1、1吉林省辉南县第一中学 2018-2019 下学期高二第一次月考数学理试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设函数 y=f（ x）可导，则等于（ ）A. B. C. D. 以上都不对2. 已知曲线在点处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为( ).A. B. C. D. 23. 已知函数 f（ x）=2 xf（ e）+ln x，则 f（ e）=（ ）A. B. e C. D. 14. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 函数 f（ x）= x3-3x2在区间-2，4上的最大值为（ ）A. B. 0 C. 16 D. 206. 在同一平面直角坐标系中，将
2、曲线 y=3sin2x 按伸缩变换后，所得曲线为（ ）A. B. C. D. 7. 点 M 的直角坐标是，则点 M 的极坐标为 A. B. C. D. 8. 在极坐标系下，点到直线 l：的距离为 A. B. C. D. 9. 已知点 M 的直角坐标为（-3，-3，3），则它的柱坐标为（ ）A. B. C. D. 10. 若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），则直线 l 的倾斜角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 11. 已知某条曲线的参数方程是（ t 是参数），则该曲线是（ ）A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线12. 已知 P（ X， y）是椭圆上任意一点，则点 P 到 x
3、-y-4=0 的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 第 II 卷二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 设直线是曲线的一条切线，则实数 b 的值是_14. f（ x）=- x2+lnx 在， e上的最大值是_15. 若函数在区间上单调递增，则实数 a 的取值范围是_16. 设点 p 的直角坐标为(1，1，)，则点 P 的球坐标是_三、解答题（17 题 10 分，其余题均 12 分，共 70.0 分）217. 已知函数 f（ x）= x3-3x（）求 f（2）的值；（）求函数 f（ x）的单调区间和极值18. 已知曲线（ 为参数）（）将 C 的参数方程化为普通方程；（）
4、若点 P（ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的取值范围19. 已知二次函数，其图象过点，且（）求，的值；（）设函数，求曲线在处的切线方程20. 已知函数 f（ x）= ex-x-1（ e 是自然对数的底数）3（1）求证： ex x+1；（2）若不等式 f（ x） ax-1 在 x，2上恒成立，求正数 a 的取值范围21. 已知函数 f（ x）= x3+ax2+bx（ a， b R）若函数 f（ x）在 x=1 处有极值-4（1）求 f（ x）的单调递减区间；（2）求函数 f（ x）在-1，2上的最大值和最小值22. 选修 4-4 坐标系与参数方程4在平面直角坐标系中，过点的直线的参
5、数方程为 （为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值5吉林省辉南县第一中学 2018-2019 下学期高二第一次月考数学理答案1.【答案】 A【解析】【分析】本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，属于基础题利用导数的定义式 f（x）= 可得答案【解答】解：函数 y=f（x）可导，f（x）= ， =f（1），故选 A.2.【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力求出函数的导数 f（x），利用 f（1）=1，
6、解 a 即可【解答】解：f(x)= ，f(x)= ，x=1 处切线斜率为 1，即 f(1)=1， =1，解得 a=-1故选 B3.【答案】 C【解析】【分析】本题要求学生掌握求导法则，学生在求 f（x）的导函数时注意 f（e）是一个常数，这是本题的易错点利用求导法则求出 f（x）的导函数，把 x=e 代入导函数中得到关于f（e）的方程，求出方程的解即可得到 f（e）的值【解答】解：求导得：f（x）=2f（e）+ ，6把 x=e 代入得：f（e）=e -1+2f（e），解得：f（e）=-e -1，f（e）=2ef（e）+lne=-1，故选 C4.【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查函数的导数
7、的判断，根据函数的导数法则是解决本题的关键根据函数的导数公式进行判断即可【解答】解：（cosx）=-sinx，故 A 不正确；（3 x）=3 xln3，故 B 不正确（lgx）= ，故 C 正确；（x 2cosx）=2xcosx-x 2sinx，故 D 不正确故选 C5.【答案】 C【解析】【分析】利用导数的正负，可得 f（x）=x 3-3x2在区间-2，4上的单调性，即可求出最大值本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，属中档题【解答】解：f（x）=3x 2-6x=3x（x-2），令 f（x）=0，得 x=0 或 2x（-2，0）时，f（x）0，x（0，2）时，f（x）0，x（2，4）时
