1、1河南省许昌市魏都区 2019 年中考数学一模试题一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1若 2 是一元二次方程 x2+mx4 m0 的一个根，则另一个根是（ ）A4 B4 C6 D62下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D3 ABC 中， A， B 都是锐角，且 sinA ，cos B ，则 ABC 的形状是（ ）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D锐角三角形或钝角三角形4如图，在 ABC 中，点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上，连接 CD、 BE 交于点 O，且DE BC， OD1， OC3， AD2，则 AB 的长为（ ）A4 B6 C8 D95如
2、图， AB 为 O 的直径，弦 CD AB，连结 OD， AC，若 CAO70，则 BOD 的度数为（ ）A110 B140 C145 D1506如图是二次函数 y ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式 ax2+bx+c0 的 x 的取值范围是（ ）2A1 x5 B x5 C x1 且 x5 D x1 或 x57在联欢会上，有 A、 B、 C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ABC 的（ ）A三边中垂线的交点 B三边中线的交点C三条角平分线的交点 D三边上高
3、的交点8若抛物线 y x23 x+c 与 y 轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（ ）A抛物线开口向下B抛物线与 x 轴的交点为（1，0），（3，0）C当 x1 时， y 有最大值为 0D抛物线的对称轴是直线 x9如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A， B 在反比例函数 y （ k0， x0）的图象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BD x 轴若菱形 ABCD 的面积为 ，则 k 的值为（ ）A B C4 D510如图，在 ABC 中， A36， AC AB2，将 ABC 绕点 B 逆时针方向旋转得到 DBE，使点E 在边 AC 上， DE 交 AB 于点 F，则 AFE
4、 与 DBF 的面积之比等于（ ）3A B C D二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11方程 x2+3x+10 的解是： x1 ， x2 12如图，过原点的直线 l 与反比例函数 y 的图象交于 M， N 两点，若 MO5，则 ON 根据图象猜想，线段 MN 的长度的最小值 13如图，在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、 B、 C 都在格点上，则cos BAC 的值为 14小强很喜欢操作探究问题，他把一条边长为 8cm 的线段 AB 放在直角坐标系中，使点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 P 为线段 AB 的中点在平面
5、直角坐标系中进行操作探究：当点 B 从点 O 出发沿 x 轴正方向移动，同时顶点 A 随之从 y 正半轴上一点移动到点 O 为止小强发现了两个正确的结论：（1）点 P 到原点的距离始终是一个常数，则这个常数是 cm；（2）在 B 点移动的过程中，点 P 也随之移动，则点 P 移动的总路径长为 cm415如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB6， BC10， BC 边上有一点 E， BE4，将纸片折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕 MN 交 AD 于 M 点，则线段 AM 的长是 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16在等腰三角形 ABC 中，三边分别为 a、 b、 c，其中 4，若 b
6、、 c 是关于 x 的方程x2（2 k+1） x+4（ k ） 0 的两个实数根，求 ABC 的周长172018 年 6 月，宁波全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是红色：有害垃圾；蓝色：可回收垃圾；绿色：厨余垃圾；黑色：其他垃圾（1）居民 A 将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，问他能正确投放垃圾的概率是 （2）居民 B 手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入其他垃圾桶问：两袋垃圾都投放错误的概率？请画出树状图或列表说明理由18如图， C 是 O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上，
7、O 的半径为 3， PB2， PC4（1）求证： PC 是 O 的切线（2）求 tan CAB 的值519如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A（0，3）， B（1，0），连接 BA，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BC，反比例函数 y 的图象 G 经过点 C（1）请直接写出点 C 的坐标及 k 的值；（2）若点 P 在图象 G 上，且 POB BAO，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若 Q（0， m）为 y 轴正半轴上一点，过点 Q 作 x 轴的平行线与图象 G 交于点 M，与直线 OP 交于点 N，若点 M 在点 N 左侧，结合图象，直接写出 m 的取值范围2
8、0如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上（1）求 BAD 的度数；（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？21图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？622感知：如图，在四边形 ABCD 中， AB CD， B90，点 P 在 BC 边上，当 APD90时，可知 ABP PCD（不要求证明）探究：如图，在四边形
