1、- 1 -四川省眉山一中办学共同体 2018-2019 学年高一数学上学期半期考试试题（含解析）一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1.设 ， ，则 等于（ )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义，找到集合 A、B 的公共元素即可.【详解】 则 故选 D【点睛】本题考查集合运算，对于 A，B 两个集合，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的交集，记作 A B.所以找出 A、B 的公共元素是求交集的关键.2.已知集合 ， ，则满足条件 的集合 的个数为（ ）A. 4 B. 8 C.
2、 9 D. 16【答案】B【解析】【分析】根据集合 A、B、C 的关系，集合 C 中必然包含集合 A 中的元素，集合 B 共有五个元素，只需要确定集合 的子集个数，即为集合 C 的所有可能，所以集合 C 有 种可能.【详解】 集合 C 为： ， ， ， ， ， ， - 2 -故选 B【点睛】本题考查集合之间的关系以及集合子集个数的求法，首先需要确定集合中的元素，然后根据集合的特点确定集合子集个数，一般一个集合里有 N 个元素（可以是数）,则它所有子集的数目是 ,所有真子集数目 (子集除去本身),所有非空子集数目是 （子集除去空集）,所有非空真子集数目 （子集除去本身和空集）.3. 已知集合 A
3、0,8，集合 B0,4，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映射的是A. f：xy x B. f：xy xC. f：xy x D. f：xyx【答案】D【解析】试题分析：D 选项中的映射不能使集合 A 中的每一个元素都在集合 B 中找到一个元素与之对应，例如集合 A 中的元素 6 就不能在集合 B 中找到一个元素与之对应.考点：运用映定义判断对应关系是否为映射.4.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数定义域不同；C 中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数；D 中两函数定义域不同考点：判断两函数是
4、否同一函数5.已知 则 等于( ）A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】- 3 -本题可以根据分段函数解析式，由内到外，依次求解函数值，即可求得答案.【详解】f(-2)=0, f(0)= , 故选 A【点睛】本题主要考查了函数值的求解问题，解答题目的过程中要准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的解析式计算求值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可.【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数；C.奇
5、函数但在定义域上不是增函数；D. 奇函数，单调递减函数；故选 B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考查了推理能力。7.函数 在 上单调递减，关于 的不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】抽象函数不等式问题主要是利用函数单调性构造不等式来解决，要注意定义域.【详解】因为函数 在 上单调递减所以解得： 故选 C【点睛】本题考查函数单调性应用，利用函数单调性构造关于 x 的不等式，在解决类似的问题时，还应注意函数的定义域，这也是构造不等式的方法，这往往是同学们容易忽略的问题。- 4 -8.已知 ，则 （ ）
6、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题可以先用换元法求出函数 f(x)解析式，然后再将 x 换为 x+1 求出解析式.【详解】设 t=x-1，则 x=t+1化解得：故选 A【点睛】本题考查函数解析式求解方法，常用的方法有：换元法、待定系数法、配凑法、构造方程组法等，换元法比较常用，需要关注的问题是换元后新元的范围也即函数定义域.9.函数 在区间 上为减函数，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时 ，满足题意当 时由题意可得 综上可得 考点：一次函数，二次函数的单调性10.若函数 的定义域为0， m，值域为 ，则 m 的取值范围是( )A
7、. （0，4 B. C. D. 【答案】C- 5 -【解析】当 x0，x3 时，y4，当 x 时，y .m ，选 C.点睛:本题考查二次函数的值域问题,属于基础题.二次函数判断单调性或者求最值往往利用配方法求出函数的对称轴,根据开口方向画出函数的大概图象,判断出给定区间上的单调性,若对称轴在定义域内,则在对称轴处取到一个最值,在端点处取到另一个最值,若对称轴不在定义域内,一般在端点处取最值.11.定义在 R 上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，且，则不等式 解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：对任意的 （-，0（ ） ，有 ，此时函数 f（x）为减函数，f（x）是偶
8、函数，当 x0 时，函数为增函数，则不等式 等价为 ，即 xf（x）0，f（-2）=-f（2）=0，作出函数 f（x）的草图：则 xf（x）0 等价为 或 ，即 x-2 或 0x2，故不等式的解集为（-，-2）（0，2） 考点：函数单调性的性质12.已知函数 ，若存在 x1 x2，使得 f（ x1）= f（ x2） ，则 x1f（ x2）的取值范围为（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：作出函数图象，如图，由图象可知，函数在 ， 单调递增，且当， 时，满足存在 ，使得 ，则 ，且，所以 ，故选 C考点：分段函数的图象应用【思路点睛】本题主要考查分段函数的求值由函数
