1、- 1 -第 1 课时 计数原理A 组1.从 3 名男同学和 2 名女同学中选 1 人主持本班某次主题班会,不同选法种数为( )A.6 B.5 C.3 D.2解析:由分类加法计数原理知总方法数为 3+2=5(种) .答案:B2.4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中各选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有( )A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种解析:分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲,共有 种不同选法;第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法;第三步给第 4 位同学选课程,也有 2 种不同选法 .故共有22=24(种) .答案:B3.六个人从
2、左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种解析:若最左端排甲,其他位置共有 =120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有 4 种排法,其余 4 个位置有 =24(种)排法,所以共有 120+424=216(种)排法 .答案:B4.若从 1,2,3,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种解析:共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或2 个奇数和 2 个偶数,
3、故不同的取法有 =66(种) .答案:D5.(1+2x)3(1-x)4展开式中 x 项的系数为( )A.10 B.-10 C.2 D.-2解析:(1 +2x)3(1-x)4展开式中的 x 项的系数为两个因式相乘而得到,即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项,它为 (2x)0 (-x)1+ (2x)1 14(-x)0,其系数为 (-1)+ 2=-4+6=2.答案:C6.把 5 件不同产品摆成一排 .若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有 种 . - 2 -解析:记 5 件产品为 A,B,C,D,E,A,B 相邻视为一个元素,先与 D,
4、E 排列,有 种方法;再将 C插入,仅有 3 个空位可选,共有 =263=36(种)不同的摆法 .答案:367.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格中,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 种 . 解析:编号为 1 的方格内填数字 2,共有 3 种不同填法;编号为 1 的方格内填数字 3,共有 3 种不同填法;编号为 1 的方格内填数字 4,共有 3 种不同填法 .于是由分类加法计数原理,得共有3+3+3=9(种)不同的填法 .答案:98 的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为 . 解析:由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得 n
5、=9, 展开式的第四项为 T4=( )6答案:9.导学号 43944059 电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有 30 封,乙箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?解分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众,有302920=17 400(种) .(2)幸运之星在乙箱中抽取,有 201930=11 400(种) .共有不同结果 17 400+11 400=28 800(种) .B 组1.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的
6、坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24解析:先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有 4 个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有 =24 种放法,故选 D.答案:D2.使 (nN +)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )A.4 B.5 C.6 D.7- 3 -解析: Tr+1= (3x)n-r 3n-r ,当 Tr+1是常数项时, n- r=0,当 r=2,n=5 时成立 .答案:B3.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种(用数字作答) . 解析:第一步,先选出文娱委员,因
7、为甲、乙不能担任,所以从剩下的 3 人中选 1 人当文娱委员,有3 种选法 .第二步,从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有 4 种选法,再选体育委员有 3 种选法 .由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有 343=36(种) .答案:364.在 的展开式中, x2的系数为 . 解析:由题意知 Tr+1= x6-r x6-2r令 6-2r=2,可得 r=2.故所求 x2的系数为答案:5.在(2 x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和 .解(1)二项
8、式系数的和为 + =210.(2)令 x=y=1,各项系数和为(2 -3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为 + =29,偶数项的二项式系数和为 + =29.(4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+a10=1, 令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1),得 a0-a1+a2-a3+a10=510, + 得 2(a0+a2+a10)=1+510,- 4 - 奇数项系数和为 ;- 得 2(a1+a3+a9)=1-510, 偶数项系数和为6.导学号 43944060 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人 .选派 5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少
9、种选派方法?(1)男运动员 3 名,女运动员 2 名;(2)至少有 1 名女运动员;(3)队长中至少有 1 人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员 .解(1)第一步:选 3 名男运动员,有 种选法 .第二步:选 2 名女运动员,有 种选法 .共有 =120(种)选法 .(2)法一 至少有 1 名女运动员包括以下几种情况:1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男 .由分类加法计数原理可得总选法数为 =246(种) .法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解 .从 10 人中任选 5 人有 种选法,其中全是男运动员的选法有 种 .所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 =246(种) .(3)法一(直接法) 可分类求解:“只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 ;“男、女队长都入选”的选法为 ;所以共有 2 =196(种)选法 .法二(间接法) 从 10 人中任选 5 人有 种选法 .其中不选队长的方法有 种 .所以“至少有 1 名队长”的选法为=196(种) .- 5 -(4)当有女队长时,其他人任意选,共有 种选法 .不选女队长时,必选男队长,共有种选法, 其中不含女运动员的选法有 种,所以不选女队长时的选法共有种选法 .所以既有队长又有女运动员的选法共有 =191(种) .
