1、- 1 -四川省遂宁市 2019 届高三数学第三次诊断性考试试题 理本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120分钟。第卷（选择题，满分 60 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出
2、的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则012xA2yBABIA B C D2,U1,2已知复数 z 满足 ，则 的虚部是ii21zA iB C D122i3. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为 （单位： ）的圆（如图） ，则这个几何体的4cm体积为（单位： ）为3cmA. B. C. D.321663256- 2 -4二项式 的展开式中含 项的系数是82x2xA
3、B C D 1016048245已知角 在第二象限，若 ，则32coscosA B C D 3221106. 已知随机变量 ，其正态分布密度曲线如下左图所示，若向正方形 中X,N OABC随机投掷 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ,随即运行如下右图中相10 M应的程序，则输出的结果是附：若随机变量 ，X2,N则 ，()0.68P22， .0.954339()74XA B C D18217. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数)62cos()(xf (0)t- 3 -为奇函数，则 的最小值为tA. B. C. D.236238 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，
4、， ，且 ， ，ABCCabc3aA，则 的周长为sin2iA. B. C. D. 3623639. 已知抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离24yx210,xyab为 ，则该双曲线的离心率为510A. B C. D.221035110已知点 的坐标 满足 ，过点 的直线 与圆 ： 相交P),(yx014xyPlC162yx于 两点，则 的最小值是BA,A2 B C. 4 D26 611. 已知长方体 中， 与 所成角的余弦值为 ， 与底面1DCAB14CB1所成角的正弦值为 ，则 与底面 所成角的余弦值为ABCD231ACA. B. C. D.2162312. 已知函数 ，若 ， ，
5、， ，1ln)(2xaxf 1,2x)(21x,1a，则实数 的最小值为mxf12)(A B C D 3029419319- 4 -第卷（非选择题，满分 90 分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2 试 卷 中 横 线 及 框 内 注 有 “ ”的 地 方 ， 是 需 要 你 在 第 卷 答 题 卡 上 作 答 。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13设两个非零平面向量 与 的夹角为 ，则将(
6、) 叫做向量 在向量 方向上的abcosaab投影。已知平面向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 )1,2()1,14曲线 在点 处的切线的斜率为 xy,415已知函数 ，则方程 的根的个数为 )0(,75)(sin)(xf 751)(xf16 已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且点 的坐标为 ，则F24yPA0,1的最大值是 PA2三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知函数 的所有正数的零点构成递增数列xxfsinco3)()(Rna。)(Nn（1）求数列 的通项公式；na- 5 -（2）设 ，求数列 的前
7、项和 .)32()1nnabnbnT18.（本小题满分 12 分）九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263 年） ，刘徽为九章算术所作的注本。在注本中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。现有一阳马的具体情况是：在四棱锥 中，底面 是邻边相等的矩形，侧棱 底面 ，ABCDPABPDABC的中点。 ED是 （1）判断直线 与 的位置关系（不需证明）
8、 ；（2）证明： ；（3）求二面角 的平面角的余弦值.APB19. （本小题满分 12 分）福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目宝贝向前冲于 2005 年 6 月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目。近日宝贝向前冲节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次- 6 -机会） ，已知某人前三关每关通过的概率都是 23，后两关每关通过的概率都是 12 （1）求该人获得奖金
9、的概率；（2）设该人通过的关数为 X，求随机变量 的分布列及数学期望.20.（本小题满分 12 分）已知 是椭圆 的左右顶点， 点为椭圆 上一点，点BA,C)0(12bayx PC关于 轴的对称点为 ，且 。PxHBHPAk（1）若椭圆 经过了圆 的圆心，求椭圆 的标准方程；4)1(22yx（2）在（1）的条件下，抛物线 ： 的焦点 与点 关于 轴D)0(pxF)2,81(y上某点对称，且抛物线 与椭圆 在第四象限交于点 ，过点 作抛物线 的切线，求该CQD切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ，2ln)(axxf23)(axeg（1）设曲线 在
10、 1处的切线的斜率为 ，且 。求 的值；gyk2ea（2）当 时.a求 的单调区间；)(xf求证： .)(g- 7 -请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为Ox 1C，又在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） 。2cos32xOy2tyx7（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；1C2C（2）已知点 在曲线 上，点 在曲线 上，若 ，求此时点 的直角坐P1Q2|PQP标23 （本小题满分 10 分）选修 45：不
