1、12019 年广西贵港市港南区中考数学一模试卷评卷人 得 分 一选择题（共 12 小题）13 的相反数是（ ）A3 B3 C D2下列计算正确的是（ ）A a+a a2 B6 a35 a2 aC（2 x5） 24 x10 D a6a2 a33贵港市大力发展新能源汽车生产，预计 2019 年的产量达 51.7 万辆，将 51.7 万用科学记数法表示为（ ）A5.1710 3 B5.1710 4 C5.1710 5 D5.1710 64若一个正比例函数的图象经过 A（3，6）， B（ m，4）两点，则 m 的值为（ ）A2 B8 C2 D85如果关于 x 的方程（ a5） x24 x10 有两个实
2、数根，则 a 满足的条件是（ ）A a5 B a1 C a1 且 a5 D a1 且 a56中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”，“牛”，“羊”，“马”，“鸡”，“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（ ）A羊 B马 C鸡 D狗7下列说法正确的是（ ）A“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件B已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次一定可投中 6 次C处于中间位置的数一定是中位数D方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小8经过点（2，1）作一条直线和反比例函数 y 相交，当它们有且只有一个公共点时，
3、这样的2直线存在（ ）A2 条 B3 条 C4 条 D无数条9如图，四边形 AOBC 和四边形 CDEF 都是正方形，边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，点 D 在边 CB上，反比例函数 y 在第二象限的图象经过点 E，则正方形 AOBC 和正方形 CDEF 的面积之差为（ ）A12 B10 C8 D610如图， AB、 AC 为 O 的切线， B、 C 是切点，延长 OB 到 D，使 BD OB，连接 AD，如果 DAC78，那么 ADO 等于（ ）A70 B64 C62 D5111如图，Rt ABC 中， AB BC， AB6， BC4， P 是 ABC 内部的一个动点，且满足
4、 PAB PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ）A B2 C D12如图，在 ABC 中， AD 和 BE 是高， ABE45，点 F 是 AB 的中点， AD 与 FE、 BE 分别交于点 G、 H， CBE BAD有下列结论：3 FD FE； AH2 CD； BCAD AE2； DFE2 DAC；若连接 CH，则 CH EF，其中正确的个数为（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个评卷人 得 分 二填空题（共 6 小题）13函数： 中，自变量 x 的取值范围是 14因式分解：9 x281 15如图， l1 l2，156，则2 的度数为 16已知一组正数 a1， a2， a3， a4的
5、平均数为 2，则 a1+1， a2+2， a3+3， a4+4 的平均数为 17如图，已知 O 的半径为 2，从 O 外的点 C 作 O 的切线 CA 和 CB，切点分别为点 A 和点 D，若 ACB90， BC2 ，则图中阴影部分的面积是 18如图所示，已知：点 A（0，0），点 B（ ，0），点 C（0，1）在 ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x 轴上，另一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个 AA1B1，第 2 个 B1A2B2，第 3 个 B2A3B3，则第 n 个等边三角形的周长等于 4评卷人 得 分 三解答题（共 8 小题）19（1）计算：（1） 2019|
6、 2|（3.14） 0+ sin60（2）化简：（ ） ，请在 2，2，0，3 中选一个合适的数代入求值20如图，在 Rt ABC 中， ACB90（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：作 ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D；过点 D 作 AC 的垂线，垂足为点 E（2）在（1）作出的图形中，若 CB4， CA6，则 DE 21如图，直线 y kx+b（ k0）与双曲线 y 相交于 A（1， m）、 B（2，1）两点（1）求直线的解析式；（2）连接 OA， OB，求 AOB 的面积22为了庆祝即将到来的“五四”青年节，某校举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学的成5绩，并制
7、作成图表如下：分数段 频数 频率60 x70 30 0.1570 x80 m 0.4580 x90 60 n90 x100 20 0.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数 m ， n ；（2）请在图中补全频数分布直方图；（3）若绘制扇形统计图，分数段 60 x70 所对应扇形的圆心角的度数是 ；（4）全校共有 600 名学生参加比赛，估计该校成绩 80 x100 范围内的学生有多少人？23随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据统计，某小区 2016 年底拥有家庭轿车 640 辆，2018 年底家庭轿车的拥有量达到 1000 辆（1
