1、- 1 -线段的垂直平分线一课一练基础闯关题组 三角形三边垂直平分线的性质与应用1.在ABC 中,AB=AC,有一点 P 到 A,B,C 三点的距离相等,则点 P 一定在 ( )A.AB 边的高上 B.AC 边的高上C.BC 边的中线上 D.AB 边的中线上【解析】选 C.点 P 到 A,B,C 三点的距离相等,点 P 一定在ABC 三边的垂直平分线上,AB=AC,由“三线合一”可知 BC 边的垂直平分线也一定是 BC 边的中线.【变式训练】已知等腰三角形的底角是 70,两腰的垂直平分线相交于点 P,下列结论正确的是 ( )A.点 P 在三角形内部 B.点 P 在三角形外部C.点 P 在三角形
2、边上 D.点 P 的位置不确定【解析】选 A.等腰三角形的底角是 70,其顶角为 40,这个三角形为锐角三角形,点 P 在三角形内部.2.(2017东平县期中)已知ABC 的三边的垂直平分线交点在ABC 的边上,则ABC 的形状为 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选 B.三角形三边的垂直平分线交点在三角形内部,为锐角三角形,若在外部,则为钝角三角形.若在边上,则为直角三角形,ABC 的形状为直角三角形.3.(2017南京一模)如图,在ABC 中,AB,AC 的垂直平分线 l1,l2相交于点 O,若BAC 等于 82,则OBC=_.世纪金榜导学号 1016
3、4028【解析】连接 OA,- 2 -BAC=82,ABC+ACB=180-82=98,AB,AC 的垂直平分线交于点 O,OB=OA,OC=OA,OAB=OBA,OAC=OCA,OBC+OCB=98-(OBA+OCA)=16,OBC=8.答案:84.在ABC 中,AB=5,BC=4,AC=3,点 O 是ABC 三边垂直平分线的交点,那么 BO 的长为_.【解析】因为 AC2+BC2=25=AB2,所以C=90,所以点 O 是 AB 的中点,所以 BO= AB= .12 52答案:525.如图,D 是ABC 的边 BC 的中点,过 AD 延长线上的点 E 作 AD 的垂线 EF,E 为垂足,E
4、F 与 AB 的延长线相交于点 F,点 O 在 AD 上,AO=CO,BCEF. 世纪金榜导学号 10164029求证:(1)AB=AC.(2)点 O 是ABC 三边垂直平分线的交点.【证明】(1)D 是ABC 的边 BC 的中点,BD=CD,BCEF,ADEF,- 3 -ADBC,AD 是 BC 的垂直平分线,AB=AC.(2)AO=CO,点 O 在 AC 的垂直平分线上,AD 是 BC 的垂直平分线,点 O 在 AD 上,点 O 是边 BC 和 AC 的垂直平分线的交点.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,点 O 是ABC 三边垂直平分线的交点.题组 线段垂直平分线与等腰三角形1.由下列条
5、件可以作出唯一的等腰三角形的是 ( )A.已知等腰三角形的两腰B.已知一腰和一腰上的高C.已知底角的度数和顶角的度数D.已知底边长和底边上的中线的长【解析】选 D.已知等腰三角形的两腰,顶角不确定,作出的等腰三角形不唯一,A 错误;已知一腰和一腰上的高,角度不确定,作出的等腰三角形不唯一,B 错误;已知底角的度数和顶角的度数,只知道三个角,作出的等腰三角形不唯一,C 错误;已知底边长和底边上的中线的长作出的等腰三角形是唯一的,D 正确.2.(2017莲湖区月考)已知ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AC 于 D,ABC 和DBC 的周长分别是60cm 和 38cm,则ABC 的腰和
6、底边长分别为 ( )世纪金榜导学号 10164030A.24cm 和 12cm B.16cm 和 22cmC.20cm 和 16cm D.22cm 和 16cm【解析】选 D.如图,连接 BD,- 4 -D 在线段 AB 的垂直平分线上,BD=AD,BD+DC+BC=AC+BC=38cm,且 AB+AC+BC=60cm,AB=60cm-38cm=22cm,AC=22cm,BC=38cm-AC=38cm-22cm=16cm,即等腰三角形的腰为 22cm,底为 16cm.3.如图,在ABC 中,AB=AC=6,AB 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 BC 于点 D,连接 AD,若 AD=4,则
