1、- 1 -天津市宝坻区大口屯高级中学 2019 高三数学下学期周考试题一、填空题（共 14 小题）1. 函数 的最小正周期为 2. 为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为 100 的样本，其中高一年级抽取 24 人，高二年级抽取 26 人 若高三年级共有学生 600 人，则该校学生总人数为 3. 若复数 为虚数单位 为纯虚数，其中 ，则 4. 执行如图程序，若输出的结果是 4，则输入的 x 的值是 5. 函数 的定义域为 (第 4 题)6. 将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具 先后抛掷 2 次，则向上的点数之
2、差的绝对值是 2 的概率为 7. 离心率为 2 且与椭圆 有共同焦点的双曲线方程是 8. 设抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 9. 已知 ，则 的值等于 10. 方程 的解可视为函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标 若方程 的各个实根 ， ， ， 所对应的点 2， ， 均在直线的同侧，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 小题 ）11. 在 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 ， 求 的面积；若 ，求 a 的值- 2 -12.如图，直三棱柱 中， D， E 分别是 AB、 的中点， 证明： 平面 ；平面 平面 13. 如图，在正三棱柱中，则四
3、棱锥 的体积是 (第 10 题) (第 11 题)- 3 -14. 如图，在 中， D 为 AC 的中点， ， ，则 .15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ，点 ， P 为圆 上一动点，则的最大值是 16. 已知实数 a， b 满足 ，则 的最大值是 17. （本小题满分 14 分）科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放 简称碳排放 对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨，否则将采取紧急限排措施 已知 A 市 2017 年的碳排放总量为 400 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少
4、 同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量 m 万吨 求 A 市 2019 年的碳排放总量 用含 m 的式子表示 ；若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围18. 已知椭圆 C： 的焦距为 2，左右焦点分别为 ， ，以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的半短轴长为半径的圆与直线 相切 求椭圆 C 的方程； 设不过原点的直线 l： 与椭圆 C 交于 A， B 两点若直线 与 的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标；若直线 l 的斜率是直线 OA， OB 斜率的等比中项，求 面积的取值范围- 4 - 5 -19. 已知 ， 求函数 图象恒过的
5、定点坐标； 若 恒成立，求 a 的值； 在 成立的条件下，证明： 存在唯一的极小值点 ，且 20. 给定无穷数列 ，若无穷数列 满足：对任意 ，都有 ，则称 与“接近”设 是首项为 1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与接近，并说明理由；设数列 的前四项为： ， ， ， ， 是一个与 接近的数列，记集合 2，3 ， ，求 M 中元素的个数 m；已知 是公差为 d 的等差数列，若存在数列 满足： 与 接近，且在 ， ， 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围- 6 -天津大口屯高级中学周测试数 学21. 已知矩阵 求 A 的逆矩阵 ；若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点
6、 ，求点 P 的坐标22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合 若曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 为参数 将 的方程化为直角坐标方程；若 上的点 Q 对应的参数为 ，P 为 上的动点，求 PQ 的最小值|23. 如图，在四棱锥 中，已知 平面 ABCD，且四边形 ABCD为直角梯形， ， ， 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长24. 在集合 2，3，4， ， 中，任取 元素构成集合 若 的所有元素之和为偶数，则称 为 A 的偶子集，其个数记为 ；若 的
7、所有元素之和为奇数，则称 为 A 的奇子集，其个数记为 令 当 时，求 ， 的值；求 【答案】1. 6 - 7 -2. 1200 3. 2 4. 2 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 2 13. 4 14. 15. 解： 因为 ，所以 ， 又由 得 ，所以因此 由 知， ，又 ，由余弦定理，得 ，所以 16. 解： 连结 ，交 点 O，连 DO，则 O 是 的中点，因为 D 是 AB 的中点，故因为 平面 ， 平面所以 平面取 AC 的中点 F，连结 EO， OF， FB，因为 O 是 的中点，故 且显然 且所以 且- 8 -则四边形 BEOF 是平行四边形所以因为所以又所
8、以直线 平面因为所以直线 平面所以平面 平面 17. 解： 设 2018 年的碳排放总量为 ，2019 年的碳排放总量为 ， ，由已知， ，市 2019 年的碳排放总量为 ，由已知有 ， ，当 即 时， ，满足题意；当 ，即 时， 为递减数列，解得 综合得 ；当 即 时， ，解得 ，综合得 综上可得所求范围是 18. 解： 由题意可得 ，即 ，由直线 与圆 相切，- 9 -可得 ，解得 ，即有椭圆的方程为 ； 证明：设 ， ，将直线 代入椭圆 ，可得 ，即有 ， ，由 ，即有 ，代入韦达定理，可得 ，化简可得 ，则直线的方程为 ，即 ，故直线 l 恒过定点 ；由直线 l 的斜率是直线 OA，
9、OB 斜率的等比中项，即有 ，即为，可得 ，解得 ，代入 ，可得 ，且 由 O 到直线的距离为 ，- 10 -弦长 AB 为 ，则 面积为 ，当且仅当 ，即 时，取得最大值则 面积的取值范围为 19. 解： 要使参数 a 对函数值不发生影响， 必须保证 ，此时 ，所以函数的图象恒过点 依题意得： 恒成立，恒成立构造函数 ，则 恒过 ， ，若 时， 0/， 在 R 上递增，不能恒成立若 时， ， 时， ，函数 单调递减；时， 0/，函数 单调递增，在 时为极小值点， ，要使 恒成立，只需 设 ，则函数 恒过 ， ， 0/，函数 单调递增； ， ，函数 单调递减，在 取得极大值 0，要使函数 成立
10、，只有在 时成立证明 ，设 ，令 0/，- 11 -在 单调递减，在 单调递增，在 处取得极小值，可得 一定有 2 个零点，分别为 的一个极大值点和一个极小值点，设 为函数 的极小值点，则 ， ， ，在区间 上存在一个极值点，最小极值点在 内函数 的极小值点的横坐标 ，函数 的极小值 ，20. 解： 数列 与 接近理由： 是首项为 1，公比为 的等比数列，可得 ， ，则 ， ，可得数列 与 接近；是一个与 接近的数列，可得 ，数列 的前四项为： ， ， ， ，可得 ， ， ， ，可能 与 相等， 与 相等，但 与 不相等， 与 不相等，- 12 -集合 2，3， ，M 中元素的个数 或 4；是公差为 d 的等差数列，若存在数列 满足： 与 接近，可得 ，若 ，取 ，可得 ，则 ， ， ， 中有 200 个正数，符合题意；若 ，取 ，则 ， ，可得 ，则 ， ， ， 中有 200 个正数，符合题意；若 ，可令 ， ，则 ，则 ， ， ， 中恰有 100 个正数，符合题意；若 ，若存在数列 满足： 与 接近，即为 ， ，可得 ， ， ， 中无正数，不符合题意综上可得， d 的范围是 - 13 -