8、）若该小区 2016 年底到 2019 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2019年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了解决停车困难，该小区决定投资 30 万元再建造若干个停车位据测算，室内车位建造费用 5000 元/个，露天车位建造费用 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区建造车位共有几种方案？24如图，在 ACB 中， C90， BC AB，点 O 在边 AB 上，且 AB3 OB，以 O 为圆心， OB 长为半径的圆分别交 AB， BC 于 D， E 两点（1）求证： AC 是 O 的切线；
9、（2）判断由 AC 与 O 的切点及点 D， O， E 所构成的四边形的形状，并说明理由625如图，抛物线 y x22 mx+3m 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3），（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 E 为线段 OC 上一动点，试求 AE+ EC 的最小值；（3）点 D 是 y 轴左侧的抛物线上一动点，连接 AC，当 DAB ACO 时，求点 D 的坐标26已知长方形 ABCD 中， AD10 cm， AB6 cm，点 M 在边 CD 上，由 C 往 D 运动，速度为 1cm/s，运动时间为 t 秒，将 ADM 沿着 AM 翻折至 AD M，点 D 对应点为
10、D， AD所在直线与边 BC交于点 P（1）如图 1，当 t0 时，求证： PA PC；（2）如图 2，当 t 为何值时，点 D恰好落在边 BC 上；（3）如图 3，当 t3 时，求 CP 的长72019 年广西贵港市港南区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1【分析】由相反数的定义容易得出结果【解答】解：3 的相反数是 3，故选： A【点评】本题考查了相反数的定义；熟记相反数的定义是解决问题的关键2【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解： A、 a+a2 a，故此选项错误；B、6 a35 a2，无法计算，故
11、此选项错误；C、（2 x5） 24 x10，正确；D、 a6a2 a4，故此选项错误；故选： C【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：51.7 万517 0005.1710 5故选： C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|
12、10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点 B 的坐标代入所得的函数解析式，即可求出 m 的值【解答】解：设正比例函数解析式为： y kx，将点 A（3，6）代入可得：3 k6，解得： k2，函数解析式为： y2 x，8将 B（ m，4）代入可得：2 m4，解得 m2，故选： A【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征解题时需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题5【分析】根据方程（ a5） x24 x10 有两个实数根得到（4） 24（ a5）（1）0，且 a50，求出 a 的取
13、值范围即可【解答】解：由题意知，（4） 24（ a5）（1）0，且 a50，解得： a1 且 a5，故选： D【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（ 2）0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“猪”相对的字是“羊”；“马”相对的字是“鸡”；“牛”相对的字是“狗”故选： D【点评】本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的 11 种展开图的特
14、征7【分析】根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案【解答】解： A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次一定可投中 6 次，说法错误；C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；故选： D【点评】此题主要考查了中位数、方差、随机事件以及概率，关键是掌握中位数、随机事件的定义，掌握概率和方差的意义8【分析】画出反比例函数的图象，利用数形结合的方法可求得答案9【解答】解：如图所示，当直线垂直 x 轴时，则与反比例函数的第一象限内
15、的图象有一个交点；当直线垂直 y 轴时，则与反比例函数的第三象限内的图象有一个交点；当直线与坐标轴不垂直时，则可分别与第一、三象限内的图象有一个交点满足条件的直线有 4 条，故选： C【点评】本题主要考查函数图象的交点问题，容易漏掉与坐标轴垂直的两条直线，注意数形结合思想的应用9【分析】设正方形 AOBC 的边长为 a，正方形 CDEF 的边长为 b，则 E（ a b， a+b），所以 E 点坐标为（ a b， a+b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（ a+b）（ a b）8，因为S 正方形 AOBC a2， S 正方形 CDEF b2，从而求得正方形 AOBC 和正方形 CDEF 的
16、面积之差为 8【解答】解：设正方形 AOBC 的边长为 a，正方形 CDEF 的边长为 b，则 E（ a b， a+b），（ a+b）（ a b）8，整理为 a2 b28， S 正方形 AOBC a2， S 正方形 CDEF b2， S 正方形 AOBC S 正方形 CDEF8，故选： C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （ k 为常数， k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy| k|；也考查了正方形的性质10【分析】连接 OC证明 CAO OAB BAD，从而进一步求解【解答】解：连接 OC则 OC OB， AC AB，
