1、- 1 -第 8 节机械能守恒定律一、 动能与势能的相互转化1动能与重力势能间的转化只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。2动能与弹性势能间的转化只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。3机械能动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，即 E Ek Ep。二、 机械能守恒定律1推导物体自由下落过程中经过 A、 B 两位置，如图所示。1动能和势能统称为机械能，即 EE kE p。2在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。3机械能守
2、恒定律的表达式为：E klE plE k2E p2或 Ek Ep。4在只有重力做功时，重力势能与动能相互转化，二者之和保持不变；在只有系统内的弹力做功时，弹性势能和动能相互转化，二者之和保持不变。5机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。- 2 -2内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。3守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功。4常用表达式(1)Ek1 Ep1 Ek2 Ep2。(2)Ek2 Ek1 Ep1 Ep2，即 Ek Ep。(3) EA EB。1自主思考判一判(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。()(2)物体的机械能一定是正值。()(
3、3)合力为零，物体的机械能一定守恒。()(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。()(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。()2合作探究议一议(1)毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕” 。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能转化为重力势能，下落过程中，重力势能又转化为动能。- 3 -(2)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置
4、，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。机械能守恒的判断1对机械能守恒条件的理解(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒。图乙中，各接触面光滑， A 自 B 上端自由下滑的过
5、程中，只有重力和 A、 B 间的弹力做功，A、 B 组成的系统机械能守恒。但对 A 来说， B 对 A 的弹力做负功，这个力对 A 来说是外力，A 的机械能不守恒。图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。2判断机械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于单个物体)- 4 - 分 析 物体 受 力 明 确 各 力做 功 情 况 只 有 重 力 对物 体 做 功或 者 有 其 他力 对 物 体 做 功 ，但 W其 0 物 体机 械能 守恒(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) 分 析 能量 种 类 只
6、有 动 能 、 重 力势 能 、 弹 性 势 能 系 统 机 械能 守 恒1如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图 A、B、C 中的斜面是光滑的，图 D 中的斜面是粗糙的。图 A、B 中的 F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图 A、B、D 中的木块向下运动，图 C 中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )解析：选 C 根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(弹力)做功。在图A、B 中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力 F，因外力 F 做功，故机械能不守恒。图D 中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图 C 中除重力做功外，
7、其他力不做功，故机械能守恒。2物体在平衡力作用下，下列说法正确的是( )A物体的机械能一定不变B物体的机械能一定增加C物体的机械能一定减少D以上说法都不对解析：选 D 物体在平衡力的作用下，保持静止状态或匀速直线运动状态。如果保持静止状态，机械能不变。如果保持匀速直线运动状态，就有多种情况：当物体在水平面上做匀速直线运动时，物体的高度和速度都不变，那么它的动能和势能也不变，所以机械能不变；当物体向上做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体的位置升高，势能增加，所以机械能增加；当物体向下做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体高度降低，势能减小，所以机械能减小。一对平衡力做功之和
8、为零，物体动能不变，所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变，不能保证高度不变，机械能可能增加，可能减少，也可能不变。3如图所示，一轻弹簧固定于 O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且弹簧保持原长的 A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由 A 点摆- 5 -向最低点 B 的过程中，下列说法正确的是( )A重物的机械能守恒B重物的机械能增加C重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D重物与弹簧组成的系统机械能守恒解析：选 D 重物由 A 点下摆到 B 点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项 A、B 错误；此过程中，由于只
