1、- 1 -四川省内江市 2019 届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合 A，由此能求出 A B【详解】集合 A x|x1， xN0，1，又 ， A B0，1故选 A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件 2.设 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则及其性质即
2、可得出【详解】 z 2i 2i1 i 2i=1+ i，则| z| 故选： C【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.如图是民航部门统计的某年春运期间 12 个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）- 2 -A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐
3、一验证即可【详解】由图可知，选项 A、B、C 都正确，对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误故选： D【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题4.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列 an的前 n 项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列 an的公差【详解】 Sn为等差数列 an的前 n 项和， a33， S621，- 3 - ，解得 a11， d1数列 an的公差为 1故选： A【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等
4、差数列的前 n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.若 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 ，对 两边平方即可求出 ，从而可求出，这样即可求出 与 的夹角【详解】 ； ； ； ；又 ； 的夹角为 故选： D【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知画出图形，连接 BC1，由 AB A1B1，可得 C1AB 为异面直线 A1B1与 AC1所成角，求解三角形
5、得答案【详解】如图，连接 BC1，由 AB A1B1， C1AB 为异面直线 A1B1与 AC1所成角，由已知可得 ，则 cos C1AB 即异面直线 A1B1与 AC1所成角的余弦值为 故选： B【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题7.函数 的图象大致是（ ）A. B. - 5 -C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解【详解】当 x+时， f（ x），故排除 D；易知 f（ x）在 R 上连续，故排除 B；且 f（0） ln2 e1 0，故排除 A，故选： C【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法
6、应用8.设 表示不小于实数 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）- 6 -A. 7 B. 11C. 8 D. 14【答案】B【解析】【分析】执行循环，直至 ，跳出循环，输出结果.【详解】执行循环，结束循环，输出结果.选B.【点睛】本题考查循环流程图，考查基本分析计算判断能力.9.若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B- 7 -【解析】【分析】先求 ，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为 ，所以因此 ，倾斜角为 ，选 B.【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.10.已知函数 ，给出下列四个结论： 函
7、数 的最小正周期是 ； 函数 在区间 上是减函数； 函数 的图像关于点 对称； 函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得到.其中正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】先化简三角函数，再根据三角函数性质判断各结论正确是否.【详解】 , ，所以函数 在区间 上不是减函数，所以函数 的图像不关于点 对称；函数 的图像向右平移 个单位得 ，再向下平移 1 个单位得到,不是 .综上选 A.【点睛】本题考查三角函数化简以及三角函数图象与性质，考查基本分析化简能力.- 8 -11.在 中，已知 ， ，点 D 为 BC 的三等分点(
8、靠近 C)，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量 的数量积，再利用余弦函数求最值，得解【详解】如图，8172cos BAC BAC（0，） ，cos BAC（1，1） ，72cos BAC（5，9） ，故选： C【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大12.设函数 在 R 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，且 时，若 ，则实数 a 的取值范围为- 9 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数 ，由 可得 在 上是增函数，在 上单调递减，原不等式等价于 ，从而可得结果.【详解】设
9、 ，则 时，为偶函数，在 上是增函数，时单调递减.所以可得 ，即 ，实数 的取值范围为 ，故选 A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题(本大题共 4 小题，每
10、小题 5 分，满分 20 分）13. 的展开式中 的系数为_.【答案】【解析】【分析】- 10 -根据二项式定理确定 的系数.【详解】因此展开式中 的系数为【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力.14.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z2 x+y 为 y2 x+z，由图可知，当直线 y2 x+z 过 A（1，2）时直线在 y 轴上的截距最小， z 最小 z21+24故答案为 4【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的
11、解题思想方法，是中档题15.已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与 交于 、 两点，- 11 -若 ，且 ，则椭圆 的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义可用 表示 ， ,再根据余弦定理建立 关系，解得离心率.【详解】设 ,则 ,因此 从而 ，且 , ,【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力.16.设数列 满足 ， ， ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】数列 an满足 a11， a24， a39， an an1 +an2 an3 （ nN*， n4） ，即an+an3 an1 +an2 （ nN*， n4） ， a4 a3+a2 a112，同理可得
12、：a517 a620， a725， a828， a933，可得数列 an的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8,即可得出【详解】数列 an满足 a11， a24， a39， an an1 +an2 an3 （ nN*， n4） ，即 an+an3 an1 +an2 （ nN*， n4） ，a4 a3+a2 a112，同理可得： a517 a620， a725， a828， a933，数列 an的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8则 a2018 a2+（10091）84+80648068故答案为：8068【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能
13、力与计算能力，属于中档题三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）- 12 -17.等比数列 的各项均为正数，且求数列 的通项公式.设 求数列 的前 n 项和 .【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（）设出等比数列的公比 q，由 ，利用等比数列的通项公式化简后得到关于 q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 ，把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式即可；
14、（）把（）求出数列an的通项公式代入设bnlog 3a1log 3a2log 3an，利用对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到 bn 的通项公式，求出倒数即为 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列 的前 n 项和试题解析：（）设数列a n的公比为 q,由 9a 2a6得 9 ,所以 q2 由条件可知 q0,故 q 由 2a13a 21 得 2a13a 1q1,所以 a1 故数列a n的通项公式为 an （）b nlog 3a1log 3a2log 3an（12n） 故 所以数列 的前 n 项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和- 1
15、3 -视频18.国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据： ）【答案】 （1）喝 1 瓶啤酒后 1.