17、 OA OA， AOC AOB10 CAO BAO AB 是 O 的切线， OB AB BD OB， AB 是线段 OD 的垂直平分线， OA AD OAB DAB OAC 7826 ADO180 ABD DAB180902664故选： B【点评】本题考查了圆的切线性质，及等腰三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题11【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连接 OC 与 O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题【解答】解： ABC90， ABP+ PBC90， PAB PBC，
18、BAP+ ABP90， APB90， OP OA OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连接 OC 交 O 于点 P，此时 PC 最小，在 RT BCO 中， OBC90， BC4， OB3， OC 5， PC OC OP532 PC 最小值为 2故选： B11【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点 P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型12【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 FD AB，证明 ABE 是等腰直角三角形，得出AE BE，证出 FE AB，延长 FD FE，正确；证出 A
19、BC C，得出 AB AC，由等腰三角形的性质得出 BC2 CD， BAD CAD CBE，由ASA 证明 AEH BEC，得出 AH BC2 CD，正确；证明 ABD BCE，得出 ，即 BCAD ABBE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出 BCAD AE2，正确；根据 ABE 是等腰直角三角形， AB AC， AD BC，求得 BAD CAD22.5，再根据三角形外角性质求得 BFD45，即可得出 DFE45，进而得到 DFE2 DAC，故正确；根据 AB AC， BAH CAH， AH AH，判定 ABH ACH，进而得到 ACH ABH45，再根据 Rt AEF 中， AEF
20、45，即可得到 CH EF，故正确【解答】解：在 ABC 中， AD 和 BE 是高， ADB AEB CEB90，点 F 是 AB 的中点， FD AB， ABE45， ABE 是等腰直角三角形， AE BE，点 F 是 AB 的中点， FE AB， FD FE，正确；12 CBE BAD， CBE+ C90， BAD+ ABC90， ABC C， AB AC， AD BC， BC2 CD， BAD CAD CBE，在 AEH 和 BEC 中， AEH BEC（ ASA）， AH BC2 CD，故正确； BAD CBE， ADB CEB， ABD BCE， ，即 BCAD ABBE， AE2
21、 ABAE ABBE， BCAD ACBE ABBE， BCAD AE2，故正确； ABE 是等腰直角三角形， BAE45，又 AB AC， AD BC， AD 平分 BAC， BAD CAD22.5， AF DF， FAD FDA22.5， BFD45， DFE904545， DFE2 DAC，故正确； AB AC， BAH CAH， AH AH，13 ABH ACH， ACH ABH45，又Rt AEF 中， AEF45， CH EF，故正确故选： D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质
22、的综合应用，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键解题时注意，根据面积法也可以得出 BCAD AE2成立二填空题（共 6 小题）13【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x+10，解可得答案【解答】解：根据题意可得 x+10；解可得 x1；故答案为 x1【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为 014【分析】先提公因式，然后根据平方差公式可以对原式进行因式分解【解答】解：9 x2819（ x29）9（ x+3）（ x3），故答案为：9（ x+3）（ x3）【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的
23、关键是明确因式分解的方法15【分析】根据平行线性质求出3150，代入2+3180即可求出2【解答】解： l1 l2，13，156，14356，2+3180，2124，故答案为：124【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，注意：两直线平行，同位角相等16【分析】先根据算术平均数的定义得出 a1+a2+a3+a4248，再利用算术平方根的定义计算可得【解答】解：由题意 a1+a2+a3+a4248，另一组数据 a1+1， a2+2， a3+3， a4+4 的平均数 （ a1+1+a2+2+a3+3+a4+4） （8+10）4.5，故答案为：4.5【点评】本题主要考查算术平均数的计算，熟练掌
