,得 x1=- ,x2= ,令 x=0 得 y=3,故二次函数 y=-x2+3 与 x 轴围成封闭区域的三个3 3关键点坐标分别是(- ,0),(
4、 ,0),(0,3),当- 0,二次函数图象开口向上,且对称轴是 y 轴,当 x0 时,在对称轴的右边,y 随 x 的增大而增大.答案:x05.若二次函数 y=ax2+b 最大值为 4,且该函数的图象经过点 A(1,3).(1)a=_,b=_,顶点 D 坐标_.(2)求这个抛物线关于 x 轴对称后所得的新函数解析式.(3)是否在抛物线上存在点 B,使得 SDOB =2SAOD ?存在的话,请求出 B 的坐标;不存在的话,请说明理由.【解析】(1)二次函数 y=ax2+b 最大值为 4,b=4,y=ax 2+4,函数的图象经过点 A(1,3),- 6 -3=a+4,解得 a=-1,y=-x 2+
5、4,顶点 D 的坐标为(0,4).答案:-1 4 (0,4)(2)抛物线 y=-x2+4 关于 x 轴对称的抛物线为-y=-x 2+4,所求解析式为 y=x2-4.(3)假设存在点 B(x,y),依题意有 SDOB =2SAOD , OD|x| =21,12 (121)|x|=2,x=2,当 x=2 时,y=-x 2+4=0当 x=-2 时,y=-x 2+4=0,存在满足条件的点 B,它的坐标为(2,0)或(-2,0).如图,坐标系中有抛物线 C:y=x2+m 和直线 l:y=-2x-2.求 m 取何值时,抛物线 C 与直线 l 没有公共点.世纪金榜导学号 18574049【解析】根据题意得
6、x2+m=-2x-2,整理得 x2+2x+m+2=0,因为抛物线 C 与直线 l 没有公共点,所以 =2 2-4(m+2)-1.所以当 m-1 时,抛物线 C 与直线 l 没有公共点.【母题变式】变式一(变换结论)当 m 取何值时,抛物线 C 与直线 l 有唯一公共点?两个交点?【解析】根据题意,得 x2+m=-2x-2,- 7 -整理,得 x2+2x+m+2=0,因为抛物线 C 与直线 l 有唯一公共点,所以 =2 2-4(m+2)=0,解得 m=-1.即当 m=-1 时,抛物线 C 与直线 l 有唯一公共点.同理,=2 2-4(m+2)0,解得 m-1.即当 m-1 时,抛物线 C 与直线 l 有两个交点.变式二(变换结论)变化 m,当抛物线 C 的顶点在直线 l 上时,求直线 l 被它截得的线段长.【解析】抛物线 C 的顶点在直线 l 上,抛物线 C 的顶点坐标为(0,-2),代入解析式得,m=-2,抛物线的解析式为 y=x2-2,解 得 或y=22,=22, x=0,=2, x=2,=2,直线 l 和抛物线的交点为(0,-2)和(-2,2),直线 l 被抛物线截得的线段长为 2 .5
