1、- 1 -2018-2019 学年度第二学期期中考试高二年级数学试题（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答卷纸的相应位置上1.命题“ ”的否定是 20,1x2.设复数 z 满足 i(z1)32i(i 是虚数单位，则 z 的实部是 3.抛物线 的准线方程是 . 4.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 5.若 是不等式 成立的充分不必要条件,则1xm230x实数 的范围是 6 根据右图的伪代码,输出的结果 为 T7.某人有甲、乙两只密
2、码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是 8.双曲线 的一条渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率为 210xyabb， 340xy9.设函数 f(x)x 3(a1)x 2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 10. (1x) 6的展开式中 x2的系数为 (11x2)11.若三角形内切圆半径为 r，三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S= r(a+b+c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为 R，其四个面的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积 V= 12.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛
3、，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案) 13.已知 是椭圆 与双曲线 的一个公共焦点, 分别是 在第二、四象限的公共点.若 则 的离心率为 14.若函数 f（x）=2x 3ax 2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 1T3IWhile 20IEnd WhilePrint T- 2 -二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）已知 p:,q:x|1-mx1+m,m0.012x(1) 若 m=1,则 p 是 q 的什么
4、条件?(2) 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.16.（本小题满分 14 分）4 个男同学，3 个女同学站成一排.(1)3 个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法?(2)任意两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法?(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法?- 3 -17.（本小题满分 14 分）在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是直角梯形， ，PABCDPABCD90AB， 是线段 的中点， 底面 ，已知 ./EE2C（1）求二面角 的正弦值；（2）试在平面 上找一点 ，使得 平面 .MP18.（本小题满分 16 分）某经销商计划销售一款新型的空气
5、净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器的利润为x(单位:元,x0)时,销售量 q(x)(单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不超过 20,则 q(x)= ;1260x若 x 大于或等于 180,则销售量为零;当 20x180 时,q(x)=(a,b 为实常数).ba(1) 求函数 q(x)的表达式;(2) 当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.- 4 -19.（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶点与上顶点分别为 ，椭xOy21(0)xyab,AB圆的离心率为 ，且过点 323(1,)2（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线 与该
6、椭圆交于 两点，直线 的斜率互为相反数l,PQ,BAP求证：直线 的斜率为定值；若点 在第一象限，设 与 的面积分别为 ，求 的最大值PABP12,S1220.（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)=ax2-x-ln x,aR.ABQPxyOl（第 19 题）- 5 -(1) 当 a= 时,求函数 f(x)的最小值;83(2) 若-1a0,求证:函数 f(x)有且只有一个零点.- 6 -2018-2019 学年度第二学期期中考试高二年级数学试题命题人 冯育军一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答卷纸的相应位置上1. 20,1x2. 334. 645
7、. 1,26.1007. 8. 549. yx.10.3011. 1233RS12. 1613. 14.3二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分 14 分）【解答】(1) 因为 p: =x|-2x10,（1 分)q:x|1-mx1+m,m0=x|0x2,（2 分)所以x|0x2x|-2x10, （4 分)所以 p 是 q 的必要不充分条件. （6 分)(2) 由(1)知,p:x|-2x10, （8 分)- 7 -因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 , （12 分)解得 m9,所以 m 取值范围为
8、9,+). （14 分)16. （本小题满分 14 分）【解答】(1)3 个女同学是特殊元素，共有3A种排法；由于 3 个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与 4 个男同学排队，应有5种排法. （2 分)由分步乘法计数原理，知共有35=720 种不同排法. （4 分)(2)先将男生排好，16 共有4A种排法，再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空档中插入 3 个女生，有35种方法， （6 分)故符合条件的排法共有435=1 440 种不同排法. （8 分)(3)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有4A种排法； （10 分)由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有2种排法；
9、 （12 分)最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档中，有25A种排法.故共有425A=960 种不同排法. （14 分)17. （本小题满分 14 分）【解答】 （1）因为 底面 ，过 作 ，则 ，PEABCDE/SBCESA以 为坐标原点， 方向为 轴的正半轴，Ex方向为 轴的正半轴， 方向为 轴的正半轴建立空Syz间直角坐标系，则 ， ， ， ，(0,)(1,0)B(,)C(1,0)A， ，,2D,3P， (10)C(1,)（2 分) 设平面 的法向量为 ，则 ，P(,)nxyz20nCDxy，解得 ， （4 分)30nxyz=(1,3)- 8 -又平面 的法向量
10、为 ，ABCD(0,1)m所以 ，36cos, 4|n所以 . （7 分)10in,4（2）设 点的坐标为 ，因为 平面 ，M1(,)xyzEMPCD所以 ，即 ，也即 ， ， （9 分)/En2312yx13zx又 ， ， ，1(,)Pxyz(,)PD(,)所以 ，MC23所以得 ， ，即 ，1x11()yx9， ，所以 ， （12 分)133z26所以 点的坐标为 . （14 分)M15(,)618. （本小题满分 16 分）【解答】(1) 当 20x180 时,由 得 (3 分)故 q(x)= (6 分)(2) 设总利润 f(x)=xq(x),由(1)得f(x)= (8 分)当 00,f(x)单调递增;当 800). (2 分)令 f(x)=0,得 x=2,当 x(0,2)时,f(x)0,所以函数 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增, (4 分)所以当 x=2 时,f(x)有最小值 f(2)=- -ln 2. (6 分)(2) 由 f(x)=ax2-x-ln x,得 f(x)=2ax-1- = ,x0, (8 分) 所以当 a0 时,f(x)= 0,所以当-1a0 时,函数 f(x)在(0,+)上有零点. （14 分)- 11 -综上,当-1a0 时,函数 f(x)有且只有一个零点. （16 分)
