1、- 1 -拉萨中学高三年级（2019 届）第四次月考理科数学试卷命题： （满分 150 分，考试时间 120分钟，请将答案填写在答题卡上）第卷一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 已知复数 z满足 1i2iz，则 z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 设集合 2450xxN，集合 4,2Byx，则 BA等于（ ）A 1,B 3, C D 0,13. 下列命题中正确的是（ ）A若 pq为真命题，则 pq为真命题B若 0x，则 sinx恒成立C命题“ ,， 0l1”的否定是“ 0,x， 0ln1x”D命题“若 2x，则 2x或 ”的逆否命
2、题是“若 2或 ，则 ”4. 已知数列 na的前 项和 3nSa，则“ 1”是“ na为等比数列”的（ ）A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件5. 将函数sin4yx的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 6个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）A5sin24xyBsin23xyCi1D7i1- 2 -6. 在 ABC 中， a， b， c分别是内角 A， B， C的对边，若23A， b，的面积为 3，则 （ ）A 6 B 10 C 23 D 147. 已知5.0,3ln,lecba，则（ ）A. c B. a C. bac D. c
3、ba8. 等比数列 n的前 项和为 nS，且 14， 2， 3成等差数列，若 1a，则 4s（ ）A7 B8 C15 D169. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），则该“阳马”最长的棱 长为（ ）A 5 B 34C 41D 5210. 在nx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 32，则 2x的系数为（ ）A50 B70 C90 D12011. 已知是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 )2(1(xff的解集为（
4、 ） A. B. C. D. 12已知定义在 R上的偶函数 yfx的导函数为 fx，函数 fx满足：当 0时，- 3 -140xyxf1fx，且 2018f则不等式 2017fx的解集是（ ）A ,B ,C ,UD ,1,U二、填空题（每小 题 5 分，共 20 分）13. 已知 2,1a， ,b， ,2c，若 a与 mbc平 行，则 _14. 设 x， y满足约束条件， 则 yxZ3的取值范围为_15. 一艘轮船以 246km/h 速 度向正北方向航行，在 A处看灯塔 S在船的北偏东45方向，1 小时 30 分钟后航行到 B处，在 处看灯塔 S在船的南偏东 75方向上，则灯塔 S与 B的距离
5、为_km16双曲线2:10,xyCab的左、右焦点分别为 1F， 2，点 M， N分别在双曲线的左右两支上 ，且 12MNF ， 12F，线段 N交双曲线 C于点 Q，1125FQ，则该双曲线的离心率是_三、解答题17（12 分）已知等差数列 na中， 2350a，且前 10 项和 10S（1）求数列 na的通项公式；（2）若 1nb，求数列 nb的前 项和 nT18. (12 分 )某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名考生的数学成绩，分成 6 组制成频率分布直方图如图所示：- 4 -（1）求 m的值；并且计算这 50 名同学数学成绩的样本平均数 x；（2）
6、该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在 130,5的同学中选出 3 位作为代表进行座谈，记成绩在 140,5的同学人数位 ，写出 的分布列，并求出期望19. (12 分)如图，多面体 ABCDEF中， 是正方形， CDEF是梯形， /CD，2EFCD， 平面 且 ， MN、 分别为棱 AB、 的中点（1）求证：平面 MN平面 ABFE；（2）求平面 D和平面 C所成锐二面角的余弦值20. (12 分)已知椭圆 1：21xyab(0)a的离心率为63，焦距为 42，抛物线2C： xpy(0)的焦点 F是椭圆 1C的顶点（1）求 1与 2的标准方程；（2） 上不同于 的两点 P， Q满足 0，且直
7、线 PQ与 2C相切，求 FPQ 的面积21. (12 分)已知函数 23exfxa（1）若 2x是函数 的一个极值点，求实数 a的值（2）设 0a，当 1,时，函数 fx的图象恒不在直线2ey的上方，求实数 a的取值范围选考题：请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分- 5 -22(10 分）（选修 44：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 xOy中，直线 1l的参数方程为3xtyk（ t为参数），直线 2l的参数程为3xmyk（ 为参数），设直线 1l与2l的交点为 P，当 变化时点 P的轨迹为曲线 1C（1）求出曲线 1C的普通方程；（2）以坐标原点为极