7、CD=_.【解析】过 A 作 AFBC 于 F,AB=AC,BF=CF= BC,12AB 的垂直平分线交 AB 于点 E,BD=AD=4,设 DF=x,BF=4+x,AF 2=AB2-BF2=AD2-DF2,即 36-(4+x)2=16-x2,x=0.5,DF=0.5,CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5.答案:5- 5 -4.已知ABC 中,AD 是 BC 的垂直平分线,垂足为 D,BAD= B,则ABC 是_三角形.12世纪金榜导学号 10164031【解析】AD 是 BC 的垂直平分线,AB=AC,ADB=90,BAD+B=90,BAD= B,BAD=30,B=6
8、0,12ABC 是等边三角形.答案:等边5.已知:线段 a,求作:等腰ABC,使底边 BC=a,高 AD= a.(保留作图痕迹,不写作法)12【解析】ABC 即为所求作的三角形在ABC 中,BAC=40,ACB=90,则在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得ABP 为等腰三角形,这样的P 点有_个.【解析】以 A 为圆心,以 AB 为半径作圆,与直线 AC,BC 有三个交点;同理以 B 为圆心,以 AB 为半径作圆,与直线 AC,BC 有三个交点;- 6 -作 AB 的垂直平分线交 AC,BC 于两点,即有 3+3+2=8 个.答案:8【母题变式】变式一如图,在 RtABC 中,ACB=9
9、0,AB=2BC,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得PAB 为等腰三角形,则符合条件的点 P 共有 ( )A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个【解析】选 C.如图,AB 的垂直平分线交 AC 于点 P1,交直线 BC 于点 P2此时 PA=PB;以 A 为圆心,AB 为半径画圆,交 AC 有两点 P3,P4,交 BC 有一点 P2(此时 AB=AP);以 B 为圆心,BA 为半径画圆,交 BC 有两点 P5,P2,交 AC 有一点 P6(此时 BP=BA).2+(3-1)+(3-1)=6,符合条件的点有 6 个.变式二如图,在ABC 中,A=36,B=72,AC 的垂直平分线
10、分别交 AC,AB 于点 D,E,则图中等腰三角形的个数为 ( )- 7 -A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【解析】选 B.A=36,B=72,ACB=72,ABC 是等腰三角形.DE 垂直平分 AC,AE=CE,AEC 是等腰三角形.ACE=A=36,BEC=72,B=BEC,BC=EC,BCE 是等腰三角形.综上所述,图中的等腰三角形共有 3 个.变式三(2017海安县期末)如图,直线 a,b 相交于点 O,1=50,点 A 在直线 a 上,直线 b 上存在点 B,使以点 O,A,B 为顶点的三角形是等腰三角形,这样的 B 点有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.
11、4 个【解析】选 D.要使OAB 为等腰三角形分三种情况讨论:当 OB=AB 时,作线段 OA 的垂直平分线,与直线 b 的交点为 B,此时有 1 个;当 OA=AB 时,以点 A 为圆心,OA 为半径作圆,与直线 b 的交点,此时有 1 个;当 OA=OB 时,以点 O 为圆心,OA 为半径作圆,与直线 b 的交点,此时有 2 个,一共有 1+1+2=4 个.变式四(2017江阴市期中)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知 A,B 是两格点,如果- 8 -C 也是图中的格点,且使得ABC 为等腰三角形,则点 C 的个数是 ( )A.4 个 B.5 个 C.8 个 D.9 个【解析】选 D.如图所示,使得ABC 为等腰三角形,则点 C 的个数是 9 个.