11、等式选讲已知函数 .1)(2xxf（1）解不等式 ；1f（2）若正数 ，满足 ，求 的最小值.,abc2)1(42fcbcba4遂 宁 市 高 中 2019 届 三 诊 考 试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（125=60 分）- 8 -题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B A C C B B C A D B A二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 14 15 16 2143三、解答题：本大题共 70 分。17 （本小题满分 12 分）【解析】 （1）因为 ， 2 分)6cos(2sinco3)( xxxf所以，由
12、题意有 ，31)(6ZkZk这就是函数 的全部零点。 4 分)(xf又由已知函数 的所有正数的零点构成递增数列 ，所以 是以 为首项，nan31为公差的等差数列，所以 。 5 分1 )(32Nnan（2） ， 6 分)32()nnb1(则 nnT )21()(1)31 4322()()(n 8 分则 得：11132 )2()2()(2)()2()1(1 nnnnnnT10 分所以 12 分nnn 2)1(218. （本小题满分 12 分）【解析】（1）直线 与 是异面直线 2 分PAEB（2） 平面 ， 平面 ， 。DCABCDP同理可证- 9 -可知 是等腰直角三形，而 是斜边 的中点， 。
13、DCPPEPCPCDE底面 是邻边相等的矩形，即四边形 为正方形。ABABD，又 ，平面 ，又 平面E，又 ，且DCPCC平面 ，又 平面EBB 7 分P（3） 底面 ，而底面 是邻边相等的矩形，即底面 是正方形，ADABCD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 如图所示，设 ，又由DC, xyz1于 ，且底面 是正方形， ，所以BPBCA， ， ， ， ， 。)0,1(A),()0,1(),()1,0(P)2,(E8 分设平面 的法向量为 ，PB),(1zyxn则 ，令 ，则 ， 0),(),(01An 01yzx1xz， 。 9 分1y),1又设平面 的法向量为 ，则EBP),(2zyxm，
14、令 ，则 0)1,(),(02zyxm0212zyx12y， ， 。 10 分12z2,0 11 分21,cosn又二面角 的平面角是一个钝角，二面角 的平面角的余弦APBE APBE值为 12 分21- 10 -19. （本小题满分 12 分）【解析】：（1）设事件 为“第 关通过” ，事件 为“获得奖金” ，iAiA)()()() 543215432154321 PPPA 735 分（2） 的取值为 0,1234,5 XPA， 12391427X312343PA57241012357XPXPXPX 的分布列为： 234 P139472711 分9162452320)( XE12 分- 11
15、 -20. （本小题满分 12 分）【解析】：（1）设 ，因为 ，则点 关于 轴的对称点),(yxP)0,(,(aBAPxH。 ， ， 因为 ，所以),(yxakPAkBH21xyb，所以 ， 222 21bx 22axkBHPA2 分又椭圆 过圆 的圆心 ， 4 分C4)1(22yx)1,0(所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ；,2baC12yx5 分（2）由题意，抛物线 焦点为 ，故其方程为 ，联立方程组D)0,81(F2xy， 解得 或 （舍去） ，所以 ，12yxx2)2,1(Q7 分设抛物线 在 点处的切线为 ，联立方程组2x)2,(Q2)1(xky，整理得 ，由 解之得 ，所以所2)
16、1(2xky 02yk4k求的切线方程为 。即是 。2)1(4xy 12yx10 分令 ，得 ；令 ，得 。故所求三角形的面积为0xy0yx。 12 分82142S21. （本小题满分 12 分）- 12 -【解析】：（1）因为 ， 1 分aexg)1(则 ，所以 ，由 得 ，即aeg2)( k223k23)(ea，解得 或032aea4 分（2）因为当 时， ，所以 ，令1a2ln)(xf)0(xxf 2 1)(，则 ， 5 分0)(xf2当 时， ；),0)(xf当 时， ；,2(xf所以函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ；)(f)2,0( ),2(7 分证明：（法一）因为当 时，
17、1a23ln23ln)( 22 xxexexgf设 。则只需证明ehxl)(2)(h，又设 ，则12(11 xexx xex12)(，所以 在 上单调递增，因为 ，0)(2 xe),0044，所以存在 ，使得 ，且当 时，31314(x0)(x),(0x，当 时， ；所以当 时， ， 单)(),(0),)h调递减；当 时， ， 单调递增；所以x0(h)(，由 ，得 ，所0200min ln)()( xehxx0120xex 210xe以 ，设2ln1， ， ，所以当xxln)(2)31,4(xx)1(21( - 13 -时， ， 在 单调递减，所以)31,4(x0)(x)()31,4，因此 ，
18、即23ln97l(31200 h 23)(xh得证。 12 分)(gf（法二）因为当 时，1a xxexexgxf ln2323ln)(2 先证当 时， ，即证020x设 ，则 ，又令)0()(2xxeh 12)( exh，且 ，而 ，所以 在1 x)(x上单调递增， ，所以 在 上单调递增，则当,0 0)()( x)(h,0时，x)(2hxeh（也可直接分析02322 xexx显然成立）01xe10 分再证当 时，0xxln23设 ，则 ，令 ，解得 ，且当l)(x12)( 0)(x21x时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；21,0x0)(x)(,()(所以 ，即ln3)(02ln1
19、xln23又 ，所以 成立，322xxe xexl2即 得证。)(gf12 分- 14 -22 （本小题满分 10 分）【解析】：（1）由 得 ，即 ，2cos321cos323)cos(22把 ， ， ，得 ，故曲线 的直角坐标方程cosxsiny22yx3yx1C为 ；因为曲线 的参数方程为 （ 为参数） 。消去参数 得曲线1322Ct71t的普通方程为 。 4 分2C06yx（2）由题意，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，可设点 的直角坐标为1cos3inxyP，因为曲线 是直线，又(cos,3in)2C|2PQ 即为点 到直线 的距离 6 分|PQ60xy易得点 到直线 的距离为， 7
20、 分|cos3in|2|sin()3|262d所以 ，所以 ，此时点 的直角坐标为 1)6si()kZP13(,)210 分23 （本小题满分 10 分）【解析】：（1）因为 ，所以 ；1 分14)(2xxf 12)(xxf当 时， ，由 ，解得 ；x)1()(xf 2)(f当 时， ，由 ，即 ，解得 ，又21xf23)(1(f 13x45x，所以 ；x45x当 时， 不满足 ，此时不等式无解； 4 分21)(f 21)(xf- 15 -综上，不等式 的解集为 .21)(xf )45,(5 分（2）由题意得 。 6 分3)21(4fcba所以842)164()(1 cbacbacba 。 9 分39)82422(3 cbcaba当且仅当 时等号成立.所以 的最小值为73ca413710 分