9、图象可知，若存在 ，使得，则函数值必在区间 内，由此可得出 ， ，进而求出 ，即 ，由不等式性质， ，即二、填空题（共 20 分，每小题 5 分）13.计算 ，所得结果为_【答案】【解析】【分析】- 7 -根据指数幂运算性质即可求解.【详解】【点睛】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
10、14.若指数函数 的图象经过点 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】先根据指数函数过点 ，求出 的值，再代入计算即可.【详解】因为指数函数 且 的图象经过点 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.15.已知函数 若 有最小值 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】【分析】根据二次函数性质可知函数在 上单调递增，在 上单调递减，则函数在 上当 x=0 时取得最小值，即可求得 a 的值.【详解】二次函数 在 单调递增，当 单调递减- 8 -故在 x=0 时取得最小值，即 a=2【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，主要有三种类
11、型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解16.已知函数 在 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分段函数在 R 上单调递减，首先在 单调递减即 ，在 也单调递减即 ，其次在 x=1 时 即可解得 a 的范围.【详解】因为 在 上单调递减所以 解得：【点睛】分段函数单调性要满足两个条件：1.各区间上函数单调；2. 分界点处函数值要符合函数的单调性（如果为增函数则左小右大，如果为减函数则左大右小）三、解答题
12、（共 70 分）17.已知集合 ，集合 ，（1）若 ，求 ；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】- 9 -（1）先求出集合 A 和 B，根据交集定义求得 ；（2） 可知 ，由子集定义可列出关于 m 的不等式组求解 ,注意集合 B 的两种情况讨论： 和 .【详解】(1）由 ， 而 B=5,7(2) 当 时，m+12m-1 得：m0，知 f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)由定义可知，函数 y f(x)在区间(，0上单调递减（3）当 x0 时， x0 的图像，再关于 y 轴对称；函数单调性在 x0 时的单调性与x0 的单调性相反.20.已知二次函数
13、的最小值为 1，且 （1）求 的解析式（2）在区间1,1上， 的图象恒在 的图象上方，试确定实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式： ，问题转化为不等式在1,1恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.【详解】 （ ）由已知 是二次函数，且 ，得 的对称轴为 ，- 12 -又 的最小值为 ，故设 ，又 ， ，解得 ， （2）由于在区间1,1上， 的图象恒在 的图象上方，所以在1,1上恒成立，即 在 上恒成立令 ，则 在区间1,1上单调递减， 在区间
14、1,1上的最小值为 ， ，即实数 的取值范围是【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.21. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万
15、元（如图） （1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系（2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】 （1） ； （2）.【解析】- 13 -试题分析：（1）根据题意，得 ， ，代入点的坐标，求的 的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品 万元，则股票类投资为万元，令 ，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益试题解析：（1） ， ， ，（2）设：投资债券类产品 万元，则股票类投资为 万元令 ，则所以当 ，即 万元时，收益最大， 万元考点：函数的实际应用问题【此处有视频，请去附件查看】22
16、.已知函数 定义域为 ，若对于任意的 ，都有 ，且时，有 .（1）判断并证明函数 的奇偶性；（2）判断并证明函数 的单调性；（3）设 ，若 ，对所有 ， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；（3） 或 .【解析】试题分析：（1）利用赋值法先求出 ，然后令 ，可得 与 的关系，从而判定函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先在定义域上任取零点，并规定大小，然后判断函数的大小，从而确定函数的单调性；（3）关于恒成立的问题常常进行转化，若，对所有 ， 恒成立，可转化成 恒成立，然后将其看出关于 的函数，即可求解.- 14 -试题解析：（1）因为
17、有 ，令 ，得 ，所以 ，令 可得： ，所以 ，所以 为奇函数.（2） 是定义在 上的奇函数，由题意设 ，则 ，由题意 时，有 ， ， 是在 上为单调递增函数；（3）因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上的最大值为 ，所以要使 ，对所有 ， 恒成立，只要 ，即 恒成立.令 ， 得 ， 或 .考点：抽象函数及其应用.【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的图象与性质的应用，其中解答中涉及到抽象函数的奇偶性和函数的单调性，以及函数的恒成立问题的运用，着重考查了转化思想，学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题设条件，利用单调性和奇偶性的定义是解答关键.- 15 -
