1、15 数学广角鸽巢问题【教学目标】1.引导学生通过观察、猜测、实验推理等活动，经历探究鸽巢问题的过程，初步了解鸽巢问题，会用鸽巢问题解决简单的生活问题。2.培养学生解决简单实际问题的能力。3.通过鸽巢问题的灵活运用，展现数学的魅力。【重点难点】重点：灵活应用鸽巢问题解决实际问题。难点：理解鸽巢问题。【教学指导】1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励引导学生借用学具、实物操作或画草图的方法进行说理。通过说理的方式理解鸽巢问题的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后思维严密的数学证明做准备。2.有意识地培养学生的模型思想。当我们面对一个具体问题时，能
2、否将这个具体问题和鸽巢问题联系起来，能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般化模型之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西” ，什么是“鸽巢” ，是解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于鸽巢问题的范畴，再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题数学化的过程，从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生思维和能力的重要方面。3.要适当把握教学要求。鸽巢问题本身或许并不复杂，但其应用广泛且灵活多变。因此，用鸽巢问题解决实际问题时，经常会遇到一些困难，所以有时找到实际问题与鸽巢问题之间的联系并不容易,即使找到了，也很难确定用什么作为“
3、鸽巢” 。因此，教学时，不必过分要求学生说理的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就行了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。【课时安排】2建议共分 2 课时：数学广角2 课时【知识结构】第 1 课时 鸽巢问题（1）【教学内容】最简单的鸽巢问题（教材第 68 页例 1 和第 69 页例 2） 。【教学目标】1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题” 。2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。【重点难点】了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。【教学准备】实物投影，每组 3 个文具盒和 4 枝
4、铅笔。【情景导入】教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？“电脑算命”看起来很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。(板书课题：鸽巢问题)教师：通过学习，你想解决哪些问题？根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎样的？这里的“鸽巢”是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解决问题？【新课讲授】1.教师用投影仪展示例 1 的问题。3同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作
5、：把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。教师指名汇报。学生汇报时会说出：1 号文具盒放 4 枝铅笔，2 号、3 号文具盒均放 0 枝铅笔。教师：不妨将这种放法记为（4,0,0） 。 板书：（4,0,0） 教师提出：（4，0，0） （0，4，0） （0，0，4,）为一种放法。教师：除了这种放法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4，0，0）（0，1，3） （2,2,0） （2,1,1）四种不同的方法。教师板书。教师：还有不同的放法吗?教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个盒子里至少有
6、 2 枝铅笔。 ）教师:“总有”是什么意思?（一定有）教师:“至少”有 2 枝什么意思?（不少于两只,可能是 2 枝,也可能是多于 2 枝）教师：就是不能少于 2 枝。(通过操作让学生充分体验感受)教师进一步引导学生探究：把 5 枝铅笔放进 4 个文具盒，总有一个文具盒要放进几枝铅笔？指名学生说一说，并且说一说为什么？教师:把 4 枝笔放进 3 个盒子里,和把 5 枝笔放进 4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?学生思考组内交流汇报教师:哪一组同学能把你们的想法汇
7、报一下?学生会说:我们发现如果每个盒子里放 1 枝铅笔,最多放 3 枝,剩下的 1 枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?教师:这种分法,实际就是先怎么分的?学生：平均分。教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有 2 枝”,先平均分,余下 1 枝,4不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有 2 枝” 。这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?教师:同意吗?那么把 5 枝笔放进 4 个盒子里呢?(
8、可以结合操作,说一说)教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？学生:(一边演示一边说)5 枝铅笔放在 4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2 枝铅笔。师:把 6 枝笔放进 5 个盒子里呢?还用摆吗?生:6 枝铅笔放在 5 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。师:把 7 枝笔放进 6 个盒子里呢?把 8 枝笔放进 7 个盒子里呢?把 9 枝笔放进 8 个盒子里呢?教师：你发现什么?学生：铅笔的枝数比盒子数多 1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。教师:你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把 100 枝铅笔放进 99 个文具盒里会有什
9、么结论？一起说。巩固练习：教材第 68 页“做一做” 。A 组织学生在小组中交流解答。B 指名学生汇报解答思路及过程。2.教学例 2。出示题目:把 7 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?请同学们小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的 7 本书。活动要求：a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用每桌上的 7 本书，要有分工，并要全面考虑问题。(谁分铅笔，谁当抽屉，谁记录等)d.在全班交流汇报。(师巡视了解各种情况)学生汇报。哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：a.动手操作列举法。学