8、，f（x）0故函数在（-2，0），（2，4）上单调递增，在（0，2）上单调递减，f（0）=0，f（4）=16，函数 f（x）=x 3-3x2在区间-2，4上的最大值为 16故选 C.6.【答案】 D【解析】解：伸缩变换 ，x= x，y= y，7代入 y=3sin2x，可得 y=3sinx，即 y=9sinx故选：D把伸缩变换的式子变为用 x，y表示 x，y，再代入原方程即可求出本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键7.【答案】 B【解析】解：= =2，解方程组 得 = 点 M 的极坐标为（2， ）故选：B计算 M 到原点的距离得出极径，再利用极坐标的定义计算极角的大小本题考查了极坐
9、标与直角坐标的对应关系，属于基础题8.【答案】 B【解析】【分析】本题考查简单的极坐标方程，将直线的极坐标方程化为普通方程，根据点到直线的距离公式求解.【解答】解：将直线 l： ，化为普通方程为: ,点 化为直角坐标 ，所以 .故选 B.9.【答案】 C【解析】解：点（-3，-3）的极坐标为（3 ， ），M（-3，-3，3）的柱坐标为（3 ， ，3）故选：C8根据柱坐标与直角坐标的对应关系计算得出本题考查了柱坐标与直角坐标的对应关系，属于基础题10.【答案】 B【解析】解：设直线 l 的倾斜角为 ， 由题意，tan=- ，cos=- 故选：B 由题意，tan=- ，即可求得 cos=- 本题考
10、查直线的参数方程，考查直线 l 的倾斜角，比较基础11.【答案】 D【解析】解：根据题意，某条曲线的参数方程是 ，其普通方程为：x-y8， ，则该曲线是双曲线；故选：D根据题意，将曲线的参数方程化为普通方程，结合双曲线的方程分析可得答案本题考查参数方程的应用，关键是将曲线的参数方程转化为普通方程12.【答案】 B【解析】解：根据题意，P（x，y）是椭圆 上任意一点，设 P 的坐标为（ cos，sin），则点 P 到 x- y-4=0 的距离 d= = =，当 sin（+ ）=-1 时，d 取得最大值 ，故选：B9根据题意，设 P 的坐标为（ cos，sin），由点到直线的距离公式可得点 P 到
11、 x-y-4=0 的距离 d= ，变形可得 d= ，由正弦函数的性质分析可得答案本题考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题13.【答案】1【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义.由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数 b 和 c 即可【解答】解：y=3x 2-6x，k=3x 2-6x=-3，x=1，即切点的横坐标为 1，代入曲线方程得切点坐标（1，-2）它也在切线上，代入 y=-3x+b，得 b=1常数 b 为 1故答案为 114.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数
12、的应用，是一道基础题.求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可.【解答】解： ， ，e,令 f（x）0，解得： ，令 f（x）0，解得： ，故 f（x）在 递增，在（1，e递减，故 .故答案为 .15.【答案】2，+）【解析】10【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过解 f（x）求单调区间，转化为恒成立问题求 a 的取值范围【解答】解:f（x）=alnx-x， 又f（x）在（1，2）上单调递增， 在 x（1，2）上恒成立，ax max=2，a 的取值范围是2，+）.故答案为2，+）.16.【答案】【解析】【分析】本题考查点的球坐标.根据点的球坐标公
13、式求解.【解答】解：由点 p 的直角坐标为(1，1， )，则 ,则点 P 的球坐标是 .故答案为 .17.【答案】解：（） f（ x）=3 x2-3，所以 f（2）=9；（） f（ x）=3 x2-3，令 f（ x）0，解得 x1 或 x-1，令 f（ x）0，解得：-1 x1（-，-1），（1，+）为函数 f（ x）的单调增区间，（-1，1）为函数 f（ x）的单调11减区间； f（ x） 极小值 =f（1）=-2， f（ x） 极大值 =f（-1）=2【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值问题，准确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键（）求出函数的导数，将 x=2 代入导函数