9、 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当 B C APD 时，求证： ABPPCD拓展：如图，在 ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上若 B C DPE45， BC6 ， CE4，则 DE 的长为 23如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2+bx3 交 x 轴于点 A（3，0）、 B（1，0），在 y 轴上有一点 E（0，1），连接 AE（1）求二次函数的表达式；（2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴下方的一个动点，求 ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标
10、；若不存在，请说明理由72019 年河南省许昌市魏都区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】将 x2 代入方程求出 m 的值，得到关于 x 的方程后解之可得【解答】解：将 x2 代入方程，得：4+2 m4 m0，解得： m2，则方程为 x2+2x80，（ x2）（ x+4）0，解得： x2 或 x4，故选： A【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法2【分析】根据旋转 180后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可【解答】解： A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不
11、是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选： D【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出 A， B 的度数，进而得出答案【解答】解：sin A ，cos B ， A45， B60， C75， ABC 的形状是锐角三角形故选： C【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键4【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，证明 ADE ABC，根据相似三角8形的性质计算即可【解答】解： DE BC， ， DE BC，
12、ADE ABC， ， AB3 AD6，故选： B【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键5【分析】根据题意求出 C 的度数，根据圆周角定理求出 AOD 的度数，根据邻补角的概念求出答案【解答】解： CD AB， CAO70， C20， AOD40， BOD140，故选： B【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键6【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与 x 轴的另一交点，再写出函数图象在 x 轴上方部分的 x 的取值范围即可【解答】解：由图可知，二次函数
13、图象为直线 x2，所以，函数图象与 x 轴的另一交点为（1，0），所以， ax2+bx+c0 时 x 的取值范围是1 x5故选： A【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与 x 轴的另一个交点是解题的关键7【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上9【解答】解：三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，凳子应放在 ABC 的三边垂直平分线的交点最适当故选： A【点评】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决
14、实际问题是一种能力，要注意培养想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键8【分析】 A、由 a10，可得出抛物线开口向上， A 选项错误；B、由抛物线与 y 轴的交点坐标可得出 c 值，进而可得出抛物线的解析式，令 y0 求出 x 值，由此可得出抛物线与 x 轴的交点为（1，0）、（2，0）， B 选项错误；C、由抛物线开口向上，可得出 y 无最大值， C 选项错误；D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线 x ， D 选项正确综上即可得出结论【解答】解： A、 a10，抛物线开口向上， A 选项错误；B、抛物线 y x23 x+c 与 y 轴的交点为（0，
15、2）， c2，抛物线的解析式为 y x23 x+2当 y0 时，有 x23 x+20，解得： x11， x22，抛物线与 x 轴的交点为（1，0）、（2，0）， B 选项错误；C、抛物线开口向上， y 无最大值， C 选项错误；D、抛物线的解析式为 y x23 x+2，抛物线的对称轴为直线 x ， D 选项正确故选： D【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键109【分析】根据题意，利用面积法求出 AE，设出点 B 坐标，表示点 A 的坐标应用反比例函
16、数上点的横纵坐标乘积为 k 构造方程求 k【解答】解：连接 AC， BD， AC 与 BD、 x 轴分别交于点 E、 F由已知， A、 B 横坐标分别为 1，4 BE3四边形 ABCD 为菱形， AC、 BD 为对角线 S 菱形 ABCD4 AEBE AE设点 B 的坐标为（4， y），则 A 点坐标为（1， y+ ）点 A、 B 同在 y 图象上4 y1（ y+ ） y B 点坐标为（4， ） k5故选： D【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与 k之间的关系10【分析】首先证明 BD AE，可得 AEF BDF，推出 （ ） 2，想办法求出 即可解
17、决问题；【解答】解： AB AC， A36， ABC C72，11 BC BE， C BEC72， EBC36， ABE A36， DBE72， ABD A36， BD AE， AEF BDF， （ ） 2，设 BC BE AE x， C C， CBE A， CBE CAB， BC2 CECA， x2（2 x）2， x2+2x40， x1+ ，或 x1 ， （ ） 2故选： C【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【