24、握对于 n 个数 x1， x2， xn，则 （ x1+x2+xn）就叫做这 n 个数的算术平均数是解题的关键17【分析】连接 OD、 OE，证明四边形 ACDO 为正方形，得 AC OA2，再求出 ABC30，则 OAB ABC30，得出扇形 OAE 的圆心角为 120，作 AOE 的高 OF，求出 OF 和 AE 的长，利用面积公式就可以求出阴影部分的面积【解答】解：连接 OD、 OE， AC、 BC 是 O 的切线， OA AC， OD BC， AC CD， CAO CDO90， ACB90，四边形 ACDO 为正方形，在 Rt ACB 中， AC OA2， BC2 ，15 AB 4， A
25、BC30， AO BC， OAB ABC30， OA OE， OAE OEA30， AOE120，过 O 作 OF AB 于 F， OF OA 21， AF ， AE2 ， S 弓形 S 扇形 OAE S AOE 2 1 ， S 阴影 S ACB S 弓形 （ ）3 ；故答案为：3 【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，要明确以下几点：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，扇形面积计算公式：设圆心角是 n，圆的半径为R 的扇形面积为 S，则 S 扇形 或 S 扇形 lR（其中 l 为扇形的弧长），勾股定理；对于求图形阴影部分的面积，要仔细观察图形，将不规则图形面积转化
26、为规则图形的面积18【分析】根据 OB ， OC1，可得 OBC30， OCB60再根据 AA1B1为等边三角形即可得到 BA1O90根据规律即可得到第 n 个等边三角形的边长等于 ，即可得到第 n16个等边三角形的周长为 【解答】解： OB ， OC1， BC2， OBC30， OCB60而 AA1B1为等边三角形， A1AB160， BA1O90在 Rt BOA1中， AA1 AB ， OB1 BB1 ，同理得：第 2 个等边三角形的边长 B1A2 B1B2 BB1 ，第 3 个等边三角形的边长 B2A3 B3B2 BB2 ，依此类推，第 n 个等边三角形的边长等于 ，第 n 个等边三角形
27、的周长为 故答案为： 【点评】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，解决问题的关键是归纳出等边三角形边长的变化规律三解答题（共 8 小题）19【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 m 的值代入计算可得【解答】解：（1）原式1（2 ）1+2 12+ 1+3 1；17（2）原式 ， m2 且 m0， m3，则原式 3【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式和实数的混合运算顺序与运算法则20【分析】（1）以 C 为圆心，任意长为半径画弧，交 BC， AC 两点，再以这两点为圆心，大于这两点的
28、线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与 C 在直线交 AB 于 D 即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出 ECD EDC，进而证得 DE CE，由 DE BC，推出 ADE ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论【解答】解：（1）如图所示；（2）解： DC 是 ACB 的平分线， BCD ACD， DE AC， BC AC， DE BC， EDC BCD， ECD EDC， DE CE， DE BC， ADE ABC， ，设 DE CE x，则 AE6 x， ，解得： x ，18即 DE ，故答案为： 【点评】本题考查了角的平
29、分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作21【分析】（1）将 A 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出 A 的坐标，将 A 与 B 坐标代入直线解析式求出 k 与 b 的值，即可确定出直线解析式；（2）结合三角形的面积公式解答【解答】解：（1）双曲线 y 经过点 A（1， m） m2，即 A（1，2）由点 A（1，2）， B（2，1）在直线 y kx+b 上，得 ，解得： ，直线的解析式为： y x+1（2）设直线 AB 与 y 轴交于点 C在 y x
30、+1 中，令 x0 得： y1， C（0，1） S AOB S AOC+S BOC 11+ 12 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系19数法是解本题的关键22【分析】（1）根据 60 x70 的频数及其频率求得总人数，进而计算可得 m、 n 的值；（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；（3）用 360乘以样本中分数段 60 x70 的频率即可得；（4）总人数乘以样本中成绩 80 x100 范围内的学生人数所占比例【解答】解：（1）本次调查的总人数为 300.15200 人，则 m2000.4590， n602000.3，故答案为：200、90、
31、0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）若绘制扇形统计图，分数段 60 x70 所对应扇形的圆心角的度数是 3600.1554，故答案为：54；（4）600 240，答：估计该校成绩 80 x100 范围内的学生有 240 人【点评】本题考查条形统计图、图表等知识结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大23【分析】（1）增长率的问题，用解增长率问题的模型解答；（2）根据两种车位数量是未知数，建立等式和不等式两种关系，而车位数为整数，变无数解为有限解方案也就出来了【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为
