1、1专题跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积一、全练保分考法保大分1已知长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 ，其俯视图是一个面积为 1 的正方2形，侧视图是一个面积为 2 的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( )A1 B. 2C2 D2 2解析：选 C 依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于 ，正视图的长2是 ，因此相应的正视图的面积等于 2.2 2 22.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选 B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图所示，故其侧视图为图.3若将半径为 R 的半圆卷
2、成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A. R3 B. R3324 38C. R3 D. R3524 58解析：选 A 设该圆锥的底面半径为 r，则 2 r R， r ， h .因此R2 3R2V r2h R3.13 3244如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， E 为棱 DD1上的点， F 为 AB 的中点，则三棱锥 B1BFE 的体积为( )2A. B.13 14C. D.112 16解析：选 C 由等体积法可知 VB1BFE VEBFB1 S BB1FAD 1 1 .13 16 12 1125(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(
3、 )A25 B24C28 D32解析：选 C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由图得 r2， c2 r4， h4，由勾股定理得：l 4， S 表 r2 ch cl416828. 22 (2r(3)2126(2019 届高三河北“五个一名校联盟”模拟)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A13 B14C15 D16解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的，在长方体中还原该几何体如图中 ABCDA B C D所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长
4、分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积V4232 3 215.12 3237(2018开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A. B.29 3C. D.163 169解析：选 D 由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为 120，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，所以该几何体的体积 V 2 24 .13 13 1698(2018沈阳质监)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B.43 83C. D.163 323解析：选 A 由三视
5、图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为 2，高为 2，则其体积 V 2 22 .12 13 439(2018武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B.112 94C. D3924解析：选 D 由三视图可知，该几何体为三棱锥，记为 ABCD，将其放入棱长为 3 的正方体中，如图，则 VABCD 2333.13 1210.如图，已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直， EA EB3， AD2， AEB60，则多面体 EABCD 的外接球的表面积为( )A. B8163C16 D64解析：选 C 由题知 EA
6、B 为等边三角形，设球心为 O， O 在平面ABCD 的射影为矩形 ABCD 的中心， O 在平面 ABE 上的射影为 EAB 的重心 G，又由平面 EAB平面 ABCD，则 OGA 为直角三角形，OG1， AG ，所以 R24，所以多面体 EABCD 的外接球的表面积3为 4 R216.11(2018昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A63 B72C79 D99解析：选 A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径
7、为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 3 25 3 363.12 4312(2019 届高三武汉调研)一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )5A28 B242 5C204 D2025 5解析：选 B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可以看出该几何体是一个底面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高为 2，所以该几何体的表面积S (23)222223222 242 .12 22 12 513某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积等于_解析：由三视图可得该几何体的外接球等同于长、宽、高分别为 5,3,3 的长方体的
8、外接球，故此几何体的外接球的表面积 S(5 23 23 2)43.答案：4314已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形，那么它的侧视图的面积的最小值是_解析：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，当 CD AB， C1D1 A1B1时，侧视图的面积最小，此时 D， D1分别是 AB， A1B1的中点易得 CD ，则3侧视图面积的最小值为 2 2 .3 3答案：2 315一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为_解析：根据三视图还原几何体，其是由一个长方体被挖去半个圆锥后形成的，如图所示，因此所求的几何体的体积V212 1 224 .12 13
9、 3 12 3答案：12 3616.我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理：“幂势既同，则积不容异 ”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等其著名的应用是解决了“牟和方盖”中的体积问题核心过程：如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长 R 为 2，若图中四分之一圆柱体 BB1C1AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1DD1C1的公共部分的体积为 V，用平行于正方体上下底面的平面 EFGH 在高度 h 处去截两个四分之一圆柱体的公共部分，截得的面积为 S1，截正方体所得面积为 S2
10、，截锥体C1ABCD 所得面积为 S3， S1 R2 h2， S2 R2， S2 S1 S3，则 V 的值为_解析：由祖暅原理易得正方体 ABCDA1B1C1D1除去两个四分之一圆柱体的公共部分后所得几何体的体积等于四棱锥 C1ABCD 的体积，所以 V2 3 222 .13 163答案：163二、强化压轴考法拉开分1在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( )A4 B. 92C6 D. 323解析：选 B 要使球的体积 V 最大，必须使球的半径 R 最大当球与三棱柱的三个侧面都相切时，球的半径为 2，这时