18、分析】套用求根公式列式计算可得【解答】解： a1、 b3、 c1，12941150，则 x ，即 x1 、 x2 ，故答案为： 、 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键12【分析】由双曲线的对称性知 ON OM，可求 ON 的长，求线段 MN 的长度可转化为求 OM 的最小值，列出 OM 距离的求解式子，求式子的最小值即可【解答】解：过原点的直线 l 与反比例函数 y 的图象交于 M， N 两点点 M 与点 N 关于原点对称， OM ON5故答案为：5，设点 M
19、的坐标为（ x， ），则 OM ， x2+ 2（ x ） 20 x2+ 2， OM 的最小值为 ，由双曲线的对称性可知 ON OM，故 MN 的最小值为 2 故答案为：2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，两点距离公式，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键13【分析】如图，找出格点 D、 E，连接 CD、 AD，易知 ACD 是直角三角形， A、 C、 E 三点共线，然后勾股定理逆定理可判断 AEB 是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：如图，找出格点 D、 E，连接 CD、 AD，13易知 ACD 是直角三角形， A、 C、
20、E 三点共线，连接 BE，由勾股定理可知： AB21+910， AE21+12， BE24+48， AB2 AE2+BE2， ABE 是直角三角形，cos BAC ，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识14【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上一半，可求点 P 到原点的距离（2）由题意可发现点 P 是以 O 为圆心， OP 为半径的圆上，可求点 P 移动的总路径长【解答】解：（1）连接 OP， AOB90，点 P 是 AB 的中点 OP AB4（2）点 P 是以 O 为圆心， OP 为半径的圆上点 P 移动的总
21、路径长为 242【点评】本题考查了点的轨迹，关键是找到点的轨迹15【分析】过 M 作 MF BC 于 F，根据矩形的性质得到 DAB B90，推出四边形 ABFM 是矩形，得到 BF AM， FM AB6，根据折叠的性质得到 AM ME，设 AM x，则 EF BF x，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：过 M 作 MF BC 于 F，四边形 ABCD 是矩形， DAB B90，14四边形 ABFM 是矩形， BF AM， FM AB6，将纸片折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕 MN 交 AD 于 M 点， AM ME，设 AM x，则 EM BF x， EF x4，在 Rt MEF
22、 中， ME2 EF2+MF2， x2（ x4） 2+62，解得： x ，故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】分 a 为腰长及底边长两种情况考虑：当 a4 为腰长时，将 x4 代入原方程可求出 k值，将 k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出 ABC 的周长；当 a4为底长时，由根的判别式0 可求出 k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出 b+c 的值，由 b+c a 可得出此种情况不存在综上即可得出结论【解答】解：当 a4 为腰长时，将 x4 代入
23、原方程，得：4 24（2 k+1）+4（ k ）0，解得： k ，当 k 时，原方程为 x26 x+80，解得： x12， x24，此时 ABC 的周长为 4+4+210；当 a4 为底长时，（2 k+1） 2414（ k ）（2 k3） 20，解得： k ，15 b+c2 k+14 b+c4 a，此时，边长为 a， b， c 的三条线段不能围成三角形 ABC 的周长为 10【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分 a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键17【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）记有害垃圾为 A，可回收
24、垃圾为 B，厨余垃圾为 C，其他垃圾为 D，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得【解答】解：（1）他能正确投放垃圾的概率是 ，故答案为： （2）记有害垃圾为 A，可回收垃圾为 B，厨余垃圾为 C，其他垃圾为 D，B C DA （ B， A） （ C， A） （ D， A）B （ A， B） （ C， B） （ D， BC （ A， C）（ B， C） （ D， C）D （ A， D）（ B， D） （ C， D） 由表可知共有 12 种等可能结果，其中两袋垃圾都投放错误的有 7 种结果，两袋垃圾都投放错误的概率为 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率
25、注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18【分析】（1）可以证明 OC2+PC2 OP2得 OCP 是直角三角形，即 OC PC， PC 是 O 的切线（2） AB 是直径，得 ACB90，通过角的关系可以证明 PBC PCA，进而16，得出 tan CAB 【解答】解：（1）如图，连接 OC、 BC O 的半径为 3， PB2 OC OB3， OP OB+PB5 PC4 OC2+PC2 OP2 OCP 是直角三角形， OC PC PC 是 O 的切线（2） AB 是直径 ACB90 ACO+ OCB90 OC PC BCP+ OC
26、B90 BCP ACO OA OC A ACO A BCP在 PBC 和 PCA 中： BCP A， P P PBC PCA，tan CAB【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形17是解决问题的关键19【分析】（1）过 C 点作 CH x 轴于 H，如图，利用旋转的性质得 BA BC， ABC90，再证明 ABO BCH 得到 CH OB1， BH OA3，则 C（4，1），然后把 C 点坐标代入 y中可计算出 k 的值；（2）画出过点 C 的反比例函数 y 的草图，结合条件点 P 在图象 G 上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）由 Q