10、生：通过操作，我们把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进 3 本书。b.数的分解法。5把 7 分解成三个数，有（7,0） ， （6,1） ， （5,2） ， （4,3）四种情况。在任何一种情况下，总有一个数不小于 3。教师：通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?(3 本)教师质疑引出假设法。教师：同学们通过以上两种方法，知道了把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进 3 本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把 155 本书放进 3 个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数
11、据的方法呢？请同学们想想。板书:7 本 3 个 2 本余 1 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)8 本 3 个 2 本余 2 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)10 本 3 个 3 本余 1 本(总有一个抽屉里至少有 4 本书)师:2 本、3 本、4 本是怎么得到的?生：完成除法算式。73=2 本1 本(商加 1)83=2 本2 本(商加 1)103=3 本1 本(商加 1)师:观察板书你能发现什么?学生：“总有一个抽屉里的至少有 3 本” ，只要用“商+1”就可以得到。师:如果把 5 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?学生:“总有一个抽屉里至少有 3 本”只
12、要用 53=1 本2 本,用“商+2”就可以了。学生有可能会说：不同意!先把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,还剩 2 本,这 2 本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有 2 本书,不是 3本书。师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有 2本书,不是 3 本书。b.把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,余下的 2 本可以在 2 个抽屉6里再各放 1 本,结论是“总有一个抽屉里至少有 2 本书” 。c
13、.我们组的结论是 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有 2 本书”用“商加 1”就可以了,不是“商加 2”。教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?学生回答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加 1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加 1 本书”了。教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由 19 世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理” 。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。 “抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题
14、,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。提问：尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这一平均的过程呢？学生在练习本上列式：73=21。集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？生：把 7 本书平均放进 3 个抽屉，每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。a.提问：如果把 10 本书放进 3 个抽屉会怎样？13 本呢？b.学生列式回答。c.教师板书算式：103=31（总有一个抽屉至少放 4 本书）133=41（总有一个抽屉至少放 5 本书）观察特点，寻
15、找规律。提问：观察 3 组算式，你能发现什么规律？引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。提问：如果把 8 本书放进 3 个抽屉里会怎样，为什么？83=22学生汇报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放 3 本书；一种认为总有一个抽屉至少放 4 本书。7学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数 2，而是商加 1。因为剩下两本，也可能分别放进两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2） 。所以，总有一个抽屉至少放 3 本书。总结归纳鸽巢问题的一般规律。要把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 an=bc（
16、c0） ，那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。【课堂作业】教材第 69 页“做一做” 。（1）组织学生在小组中交流解答。（2）指名学生汇报解答思路及过程。答案：（1）114=2（只）3（只） 2+1=3(只)一定有一个鸽笼至少飞进 3 只鸽子。（2）54=1（人）1（人） 1+1=2(人)一定有一把椅子上至少坐 2 人。【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？【课后作业】完成练习册中本课时的练习。第 1 课时鸽巢问题（1）（4，0，0） （0，1，3） （2,2,0） （2,1,1）学生铅笔的枝数比盒子数多 1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。52=2172=3192=
17、41要把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 an=bc（c0） ，那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。1.小组活动很容易抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题既好玩又有意义。82.理解“鸽巢问题”对于学生来说有着一定的难度。3.大部分学生很难判断谁是物体，谁是抽屉。4.学生对“至少”理解不够，给建模带来一定的难度。5.培养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，将问题转化为“有余数的除法”的形式。可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。6.经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，激发学习的兴趣。