14、求出即可；（）求导数 f（x），解不等式 f（x）0，f（x）0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值18.【答案】解：（） （ 为参数），曲线 C 的普通方程为 =1（） x+y=4cos+3sin=5sin（+）（tan=）当 sin（+）=1 时， x+y 取得最大值 5，当 sin（+）=-1 时， x+y 取得最小值-5 x+y 的取值范围是-5，5【解析】（）根据平方和等于 1 消去参数得到普通方程； （）把参数方程代入 x+y 得到关于 的三角函数，根据三角函数的性质求出最值 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题19.【答案】解：（）由题意可得 f（2）
15、=-4，即为 4a+2a-2b=-4，又 f（ x）=2 ax+a，可得 f（1）=3 a=-3，解得 a=b=-1；（）由（）知 f(x)=-x2-x+2，则 h（ x）= xlnx+f（ x）= xlnx-x2-x+2，h（ x）=ln x+1-2x-1=lnx-2x，则曲线 h（ x）在 x=1 处的切线斜率为 ln1-2=-2，切点为（1，0），则曲线 h（ x）在 x=1 处的切线方程为 y-0=-2（ x-1），即为 2x+y-2=0【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程的点斜式方程是解题的关键（）由题意可得 f（2）=-4，代入
16、f（x）解析式，求出 f（x）的导数，代入 x=1，则可求得 a，b 的值；（）求出 h（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方12程20.【答案】（1）证明：由题意知，要证 ex x+1，只需证 f（ x）= ex-x-10，求导得 f（ x）= ex-1，当 x（0，+）时， f（ x）= ex-10，当 x（-，0）时， f（ x）= ex-10， f（ x）在 x（0，+）是增函数，在 x（-，0）时是减函数，即 f（ x）在 x=0 时取最小值 f（0）=0， f（ x） f（0）=0，即 f（ x）= ex-x-10， ex x+1（2）解：不等式 f（
17、 x） ax-1 在 x，2上恒成立，即 ex-x-1 ax-1 在 x上恒成立，亦即 a在 x上恒成立，令 g（ x）=， x，以下求 g（ x）=在 x上的最小值，当 x时， g（ x）0，当 x 时， g（ x）0，当 x时， g（ x）单调递减，当 x 时， g（ x）单调递增， g（ x）在 x=1 处取得最小值为 g（1）= e-1，正数 a 的取值范围是（0， e-1）【解析】【分析】本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用（1）要证 exx+1，只需证 f（x）=e x-x-10，求导得 f（x）=e x-1，利用导数性
18、质能证明 exx+1（2）不等式 f（x）ax-1 在 x ，2上恒成立，即 a 在 x 上恒成立，令 g（x）= ，x ，利用导数性质求 g（x）= 在 x 上的最小值，由此能求出正数 a 的取值范围21.【答案】解：（1） f（ x）=3 x2+2ax+b，依题意有 f（1）=0， f（1）=-4，即 得 所以 f（ x）=3 x2+4x-7=（3 x+7）（ x-1），由 f（ x）0，得- x1，所以函数 f（ x）的单调递减区间（-，1）（2）由（1）知 f（ x）= x3+2x2-7x， f（ x）=3 x2+4x+7=（3 x+7）（ x-1），13令 f（ x）=0，解得 x1
19、=-， x2=1f（ x）， f（ x）随 x 的变化情况如下表：x -1 （-1，1） 1 （1，2） 2f（ x） - 0 +f（ x） 8 极小值-4 2由上表知，函数 f（ x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增故可得 f（ x） min=f（1）=-4， f（ x） max=f（-1）=8【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大（1）首先求出函数的导数，然后令 f（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解（2）由（1）求出函数的单调区间
20、，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在-1，2上的最大值和最小值22.【答案】【解答】解：（1）由直线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 ，得直线 的普通方程为，即 由 ，得，由 ，得 ，即直线 l 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 （2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，化简得 ，设方程的两根为 ， ，则 ， ，由直线参数 的几何意义可知，线段 的中点对应的参数，14故线段 的中点的直角坐标为 由直线参数 的几何意义可知，即线段 AB 的中点的直角坐标为 ， 的值为.【解析】【分析】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果