32、 x，则 640（1+ x） 2100020解得 x0.2525%，或 x2.25（不合题意，舍去）1000（1+25%）1250答：该小区到 2019 年底家庭轿车将达到 1250 辆；（2）设该小区可建室内车位 a 个，露天车位 b 个，则 ，由得 b3005 a代入得 40 a ， a 是正整数 a40 或 41 或 42，共有三种建造方案【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答24【分析】（1）作 OF AC 于 F，如图，理由三角函数可得到 A30，则 OA2 OF，再利用AB3 OB 得到 OA2 OB，所以 OF
33、OB，于是根据切线的判定方法可判定 AC 是 O 的切线；（2）先证明 OFD 和 OBE 都是等边三角形得到 OD DF， BOE60，则可计算出 EOF60，从而可判定 OEF 为等边三角形，所以 EF OE，则有 OD DF EF OE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形 ODFE 为菱形【解答】（1）证明：作 OF AC 于 F，如图， C90， AB2 BC，sin A ， A30， OA2 OF， AB3 OB， OA2 OB， OF OB， AC 是 O 的切线；（2）四边形 ODFE 为菱形理由如下： A30，21 AOF B60， OFD 和 OBE 都是等边三角形， OD
34、DF， BOE60， EOF180606060， OEF 为等边三角形， EF OE， OD DF EF OE，四边形 ODFE 为菱形【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定方法25【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，结合点 C 的坐标为（0，3）可得出关于 m 的一元一次方程，解之可得出 m 的值，进而可求出该抛物线的解析式；（2）连接 BC，过点 A 作 AF BC 于点 F，交
35、 y 轴于点 E，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A， B 的坐标，结合点 C 的坐标可得出 OCB OBC45， BC3 ，利用面积法可求出AF 的值，在 Rt CEF 中，由 ECF45可得出 EF EC，进而可得出当点 A， E， F 三点共线时， AE+ EC 取得最小值，最小值为 AF 的长；（3）过点 D 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 H，设点 D 的坐标为（ m， m2+2m3），由 DAB ACO可得出 tan DABtan ACO，进而可得出关于 m 的方程，解之即可得出 m 的值，再将其代入点D 的坐标中即可得出结论【解答】解：（1）当 x0 时， y x22
36、mx+3m3 m，点 C 的坐标为（0，3 m）点 C 的坐标为（0，3），3 m3，22 m1，该抛物线的解析式为 y x2+2x3（2）连接 BC，过点 A 作 AF BC 于点 F，交 y 轴于点 E，如图 1 所示当 y0 时， x2+2x30，解得： x13， x21，点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0）点 C 的坐标为（0，3）， OB OC， OCB OBC45， BC3 由三角形面积公式得： BCAF ABOC，即 3 AF 43， AF2 在 Rt CEF 中， CFE90， ECF45， EF EC， AE+ EC AE+EF AF，当点 A， E， F
37、三点共线时， AE+ EC 取得最小值，最小值为 2 （3）过点 D 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 H，如图 2 所示设点 D 的坐标为（ m， m2+2m3） DAB ACO，tan DABtan ACO，即 ， 或 ，解得： m1 ， m21， m3 ，经检验， m1 ， m3 是分式方程的解，且符合题意； m21 不符合题意，舍去，点 D 的坐标为（ ， ）或（ ， ）23【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形、正切的定义以及解分式方程，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征结合点 C 的坐标，找出关于 m 的一元一次方程；（2）利用点
38、到直线垂直线段最短找出点 E 的位置；（3）由角相等结合正切的定义，找出关于 m 的分式方程26【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得 ACB DAC DAC，即可得 AP PC；（2）由折叠的性质可得 AD AD10 cm， DM DM，根据勾股定理可求 BD8 cm，即可得CD2 cm，根据勾股定理可求 CM 的长，即可求 t 的值；（3）连接 MP，根据题意可得 CM DM DM，根据“ HL”可证 Rt CMPRt DMP，可得CP DP，根据勾股定理可求 CP 的长【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形 AD BC DAC ACB，折叠 DAC DAC ACB DAC A
39、P PC（2）折叠 AD AD10 cm， DM DM，24在 Rt ABD中， BD 8 cm， CD BC BD1082 cm，在 Rt DMC 中， DC2+CM2 DM2，4+ CM2（6 CM） 2， CM cm t （3）如图，连接 MP， t3， CM3 cm， DM CD CM3 cm，折叠 AD AD10 cm， DM DM DM CM，且 MP MPRt CMPRt DMP（ HL） CP DP在 Rt ABP 中， AB2+BP2 AP2，36+（10 CP） 2（10+ CP） 2， CP cm【点评】本题是四边形的综合题，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键25
