1、- 1 -四川省内江市 2019 届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）第 I卷(选择题，共 60分）一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合 A，由此能求出 A B【详解】集合 A x|x1， xN0，1，又 ， A B0，1故选 A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件 2.设 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用复数的
2、运算法则及其性质即可得出【详解】 z 2i 2i1 i 2i=1+ i，则| z| 故选： C【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.如图是民航部门统计的某年春运期间 12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）- 2 -A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅
3、度、升降趋势，逐一验证即可【详解】由图可知，选项 A、B、C 都正确，对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误故选： D【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题4.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列 an的前 n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列 an的公差【详解】 Sn为等差数列 an的前 n项和， a33， S621，- 3 - ，解得 a11， d1数列 an的公差为 1故选： A【点睛】本题考查数列的公差的
4、求法，考查等差数列的前 n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.若 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 ，对 两边平方即可求出 ，从而可求出，这样即可求出 与 的夹角【详解】 ； ； ； ；又 ； 的夹角为 故选： D【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知画出图形，连接 BC1，由 AB A1B1，可得 C1AB为异面直线 A1B1与 AC1所成角，求
5、解三角形得答案【详解】如图，连接 BC1，由 AB A1B1， C1AB为异面直线 A1B1与 AC1所成角，由已知可得 ，则 cos C1AB 即异面直线 A1B1与 AC1所成角的余弦值为 故选： B【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题7.函数 的图象大致是（ ）A. B. - 5 -C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解【详解】当 x+时， f（ x），故排除 D；易知 f（ x）在 R上连续，故排除 B；且 f（0） ln2 e1 0，故排除 A，故选： C【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想
6、方法应用8.已知函数 ，给出下列四个结论： 函数 的最小正周期是 ； 函数 在区间 上是减函数； 函数 的图像关于点 对称； 函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移 1个单位得到.其中正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断的正误；利用函数的单调性判断的正误；利用函数 ysin x的中心判断的正误；函数的图象的变换判断的正误；- 6 -【详解】 f（ x）sin2 x2sin 2x+11sin 2 x+cos 2x1 sin（2 x ）1因为 2，则 f（
7、x）的最小正周期 T，结论正确当 x 时，2 x ， ，则 sinx在 上是减函数，结论正确因为 f（ ）1，得到函数 f（ x）图象的一个对称中心为（ ，1） ，结论不正确函数 f（ x）的图象可由函数 y sin2x的图象向左平移 个单位再向下平移 1个单位得到，结论不正确故正确结论有，故选： B【点睛】本题考查了命题的真假的判断，三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目9.若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，求出函数 f（ x）的导数，利用导数的几何意义可得 k f（1）
8、 ，即 tan ，结合 的范围，分析可得答案【详解】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，f（ x） lnx x，则 f（ x） x2 1，则有 k f（1） ，则 tan ，又由 0，则 ，故选： B【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题10.设 表示不小于实数 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）- 7 -A. 14 B. 15C. 16 D. 17【答案】A【解析】【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 S， i的值，当 i8 时，退出循环，得到输出的 S的值【详解】模拟程序框图的运行过程，如下；i
9、1， S0，不满足条件,执行循环体，S0+ 0，i=2,不满足条件 i7,S0+ 1，i=3,不满足条件 i7,S1+ 3，i=4,不满足条件 i7,S3+ 5，i=5,不满足条件 i7,S5+ 8，i=6,不满足条件 i7,S8+ 11，i=7,不满足条件 i7,S11+ 14，i=8,满足条件 i7，退出循环，输出 S的值为 14故选 A.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的应用问题，考查了新概念 表示的意义，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果，属于基础题11.在 中，已知 ， ，点 D为 BC的三等分点(靠近 C)，则 的取值范围为（ ）- 8 -A. B. C
10、. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量 的数量积，再利用余弦函数求最值，得解【详解】如图，8172cos BAC BAC（0，） ，cos BAC（1，1） ，72cos BAC（5，9） ，故选： C【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大12.设函数 在 R上存在导数 ，对任意的 ，有 ，且 时，若 ，则实数 a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A- 9 -【解析】【分析】构造函数 ，由 可得 在 上是增函数，在 上单调递减，原不等式等价于 ，从而可得结果.【详解】设 ，则 时，为偶函数，在 上是增函数，时单调递减.所
