1、- 1 -5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角课后训练案巩固提升A 组1.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为( )A.45 B.135C.45或 135 D.90解析:本题考查利用平面的法向量求两平面夹角的方法 .cos= ,即=45, 两平面的夹角为 45.答案:A2.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别是棱 BB1,DC 的中点,则异面直线 AE 与 D1F 的夹角为( )A. B. C. D.解析:设正方体的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1(0,0,0),A(2,0,2),E(2,2,1),F(
2、0,1,2). =(0,2,-1), =(0,1,2), =0, .答案:D3.如图,在三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, BAC=90,O 为 BC 的中点,则平面ASC 与平面 BSC 的夹角的余弦值是( )A.- B. C.- D.解法一 取 SC 的中点 M,- 2 -连接 AM,OM,OA,由题意知 SO=OC,SA=AC,得 OM SC,AM SC.所以 OMA 为平面 ASC 与平面 BSC 的夹角 .由 AO BC,AO SO,SO BC=O,得 AO平面 SBC.所以 AO OM.又 AM= SA,AO= SA,故 sin AMO= ,co
3、s AMO= .故平面 ASC 与平面 BSC 的夹角的余弦值为 .解法二连接 OA,由题易知 AO,BO,SO 两两垂直,则以 O 为坐标原点,射线 OB,OA,OS 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.取 SC 的中点 M,连接 AM,OM,设 B(1,0,0),则 C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC 的中点 M ,所以 =(-1,0,-1),所以 =0, =0.故MO SC,MA SC,等于二面角 A-SC-B 的平面角 .cos= ,所以平面 ASC 与平面 BSC 的夹角的余弦值为 .答案:B4.把正方形 AB
4、CD 沿对角线 AC 翻折,使平面 ACD平面 ABC,点 E,F 分别是 AD,BC 的中点, O 是正方形的中心,则折起后,直线 OE 与 OF 的夹角的大小是( )A. B. C. D.解析:如图,- 3 -建立空间直角坐标系,设正方形的边长为 2.则 F ,E , , cos EOF=cos= =- ,设直线 OE 与 OF 的夹角为 ,则 cos =| cos EOF|= ,即 = .故直线 OE 与 OF的夹角为 .答案:A5.在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ABC=90,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,则平面 SCD 和平面 SAB 夹角的余弦值
5、是 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),D ,C(1,1,0),S(0,0,1),平面 SAB 的一个法向量是 .设 n=(x,y,z)是平面 SCD 的法向量,则 n ,n ,即 n =0,n =0.又 , x+y=0,且 - x+z=0,令 x=1,得 n= . cos= .- 4 -故平面 SCD 和平面 SAB 的夹角的余弦值为 .答案:6.正方体 ABCD-A1B1C1D1中, B1D 与 BC1夹角的大小是 ,若 E,F 分别为 AB,CC1的中点,则异面直线 EF 与 A1C1夹角的大小是 . 解析:以点 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方
6、体的棱长为 2,则易得 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F(0,2,1),所以 =(-2,0,2), =(-2,-2,-2).因为=0,所以 B1D 与 BC1夹角的大小是 90.又 =(-2,2,0), =(-2,1,1),设异面直线 EF 与 A1C1夹角为 ,则 cos =,所以 = 30.答案:90 307.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是 1,且 A1AB= A1AD= BAD= ,E,F 分别为A1B1与 BB1的中点,求异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值 .解如图,设 =
7、a, =b, =c,则 |a|=|b|=|c|=1,= . ab=bc=ac= .而 =- a+c,=-b+ c,- 5 -| |= ,| |= .= ab- ac-bc+ c2= .cos= . 异面直线 BE 与 CF 的夹角的余弦值为 .8.导学号 90074040 如图,在三棱锥 P-ABC 中, AC=BC=2, ACB=90,AP=BP=AB,PC AC.(1)求证: PC AB;(2)求平面 ABP 与平面 APC 夹角的余弦值 .(1)证明 AC=BC ,AP=BP, APC BPC.又 PC AC,PC BC.AC BC=C,PC 平面 ABC.AB 平面 ABC,PC AB
8、.(2)解如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,则 C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设 P(0,0,t).PB=AB= 2 ,t= 2, 点 P 的坐标为(0,0,2) .=(-2,2,0), =(-2,0,2),设平面 ABP 的法向量 n=(x,y,z),则令 x=1,则 n=(1,1,1).- 6 -由题易知平面 APC 的法向量 m=(1,0,0),cos n,m = . 平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为 .B 组1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M 是 AB 的中点,则 sin的值等于( )A. B. C. D.解析:如图
9、,以 D 为原点建立空间直角坐标系 .设棱长为 1,则 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M , =(1,1,1), . cos= . sin= .答案:B2.如图,已知 E,F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC,CC1的中点,则截面 AEFD1与底面 ABCD 所成的夹角的正弦值为( )A. B. C. D.解析:以 D 为坐标原点,- 7 -以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 A(1,0,0),E ,D1(0,0,1), =(-1,0,1), .设平面 AEFD1的法向量为
10、n=(x,y,z),则x= 2y=z.取 y=1,则 n=(2,1,2).又平面 ABCD 的一个法向量为 u=(0,0,1), cos= , sin= .答案:C3.导学号 90074041 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,且 BCA=90,点 D1,F1分别是 A1B1,A1C1的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1与 AF1所成角的余弦值是( )A. B. C. D.解析:设向量 =a, =b, =c,|a|=|b|=|c|=1,根据题意,得 ab=bc=ca=0.又a- b+c, =- a+c,| |2=,| |= ,同理, | |= .又 , c
11、os= ,故选 B.答案:B- 8 -4.已知正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60的夹角,则异面直线 AD 与 BF 所成角 的余弦值是 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=1,则 A(0,0,0),D ,F(1,0,0),B(0,1,0), =(1,-1,0), cos = cos= .答案:5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB AC,AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点 .求:(1)异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值;(2)平面 ADC1与平面 ABA1夹角的正弦值 .解(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示
12、的空间直角坐标系 A-xyz,则 B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以 =(2,0,-4), =(1,-1,-4).因为 cos= ,所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .- 9 -(2)设平面 ADC1的法向量为 n1=(x,y,z),因为 =(1,1,0), =(0,2,4),所以取 z=1,得 x=2,y=-2,所以 n1=(2,-2,1)是平面 ADC1的一个法向量 .取平面 ABA1的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1与平面 ABA1夹角的大小为 . 由 cos =,得 sin = .因此平面 ADC1与平
13、面 ABA1夹角的正弦值为 .6.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1上 .设平面DA1N 与平面 DMN 的夹角为 .(1)当 = 90时,求 AM 的长;(2)当 cos = 时,求 CM 的长 .解以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.设 CM=t(0 t2),则 D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),N ,M(0,1,t),所以 =(0,1,t), =(1,0,2).设平面 DMN 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 n1 =0,n1 =0,即x1+2y1=
14、0,y1+tz1=0.令 z1=1,则 y1=-t,x1=2t,所以 n1=(2t,-t,1)是平面 DMN 的一个法向量 .设平面 A1DN 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 n2 =0,n2 =0,即 x2+2z2=0,x2+2y2=0.令z2=1,则 x2=-2,y2=1,所以 n2=(-2,1,1)是平面 A1DN 的一个法向量 .(1)因为 = 90,所以 n1n2=-5t+1=0,解得 t= .从而 M .- 10 -所以 |AM|= .(2)因为 |n1|= ,|n2|= ,所以 cos= .因为 = 或 - ,所以 ,解得 t=0 或 t= .根据图形可知 t= ,从而 CM 的长为 .