27、（0， m），得到 OQ m，得到 M（ ， m）， N（3 m， m），根据 点 M 在点 N 左侧，列不等式即可得到结论【解答】解：（1）过 C 点作 CH x 轴于 H，如图，线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BC， BA BC， ABC90， ABO+ CBH90， ABO+ BAO90， BAO CBH，在 ABO 和 BCH 中 ， ABO BCH（ AAS）， CH OB1， BH OA3， C（4，1），点 C 落在函数 y （ x0）的图象上， k414；（2）过 O 作 OP BC 交 y 的图象于点 P，过 P 作 PG x 轴于 G， POG OAB，
28、AOB PGO， OAB OHP， PG： OG OB： OA1：3，点 P 在 y 上，3 yPyP4，18 yP ，点 P 的坐标为（2 ， ）；（3） Q（0， m）， OQ m， OM x 轴，与图象 G 交于点 M，与直线 OP 交于点 N， M（ ， m）， N（3 m， m），点 M 在点 N 左侧， 3 m， m0， m 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键20【分析】（1）根据方向角的定义可知 CAD30， CAB60，由此即可解决问题；（2）过 A 作 AC BD 于点
29、 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离求出 AC 的长即可判断；【解答】解：（1） CAD30， CAB60， BAD603030（2）过 A 作 AC BD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离 ABD906030 ABD BAD BD AD12 海里19Rt ACD 中， CAD30， AC ADcos CAD 10.3928，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型21【分析】（1）由已知得到点 B、 C 坐标，由待定系数法求函数解析式；（2）当水位
30、下降 1m 时，设纵坐标为1，求出点坐标，得到水面宽度【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为： y ax2+b（ a0）当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m点 C（0，2），点 B（2，0）代入得：解得拱桥所在抛物线的解析式为 y（2）当水位下降 1m 时，水位纵坐标为1令 y1则1解得 x水面宽度为【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标22【分析】感知：先判断出， BAP DPC，进而得出结论；探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用相似三角形 BDP CPE 得出比例式求出 BD，三角形内角和定理证得 AC AB 且AC AB；然后
31、在直角 ABC 中由勾股定理求得 AC AB6；最后在直角 ADE 中利用勾股定理来求 DE 的长度【解答】解：感知： APD90， APB+ DPC90， B90，20 APB+ BAP90， BAP DPC， AB CD， B90， C B90， ABP PCD探究： APC BAP+ B， APC APD+ CPD， BAP+ B APD+ CPD B APD， BAP CPD B C， ABP PCD，拓展：同探究的方法得出， BDP CPE， ，点 P 是边 BC 的中点， BP CP3 ， CE4， ， BD ， B C45， A180 B C90，即 AC AB 且 AC AB6
32、， AD AB BD6 ， AE AC CE642，在 Rt ADE 中， DE 故答案是： 【点评】此题是相似综合题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理解本题的关键是 ABP PCD23【分析】（1）利用待定系数法求解可得；21（2）先求出直线 AE 的解析式为 y x+1，作 DG x 轴，延长 DG 交 AE 于点 F，设D（ m， m2+2m3），则 F（ m， m+1）， DF m2 m+4，根据 S ADE S ADF+S DEF可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线 x1，据此设 P（1，
33、n），由 A（3，0），E（0，1）知 AP24+ n2， AE210， PE2（ n1） 2+1，再分 AP AE， AP PE 及 AE PE 三种情况分别求解可得【解答】解：（1）二次函数 y ax2+bx3 经过点 A（3，0）、 B（1，0）， ，解得： ，二次函数解析式为 y x2+2x3；（2）设直线 AE 的解析式为 y kx+b，过点 A（3，0）， E（0，1）， ，解得： ，直线 AE 解析式为 y x+1，如图，过点 D 作 DG x 轴于点 G，延长 DG 交 AE 于点 F，设 D（ m， m2+2m3），则 F（ m， m+1）， DF m22 m+3+ m+1
34、m2 m+4，22 S ADE S ADF+S DEF DFAG+ DFOG DF（ AG+OG） 3DF （ m2 m+4） m2 m+6 （ m+ ） 2+ ，当 m 时， ADE 的面积取得最大值为 （3） y x2+2x3（ x+1） 24，抛物线对称轴为直线 x1，设 P（1， n）， A（3，0）， E（0，1）， AP2（1+3） 2+（ n0） 24+ n2， AE2（0+3） 2+（10） 210， PE2（0+1） 2+（1 n）2（ n1） 2+1，若 AP AE，则 AP2 AE2，即 4+n210，解得 n ，点 P（1， ）或（1， ）；若 AP PE，则 AP2 PE2，即 4+n2（ n1） 2+1，解得 n1， P（1，1）；若 AE PE，则 AE2 PE2，即 10（ n1） 2+1，解得 n2 或 n4， P（1，2）或（1，4）；综上，点 P 的坐标为（1， ）或（1， ）或（1，1）或（1，2）或（1，4）【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点