11、以可得 ，即 ，实数 的取值范围为 ，故选 A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷（非选择题共 90分）二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分）1
12、3.若函数 满足 ，且 ，则 _.【答案】【解析】【分析】根据题意，有 f（ x+1） f（ x）可得 f（ x+2） f（ x+1） f（ x） ，即可得函数是周期- 10 -为 2的周期函数，则有 f（15） f（1+14） f（1） ，又由 f（ x+1） f（ x）可得 f（1）的值，分析可得答案【详解】根据题意，函数 f（ x）满足 f（ x+1） f（ x） ，则有 f（ x+2） f（ x+1） f（ x） ，即函数是周期为 2的周期函数，则 f（15） f（1+14） f（1） ，又由 f（1） f（0）2；故 f（15）2；故答案为：2【点睛】本题考查函数值的计算，涉及函数的
13、周期性，关键是分析函数的周期性14.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z2 x+y为 y2 x+z，由图可知，当直线 y2 x+z过 A（1，2）时直线在 y轴上的截距最小， z最小 z21+24- 11 -故答案为 4【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15.已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆 的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由已知利用椭圆定义及勾股定
14、理求得 ，结合 PF1F2的面积为 ab，可得 a2 b，则椭圆离心率可求【详解】如图， 0， ，则 ， ，即 ，得 ，又 PF1F2的面积为 ab， ，即 a2 b e - 12 -故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及勾股定理的应用，是中档题16.设数列 满足 ， ， ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】数列 an满足 a11， a24， a39， an an1 +an2 an3 （ nN*， n4） ，即an+an3 an1 +an2 （ nN*， n4） ， a4 a3+a2 a112，同理可得：a517 a620， a725， a828， a933，可得数列 a
15、n的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8,即可得出【详解】数列 an满足 a11， a24， a39， an an1 +an2 an3 （ nN*， n4） ，a4 a3+a2 a112，同理可得： a517 a620， a725， a828， a933，有 a11， a39， a517， a725， a933，a24， a412； a620， a828，数列 an的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 8则 a2018 a2+（10091）84+80648068故答案为：8068【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、
16、解答题（共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共 60分.17.等比数列 的各项均为正数，且求数列 的通项公式.设 求数列 的前 n项和 .【答案】 （1） （2） - 13 -【解析】试题分析：（）设出等比数列的公比 q，由 ，利用等比数列的通项公式化简后得到关于 q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 ，把求出的 q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数
17、列an的通项公式代入设bnlog 3a1log 3a2log 3an，利用对数的运算性质及等差数列的前 n项和的公式化简后，即可得到 bn的通项公式，求出倒数即为 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列 的前 n项和试题解析：（）设数列a n的公比为 q,由 9a 2a6得 9 ,所以 q2 由条件可知 q0,故 q 由 2a13a 21 得 2a13a 1q1,所以 a1 故数列a n的通项公式为 an （）b nlog 3a1log 3a2log 3an（12n） 故 所以数列 的前 n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和18.国家质量监督检验检疫局于
18、 2004年 5月 31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20毫克/百毫升，小于 80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：- 14 -该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝 1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据： ）【答案】 （1）喝 1瓶啤酒后 1.5小时血液中的酒精含量达到最大值 44.4
19、2毫克/百毫升；（2）喝 1瓶啤酒后需 6小时后才可以合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数 取得最大值时， ，根据函数模型，即可求出最大值；（2） ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20毫克/百毫升时可以驾车，此时 ，然后解不等式 ，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数 取得最大值时， ，此时 ，当 ，即 时，函数 取得最大值为 .故喝 1瓶啤酒后 1.5小时血液中的酒精含量达到最大值 44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20毫克/百毫升时可以驾车，此时 .由 ，得： ，两边取自然对数得：即 ，- 15 - ，故喝 1瓶啤酒后需
20、 6小时后才可以合法驾车.19.如图, 是直角 斜边 上一点, （）若 ，求角 的大小；（）若 ，且 ，求 的长【答案】 （I） ；（II）2.【解析】【分析】（1）先根据正弦定理求得 ，由此得到 的值，进而求得 ，在直角三角形中求得 的大小.（2）设 ，利用 表示出 ，求得 的值，利用余弦定理列方程，解方程求出 ，也即求得 的值.【详解】 （1）在 中，根据正弦定理，有 ， ， ，又 ， ，于是 ， .（2）设 ，则 ， ， ，于是 ， ， ，在 中，由余弦定理，得 ，即 ，故 .- 16 -【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.
