1、第4节 数列求和及数列的综合应用,考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.,知 识 梳 理,1.特殊数列的求和公式,2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒
2、序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.,3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn1(或者相邻三项等)之间的递推关系.,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列
3、结论正误(在括号内打“”或“”),解析 (3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 B,4.(2018东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|( )A.9 B.15 C.18 D.30,解析 由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|13553113518. 答案 C,5.(2019北京朝阳区质检)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22，则2Tn_.,解析 由题意知TnSnb1a1b2a2bnann2n12， 又SnTn2n1n
4、22， 所以2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4. 答案 2n2n(n1)4,答案 an2(n1),考点一 分组转化法求和,【例1】 (2019济南质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.,解 (1)设等比数列an的公比为q， a1，a2，a31成等差数列，,ana1qn12n1(nN*).,(2)由(1)知bn2n1an2n12n1， Sn(11)(32)(522)(2n12n1) 135(2n1)(12222n1),Sn(n22n)
5、10，Snn22n.,【训练1】 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.,解 (1)设等差数列an的公差为d， 由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5， 3(1d)14d，解得d2. an1(n1)22n1. (2)由(1)可得bn(1)n1(2n1). T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.,考点二 裂项相消法求和,即an13an2，又a283a12， an13an2，nN*， an113(an1)， 数列an1是等比数列，且首项为a113，公比为3， an133n1
6、3n，an3n1.,规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. 2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.,【训练2】 设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.,解 (1)设数列an的公差为d，,解得a13，d2， ana1(n1)d2n1.,考点三 错位相减法求和 【例3】 已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.,解 (1)设an的公比为q，,又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.,规律方法 1.一般地，如果数列an是
7、等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.,【训练3】 已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an2log2bn1.(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.,解 (1)设等差数列an的公差为d，则d0， 由a11，a21d，a312d分别加上1，1，3后成等比数
8、列， 得(2d)22(42d)， 解得d2(舍负)，所以an1(n1)22n1.,考点四 数列的综合应用 【例4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？,解 设该学生工作n天，每天领工资an元，共领工资Sn元， 则第一种方案an(1)38，Sn(1)38n； 第二种方案an(2)4n，Sn(2)4(123n)2n22n；,令Sn(1)Sn(2)，即38n2n22n，解得n18，即小于或
9、等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高). 令Sn(1)Sn(3)，即38n0.4(2n1)， 利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高， 所以少于10天时，选择第一种方案. 比较第二、第三种方案，S10(2)220，S10(3)409.2，S10(3)S10(2)，Sn(3)Sn(2). 所以等于或多于10天时，选择第三种方案.,规律方法 数列的综合应用常考查以下几个方面： (1)数列在实际问题中的应用； (2)数列与不等式的综合应用； (3)数列与函数的综合应用. 解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答
10、应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.,【训练4】 已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上.,解 (1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)， 则f(x)2axb. 由于f(x)6x2，得a3，b2， 所以f(x)3x22x. 又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上， 所以Sn3n22n.,当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5； 当n1时，a1S131221615，也适合
11、上式， 所以an6n5(nN*).,思维升华 1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.,易错防范 1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号. 3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.,