11、球的直径大于三棱柱的高，不符合题意当球6 8 102与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值 ，此时球的体积为 R3 32 43 433 .(32) 922(2018南宁模拟)三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形，PA PB PC3， PA PB，三棱锥 PABC 的外接球的体积为( )A. B. 272 2732C27 D273解析：选 B 在三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形，7PA PB PC3， PAB PBC PAC. PA PB， PA PC， PC P B.以 PA， PB， PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥
12、 PABC 的外接球正方体的体对角线长为 3 ，其外接球半径 R .因此三棱锥 PABC 的外32 32 32 3332接球的体积 V 3 .43 (332) 27323(2019 届高三洛阳第一次联考)已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切，则球 O 的体积为( )A. B. 823 833C. D. 863 1623解析：选 A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 .因为球 O 与正四面体的各棱都相切，所以2球 O 为正方体的内切球，即球 O 的直径 2R2 ，则球 O 的体积 V R3 .243 8234.(
13、2018唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A10 cm B10 cm3C10 cm D30 cm2解析：选 B 依题意，在四棱锥 SABCD 中，所有棱长均为20 cm，连接 AC， BD 交于点 O，连接 SO，则SO AO BO CO DO10 cm，易知点 O 到 AB， BC， CD， AD 的2距离均为 10 cm，在等腰三角形 OAS 中， OA OS10 2cm， AS20 cm，所以 O 到 SA 的距离 d10 cm，同理可证 O 到SB， SC，
14、 SD 的距离也为 10 cm，所以球心为四棱锥底面 ABCD 的中心，所以皮球的半径 r10 cm.5.某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是( )A. B.5 6C. D37解析：选 A 由三视图可知该几何体为一个三棱锥 DABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2.所以8AB1， AC ， BC ， CD ， DA2， BD ，因此最长棱为 BD，棱长是 .2 3 2 5 56(2018长春质检)已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O，半径为 R 的球面上，AB6， BC2 ，且四棱锥 OABCD
15、的体积为 8 ，则 R 等于 ( )3 3A4 B2 3C. D.479 13解析：选 A 如图，设矩形 ABCD 的中心为 E，连接 OE， EC，由球的性质可得 OE平面 ABCD，所以 VOABCD OES 矩形13ABCD OE62 8 ，所以 OE2，在矩形 ABCD 中，可得 EC213 3 3，则 R 4.3 OE2 EC2 4 127在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AD1， AB2， AA12，点 M 在平面 ACB1内运动，则线段 BM 的最小值为( )A. B.62 6C. D363解析：选 C 线段 BM 的最小值即点 B 到平面 ACB1的距离 h.在 ACB1
16、中，AC B1C ， AB12 ，所以 AB1边上的高为 ，所以 S ACB1 2 .又5 2 5 2 312 2 3 6三棱锥 BACB1的体积 VBACB1 VABB1C 212 ，所以 VBACB1 h ，13 12 23 13 6 23所以 h .638(2019 届高三南昌调研)已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC满足 AB2 ， ACB90 ， PA 为球 O 的直径且 PA4，则点 P 到底面 ABC 的距离为( )2A. B22 2C. D23 3解析：选 B 取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在 ABC 中， AB2， ACB90，所以 A
17、BC 所在小圆 O1是以 AB 为直径的圆，所以2O1A ，且 OO1 AO1，又球 O 的直径 PA4，所以 OA2，所以 OO12 ，且 OO1底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为OA2 O1A2 22OO12 .29某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为_9解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面半径为 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为222a、短轴长为 a，其离心率 e .21 (a2a)2 22答案：2210(2018全国卷)已知圆锥
18、的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30.若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_解析：在 Rt SAB 中， SA SB， S SAB SA28，12解得 SA4.设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h，在 Rt SAO 中， SAO30，所以 r2 ， h2，所以圆锥的体积为 r2h (2 )228.313 13 3答案：811如图， AB 为圆 O 的直径，点 E， F 在圆 O 上， AB EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O所在平面垂直，且 AB2， AD EF1.则平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的三棱锥与四棱锥的体积的
19、比为_解析：由题意可知，平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 V 四棱锥FABCD， V 三棱锥 FCBE.过点 F 作 FG AB 于点 G(图略)，因为平面 ABCD平面 ABEF，平面ABCD平面 ABEF AB， FG平面 ABEF，所以 FG平面 ABC D.所以 V 四棱锥FABCD 12FG FG， V 三棱锥 FBCE V 三棱锥 CBEF S13 23 13BEFCB FG11 FG，由此可得 V 三棱锥 CBEF V 四棱锥 FABCD14.13 12 16答案：141012(2018开封模拟)已知正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD
20、翻折，使点 B 与点C 间的距离为 ，此时四面体 ABCD 的外接球的表面积为_3解析：如图(1)，在正三角形 ABC 中， AB BC AC2，则 BD DC1， AD .在翻折3后所得的几何体中，如图(2)， AD BD， AD CD， BD CD D，则 AD平面 BCD，三棱锥ABCD 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面 BCD 的距离 d AD .在12 32BCD 中， BC ，则由余弦定理，得 cos BDC ，3BD2 DC2 BC22BDDC 12 12 3 2211 12所以 BDC120.设球的半径为 R， BCD 的外接圆半径为 r，则由正弦定理，得 2r 2，解得 r1，则球的半径 R ，故球的BCsin BDC 3sin 120 d2 r2 (32)2 12 72表面积 S4 R24 27.(72)答案：7