16、5 小时血液中的酒精含量达到最大值 44.42 毫克/百毫升；（2）喝 1 瓶啤酒后需 6 小时后才可以合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数 取得最大值时， ，根据函数模型，即可求出最大值；（2） ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 ，然后解不等式 ，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数 取得最大值时， ，此时 ，- 14 -当 ，即 时，函数 取得最大值为 .故喝 1 瓶啤酒后 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 44.42 毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 .
17、由 ，得： ，两边取自然对数得：即 ， ，故喝 1 瓶啤酒后需 6 小时后才可以合法驾车.19.如图， 是直角 斜边 上一点， .（1）若 ，求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的长.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设 ，则 ， ， ，根据余弦定理即可求出【详解】解：（1）在 中，由正弦定理得. ， ， . 又 ， . ，即 . （2）设 ，则 ， ， .- 15 - ， ， .在 中，由余弦定理得 ，即 ， .故 .【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以
18、下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮 10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30%某机构为了 某一品牌普通 6 座以下私家车
19、的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量 10 5 5 20 15 5以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：- 16 -（1）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， ，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元：若该销售商购进三辆（车龄
20、已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值【答案】 （1） （2） 5000【解析】试题分析：（1）根据题意，首先确定 X 的所有可能取值，然后利用统计表格，借助古典概型的公式计算对应的概率，进而利用期望公式求解；（2）利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率，明确 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性，得到分布列和利润期望值.（）由题意可知 X 的可能取值为 ，由统计数据可知:，.所以 的分布列为：所以 .（） 由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，
21、三辆车中至多有一辆事故车的概率为 .为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， 的可能取值为 .- 17 -所以 的分布列为：所以 .所以该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.21.已知函数 .（1）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；（2）求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)通过二次求导判断则 在 上单调递增，则 ，再通过分类讨论求求 恒成立.（2）由（1）中结论利用函数的单调性证明.【详解】 （1）若 时, 则 ， 在 上单调递增，则 则 在 上单调递增， 当 ，即 时， ，则 在 上单调递增，此时 ，满足题意若 ,由 在
22、上单调递增，由于 ， .故 ,使得 . 则当 时, ,- 18 -函数 在 上单调递减. ,不恒成立.舍去综上所述,实数 的取值范围是 （2）证明:由(1)知,当 时, 在 上单调递增.则 ,即 . . ,即【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性及最值中的应用，综合性较强.第一问通过二次求导判断 的符号以及分类讨论思想运用是本题解题的难点.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲
23、线 与的交点，且 ， 均异于原点 ， ，求 的值.【答案】 （1） 的普通方程为 . 的直角坐标方程为 ；（2） .【解析】【分析】（1）由曲线 C1的参数方程消去参数能求出曲线 C1的普通方程；曲线 C2的极坐标方程化为 24sin，由此能求出 C2的直角坐标方程（2）曲线 C1化为极坐标方程为 4cos，设 A（ 1， 1） ， B（ 2， 2） ，从而得到|AB| 1 2|4sin4cos|4 |sin（ ）|4 ，进而 sin（ ）1，由此能求出结果【详解】解：（1）由 消去参数 ，得 的普通方程为 . ，又 ，- 19 - 的直角坐标方程为 .（2）由（1）知曲线 的普通方程为 ，其
24、极坐标方程为 ， .又 ， .【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题23.已知 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为实数集 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）当 a3 时， f（ x） x2+|2x4|3，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（ x） x2+|x|的解集；（2） f（ x）0 的解集为实数集 Ra x2|2 x4|，通过对 x 的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得 x2|2 x4|的最大值为3，从而可得实数 a 的取值范围【详解】解：（1）当 时， .或 或或 或 或 .当 时，不等式 的解集为 .（2） 的解集为实数集 对 恒成立.- 20 -又 ， . .故 的取值范围是 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题- 21 -