9、有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项 C 错误，D 正确。机械能守恒定律的应用1运用机械能守恒定律的基本思路(1)选取研究对象物体系统或物体。(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象初、末状态的机械能。(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。2对几种表达式的理解(1)Ek1 Ep1 Ek2 Ep2。这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的
10、状态建立方程式。另外表达式中 Ep是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的 Ep都应是对同一参考平面而言的。(2) Ek Ep，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。(3) EA EB，将系统分为 A、 B 两部分， A 部分机械能的增加量等于另一部分 B 的机械能的减少量，可以不选择参考平面。- 6 -典例 如图所示，质量为 m 的物体，以某一初速度从 A 点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点 B 时的速度为 3 ，求：gR(1)物体在 A 点时的速度大小；(2)物体离开 C 点后还能上升多高。解析 (1)物体在运动的全过程中只有
11、重力做功，机械能守恒，选取 B 点为零势能点。设物体在 B 处的速度为 vB，由机械能守恒定律得 mg3R mv02 mvB2，12 12解得 v0 。3gR(2)设物体从 B 点上升到最高点的高度为 HB，由机械能守恒定律得 mgHB mvB2，12解得 HB4.5 R所以物体离开 C 点后还能上升 HC HB R3.5 R。答案 (1) (2)3.5 R3gR机械能守恒定律表达式的灵活选取(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2或 Ek Ep列式求解。(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小
12、，可优先考虑应用表达式 EA EB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式 Ek Ep列式求解。1在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )A一样大 B水平抛的最大C斜向上抛的最大 D斜向下抛的最大- 7 -解析：选 A 三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，机械能守恒，以地面为参考平面，设抛出点的高度为 h，并设小球的质量为 m，根据机械能守恒定律可得：mv2 mv02 mgh，解得小球的末速度大小为： v ，与小球抛出的方向无关，即12 12 v02 2gh三球的
13、末速度大小相等，故选项 A 正确。2.某同学身高 1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了 1.8 m 高度的横杆(如图所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为( g 取 10 m/s2)( )A2 m/s B4 m/sC6 m/s D8 m/s解析：选 B 将该同学视为做竖直上抛运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面，最高点速度为零，由 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2得： mv02 mgh1 mgh2，其中 h1为起跳时该同学重心12的高度，即 h10.9 m，代入数据得起跳速度 v0 4.2 m/s。2g h2 h1物体系统的机械能守恒典例 如图所示，质量分别
14、为 3 kg 和 5 kg 的物体 A、 B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且 A 物体底面与地接触， B 物体距地面 0.8 m，求：(1)放开 B 物体，当 B 物体着地时 A 物体的速度；(2)B 物体着地后 A 物体还能上升多高？( g 取 10 m/s2)解析 (1)法一：由 E1 E2。对 A、 B 组成的系统，当 B 下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则 mBgh mAgh (mA mB)v2。12v m/s2 m/s。2 mB mA ghmA mB 2 5 3 100.83 5- 8 -法二：由 Ek 增 Ep 减 ，得mBgh mAgh (mA mB
15、)v2，12得 v2 m/s。法三：由 EA 增 EB 减 ，得mBgh mBv2 mAgh mAv212 12得 v2 m/s。(2)当 B 落地后， A 以 2 m/s 的速度竖直上抛，则 A 上升的高度由机械能守恒可得 mAgh mAvA2，12h m0.2 m。vA22g 22210答案 (1)2 m/s (2)0.2 m值得关注的连接体问题中的两个关系(1)距离关系。也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系。(2)速度关系。也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连
16、接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等。 1.(多选)如图所示，光滑细杆 AB、 AC 在 A 点连接， AB 竖直放置， AC 水平放置，两相同的中心有小孔的小球 M、 N，分别套在 AB 和 AC 上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放 M、 N，在运动过程中下列说法中正确的是( )A M 球的机械能守恒B M 球的机械能减小C M 和 N 组成的系统的机械能守恒D绳的拉力对 N 做负功- 9 -解析：选 BC 因 M 下落的过程中细绳的拉力对 M 球做负功，对
17、N 球做正功，故 M 球的机械能减小， N 球的机械能增加，但 M 和 N 组成的系统的机械能守恒，B、C 正确，A、D 错误。2.如图所示的是一个横截面为半圆、半径为 R 的光滑柱面。一根不可伸长的细线两端分别系着物体 A、 B，且 mA2 mB。由图示位置从静止开始释放物体 A，当物体 B 到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体 B 所做的功。解析：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。系统重力势能的减少量 Ep 减 mAg mBgR， R2系统动能的增加量 Ek 增 (mA mB)v2，12由 Ep 减 Ek 增 ，得mAg mBgR (mA mB)v2， R2 12又 mA2 mB，联立以上两式得 v2 (1) gR，23对物体 B 应用动能定理得，细线的张力对物体 B 做的功W mBv2 mBgR mBgR。12 23答案： mBgR 23- 10 -