8、点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2C的极坐标方程为sin42，点 Q为曲线 1C的动点，求点 Q到直线 2的距离的最小值23(10 分)（选修 45：不等式选讲）已知函数13fxaR（1）当 2a时，解不等式13xf；（2）设不等式xf的解集为 M，若1,32，求实数 a的取值范围- 6 -答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D D B A B D C C D C B C1. 【答案】D【解析】 ， ， ， ，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 ，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选 D2.【答案】D【解析】 ， ， ；故选 D3. 【答案】B【解
9、析】令 ， 恒成立，在 单调递增， ， ，B 为真命题或者排除 A、C、D故选 B4. 【答案】A【解析】数列 的前 项和 (1)，时， (2)，(1)(2)得: ，又 ，- 7 -时， 为等比数列；若 为等比数列，则 ，即“ ”是“ 为等比数列”的充要条件，故选A5. 【答案】B【解析】函数 经伸长变换得 ，再作平移变换得 ，故选：B6. 【答案】D【解析】由 ， ， 的面积为 ，得： ，从而有 ，由余弦定理得： ，即 ，故选：D7. 【答案】C【解析】由题意得：， ， ，故选：C8. 【答案】C【解析】设等比数列 的公比为 ， ， ， 成等差数列，- 8 -则 即 ，解得 ， ，则 ；故选
10、 C9. 【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中 平面 ， ， ， ， ， ， 该几何体最长棱的棱长为 故选 D10. 【答案】C【解析】在 中，令 得 ，即展开式中各项系数和为 ；又展开式中的二项式系数和为 由题意得 ，解得 故二项式为 ，其展开式的通项为 ， 令 得 所以 的系数为 选 C11. 【答案】B【解析】- 9 -是定义在 上的偶函数，即 ，则函数的定义域为函数在 上为增函数，故 两边同时平方解得 ，故选12. 【答案】C【解析】当 时， ， ，令 ，则 ，即当 时， 单调递增又 为 上的偶函数， 为 上的奇函数且 ，则当 时， 单
11、调递增不等式 ，当 时， ，即 ， ，即 ， ；当 时， ， ， ，即 ， 综上，不等式 的解集为 故选 C13. 【答案】-3【解析】已知 ， ，- 10 -若 与 平行则 ，故答案为：-314. 【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数 过点 时，取得最小值，此时最小值为 ；当目标函数 过点 时，取得最大值，此时最小值为 ，所以 的取值范围为 15. 【答案】72【解析】由题意， 中， ， ， km， ，由正弦定理，可得 km故答案为：72 km16. 【答案】【解析】根据题意画出图形如图所示由题意得 ， 由 ，可设 ， ，可得点 的坐标为 - 11 -点
12、 ， 在双曲线上， ，消去 整理得 ，离心率 17. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 由已知得 ，解得 ，所以数列 的通项公式为 （2） ，所以 18. 【答案】（1） ， ；（2）见解析【解析】（1）由题 ，解得 ，（2）成绩在 的同学人数为 6，成绩在 人数为 4， ， ；- 12 -所以 的分布列为：19. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1） ， 是正方形， ， 分别为棱 的中点， ， 平面 ， ， ， ， 平面 ， ，从而 ， ， 是 中点， ， ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 （2）由已知， ， ， 两两垂直，如图，建立空间直角
13、坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，由 得 ，令 ，则 ，由（1）可知 平面 ，平面 的一个法向量为 ，设平面 和平面 所成锐二面角为 ，则 ，- 13 -所以，平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 20. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，依题意有 ， ，解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 又抛物线 ： 开口向上，故 是椭圆 的上顶点， ，故抛物线 的标准方程为 （2）显然，直线 的斜率存在设直线 的方程为 ，设 ，则 ， ，即 ，联立 ，消去 整理得， 依题意 ， ，是方程 的两根， ， ，- 14 -将 和 代入 得 ，解得
14、 ，（ 不合题意，应舍去）联立 ，消去 整理得， ，令 ，解得 经检验， ， 符合要求此时， ，21. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 可得：， 是函数 的一个极值点， ， ，计算得出 代入 ，当 时， ；当 时， ， 是 的极值点 （2）当 时，函数 的图象恒不在直线 上方，等价于 ， 恒成立，即 ， 恒成立，由（ ）知， ，- 15 -令 ，得 ， ，当 时， ， 在 单调减， 与 矛盾，舍去当 时， ，在 上单调递减，在 上单调递增， 在 或 处取到， ，只要 ，计算得出 当 时， ，在 上单调增， ，符合题意，实数 的取值范围是 22. 【解析】（1）将 ， 的参数方程转化为普通方程；， ，消 可得： ，因为 ，所以 ，所以 的普通方程为 （2）直线 的直角坐标方程为： 由（1）知曲线 与直线 无公共点，由于 的参数方程为 （ 为参数， ， ），- 16 -所以曲线 上的点 到直线 的距离为：，所以当 时， 的最小值为 23. 【解析】（1）当 时，原不等式可化为 ，当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，综上所述，当 时，不等式的解集为 或 （2）不等式 可化为 ，依题意不等式 在 恒成立，所以 ，即 ，即 ，所以 ，解得 ，故所求实数 的取值范围是