21、20.某中学为了了解全校情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组次数分为 5组： ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求 的值；（2）求抽取的 40名次数不少于 15次的人数；（3）再从月上网次数不少于 20 次的学生中随机抽取 2人，求至少抽到 1名女生的概率.【答案】 （1） ；（2） 人；（3） .【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算 a的值即可；（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于 15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）利用列举法求基本事件数，计算对
22、应的概率值即可【详解】解析：（1）由 ，得 .（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于 15次的学生频率为 ，在所抽取的女生中，月上网次数不少于 15次的学生有 人.在所抽取的男生中，月上网次数不少于 15次的学生频率为 ，在所抽取的男生中，月上网次数不少于 15次的学生有 人.故抽取的 40名次数不少于 15次的人数有 人.（3）记“再从月上网次数不少于 20次的学生中随机抽取 2人，至少抽到 1名女生”为事件- 17 -，在抽取的女生中，月上网次数不少于 20次的学生频率为 ，人数为 .在抽取的男生中,月上网次数不少于 20次的学生频率为 ，人数为 . 记两名女生为 ， ，三名男生为 ，
23、， ，则在抽取的 40名次数不少于 20次的学生中随机抽取 2人，所有可能有 10 种：即 ， ， ,， ， ， ， ， ， ,而事件 包含的结果有 7 种： ， ， ， ， ， ， ， .【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目21.已知函数 .（1）当 时， 恒成立，求 的值； （2）若 恒成立，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出 a的值即可；（2）把 f（ x）0 恒成立，转化为 lnx ax+b恒成立，当 a0 时显然不满
24、足题意；当a0 时，要使 lnx ax+b对任意 x0 恒成立，需要直线 y ax+b与曲线 y lnx相切，设出切点坐标，把 a， b用切点横坐标表示，得到 a+b lnx01（ x00） ，构造函数 g（ x）lnx1，利用导数求其最小值得答案【详解】解：（1）由 ，得 ，则 . .若 ，则 ， 在 上递增.- 18 -又 ，. 当 时， 不符合题意. 若 ，则当 时， ， 递增；当 时， ， 递减.当 时， .欲使 恒成立，则需记 ，则 .当 时， ， 递减；当 时， ， 递增.当 时，综上所述，满足题意的 .（2）由（1）知，欲使 恒成立，则 .而 恒成立 恒成立 函数 的图象不在函数
25、 图象的上方，又需使得 的值最小，则需使直线 与曲线 的图象相切.设切点为 ，则切线方程为 ，即 .令 ，则 .当 时， ， 递减；当 时， ， 递增. .故 的最小值为 0.【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查数学转化思想方法，是综合题（二）选考题：共 10分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .- 19 -（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲
26、线 与 的交点，点 是曲线 与的交点，且 ， 均异于原点 ， ，求 的值.【答案】 （1） 的普通方程为 . 的直角坐标方程为 ；（2） .【解析】【分析】（1）由曲线 C1的参数方程消去参数能求出曲线 C1的普通方程；曲线 C2的极坐标方程化为 24sin，由此能求出 C2的直角坐标方程（2）曲线 C1化为极坐标方程为 4cos，设 A（ 1， 1） ， B（ 2， 2） ，从而得到|AB| 1 2|4sin4cos|4 |sin（ ）|4 ，进而 sin（ ）1，由此能求出结果【详解】解：（1）由 消去参数 ，得 的普通方程为 . ，又 ， 的直角坐标方程为 .（2）由（1）知曲线 的普通
27、方程为 ，其极坐标方程为 ， .又 ， .【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题23.已知 .- 20 -（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为实数集 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）当 a3 时， f（ x） x2+|2x4|3，通过对 x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（ x） x2+|x|的解集；（2） f（ x）0 的解集为实数集 Ra x2|2 x4|，通过对 x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得 x2|2 x4|的最大值为3，从而可得实数 a的取值范围【详解】解：（1）当 时， .或 或或 或 或 .当 时，不等式 的解集为 .（2） 的解集为实数集 对 恒成立.又 ， . .故 的取值范围是 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题- 21 -
