1、1专题跟踪检测（八） 数 列一、全练保分考法保大分1已知等差数列的前 3项依次为 a， a2,3 a，前 n项和为 Sn，且 Sk110，则 k的值为( )A9 B11C10 D12解析：选 C 由 a， a2,3 a成等差数列，得公差为 2，且 2(a2) a3 a，解得a2，所以 Sk2 k 2 k2 k110，解得 k10 或 k11(舍去)k k 122(2018云南模拟)已知数列 an是等差数列，若 a11， a33， a55 依次构成公比为 q的等比数列，则 q( )A2 B1C1 D2解析：选 C 依题意，注意到 2a3 a1 a5,2a36 a1 a56，即有 2(a33)(
2、a11)( a55)，即 a11， a33， a55 成等差数列；又 a11， a33， a55 依次构成公比为 q的等比数列，因此有 a11 a33 a55(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个非零的常数列)， q 1.a3 3a1 13中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝方得至其关要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思是“有一个人走 378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6天后到达目的地 ”则第三天走了( )A60 里 B48 里C36 里 D24 里解析：选 B 由题意得每天走
3、的路程构成等比数列 an，其中 q ， S6378，则 S612378 ，解得 a1192，所以 a3192 48.a1(1 126)1 12 144已知递减的等差数列 an中， a31， a1， a4， a6成等比数列若 Sn为数列 an的前 n项和，则 S7的值为( )A14 B92C5 D1解析：选 A 设数列 an的公差为 d，由题可知 d0.由 a2a41，得a 1， a31. S37， a1 a2 a3 17，即 6q2 q10，解得 q 或231q2 1q 12q (舍去)故 q .13 12答案：1238在各项均为正数的等比数列 an中， am1 am1 2 am(m2)，数列
4、 an的前 n项积为Tn.若 T2m1 512，则 m的值为_解析：由等比数列的性质，得 am1 am1 a 2 am.又数列 an的各项均为正数，所以2mam2.又 T2m1 ( am)2m1 2 2m1 512，所以 2m19，所以 m5.答案：59设数列 an的前 n项和为 Sn，且 a11， an an1 (nN *)，则 S2n1 _.12n解析：因为 a11， an an1 (nN *)，所以 S2n1 a1( a2 a3)12n( a2n2 a2n1 )1 .122 124 122n 21 (14)n1 14 43答案： 4310(2018成都模拟)已知等差数列 an的前 n项和
5、为 Sn， a23， S416， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n项和 Tn.1anan 1解：(1)设数列 an的公差为 d， a23， S416， a1 d3,4 a16 d16，解得 a11， d2. an2 n1.(2)由题意， bn ，1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1) Tn b1 b2 bn1212(1 12n 1) .n2n 111(2019 届高三南宁二中、柳州高中联考)已知 a12， a24，数列 bn满足：bn1 2 bn2 且 an1 an bn.(1)求证：数列 bn2是等比数列；(2)求数列 an的通
6、项公式4解：(1)证明：由题知， 2，bn 1 2bn 2 2bn 2 2bn 2 b1 a2 a1422， b124，数列 bn2是以 4为首项，2 为公比的等比数列(2)由(1)可得， bn242 n1 ，故 bn2 n1 2. an1 an bn， a2 a1 b1，a3 a2 b2，a4 a3 b3，an an1 bn1 .累加得， an a1 b1 b2 b3 bn1 (n2)，an2(2 22)(2 32)(2 42)(2 n2) 2( n1)2 1 2n1 22 n1 2 n，故 an2 n1 2 n(n2) a12 符合上式，数列 an的通项公式为 an2 n1 2 n(nN
7、*)12已知数列 an是等差数列， a26，前 n项和为 Sn， bn是等比数列，b22， a1b312， S3 b119.(1)求 an， bn的通项公式；(2)求数列 bncos(an)的前 n项和 Tn.解：(1)数列 an是等差数列， a26， S3 b13 a2 b118 b119， b11， b22，数列 bn是等比数列， bn2 n1 . b34， a1b312， a13， a26，数列 an是等差数列， an3 n.(2)由(1)得，令 Cn bncos(an)(1) n2n1 ， Cn1 (1) n1 2n， 2，又 C11，Cn 1Cn数列 bncos(an)是以1 为首项
8、，2 为公比的等比数列，5 Tn 1(2) n 11 2 n1 2 13二、强化压轴考法拉开分1已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a12， Sn1 4 an2，则 a12( )A20 480 B49 152C60 152 D89 150解析：选 B 由 S24 a12，得 a1 a24 a12，联立 a12，解得 a28.又an2 Sn2 Sn1 4 an1 4 an， an2 2 an1 2( an1 2 an)，数列 an1 2 an是以a22 a14 为首项，以 2为公比的等比数列， an1 2 an42 n1 2 n1 ， 1， 1，数列 是以 1an 1 2an2n 1 an
9、12n 1 an2n an2n a12为首项，以 1为公差的等差数列， 1( n1) n， an n2n， a12122 1249 an2n152.2已知 a11， an n(an1 an)(nN *)，则数列 an的通项公式是( )A2 n1 B. n1(n 1n )C n2 D n解析：选 D 因为 an n(an1 an) nan1 nan，所以 nan1 ( n1) an，所以 ，所以 an a1 1 n.an 1an n 1n anan 1 an 1an 2 a2a1 nn 1 n 1n 2 213(2018郑州模拟)已知数列 an满足 a11，| an1 an| .若1n n 2a
10、2n1 a2n1 ， a2n2 0， a2n2 a2na2n2 a2n，所以 a2n1 a2n2 a2n1 a2n.而| a2n1 a2n2 | ，1 2n 1 2n 3|a2n1 a2n| ，1 2n 1 2n 1即| a2n1 a2n2 |0.由题意得Error!所以 3q25 q20.因为 q0，所以 q2， x11，因此数列 xn的通项公式为 xn2 n1 .(2)过 P1， P2， Pn1 向 x轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， Qn1 .由(1)得 xn1 xn2 n2 n1 2 n1 ，记梯形 PnPn1 Qn1 Qn的面积为 bn，由题意得 bn 2n1 (2 n1)2 n2 ， n n 12所以 Tn b1 b2 bn32 1 52 072 1(2 n1)2 n3 (2 n1)2 n2 .又 2Tn32 052 172 2(2 n1)2 n2 (2 n1)2 n1 .得 Tn32 1 (22 22 n1 )(2 n1)2 n1 (2 n1)2 n1 .32 2 1 2n 11 2所以 Tn . 2n 1 2n 1210
