1、- 1 -南昌二中 20182019 学年度下学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱2.下列条件中，能判断一条直线与一个平面垂直的是（ ）A.这条直线垂直于该平面内的一条直线B.这条直线垂直于该平面内的两条直线 C.这条直线垂直于该平面内的任何两条直线D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线3.如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8 的矩形则该几何体的表面积是( )2A8 B20 C16 D24 284.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3，瓶里所
2、装的水深为 8，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5，则该钢球的半径为（ ）A. B.1 C. D.2325过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为( )A30 B45 C60 D906.已知正三棱锥 中，E 是侧棱 SC 的中点，且 ，SBESA则与底面 所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 3632637已知 ， ， 为平面， 是直线，若 ，则“ ， ”是“ ”ll l的( )- 2 -A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8.如图，一个圆锥的底面半径为 2
3、，高为 6，在其中有一个高为 的x内接圆柱，当该圆柱的体积最大时， （ ）xA.2 B.3 C.4 D.59.已知 分别是长方体 的棱 的中点，FE, 1DCBA1,BA若 ，则四面体 的外接球的表221ADBEF面积为( )A.13 B. C. D.682010.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对11.已知正方体 ，在空间中到三条棱 所在直线距离相等1DCBA 1DACB、的点的个数（ ）A.0 B.2 C.3 D.无数个 12.棱长为 4 的正方体 的顶点 在平面 内，平面 与平面
4、所成1A的二面角为 ，则顶点 到平面 的距离的最大值（ ）301CA. B. C. D.222332二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 的中1DCBAE1B点，用过点 的平面截去该正方体，则截面积为 .,CEA14.某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的体积为 . 15.在三棱锥 中， ,BD654A，- 3 -分别为棱 和棱 上的动点，则 的周长范FE,ACDBEF围 .16. 已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线6B120A折成二面角 的大小为 的四面体且AA，则四面体 的外接球的表面积为_31cosCD三解答题(本大题共 6
5、小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题 10 分)已知正方体 的棱长为 2.1DCBA（1）求点 到平面 的距离；（2）平面 截该正方体的内切球，求截面积的大小；118.（本小题 12 分）(考查内容：极坐标与参数方程)在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的参数方程x 1C( 为参数)，.曲线 的极坐标方程： .sinco2yx2Ccos4(1)求曲线 和曲线 的直角坐标方程；1(2)设曲线 交 轴于点 （不是原点） ，过点 的直线 交曲线 于 A，B 两个不同2xMl1C的点，求 的取值范围BA- 4 -19.（本小题 12 分
6、）已知斜三棱柱 的所有棱长都相等，且 .1CBA 6011ACB(1)求证： ；1(2)直线 与直线 所成角的余弦值.120.（本小题 12 分）已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 平面PABCDAB2,1,ADBPA， 分别是线段 的中点.ABCD,EF,（1）在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，确定点 的位置，GPFE平 面/ G并证明你的结论；若不存在，请说明理由;（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.PBACD45ADFEA DB CP- 5 -21.（本小题 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点210xyab322,（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点 的直线
7、，与该椭圆交于 两点，直线O:0lykxm,PQ的斜率依次为 ，且满足 ，试问：当 变化时， 是否为定值？若,OPQ12,k124k2m是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22 （本小题 12 分）已知函数 .xaxfln21)(（1）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围；a（2）当 时， 恒成立的 的取值范围，x0fx并证明: 2ln3l4ln4 *2,nN- 6 -高二下学期第一次月考理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8、 12答案 A C B C B A C A A C D B二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分13 14. 15. 16. 2632815,8(54三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.解：（1）采用等体积法求得点 到平面 的距离为 ；B1ACD32（2）截面是半径为 的圆，其面积为 .3618.解：（1） ， ；14:21yxCxy4:22（2） ,将直线 的参数方程 （ 为参数）代入)0(，Mlsincott 14:21yxC整理可得： ，由 得：012co8sin4co22 tt）（ )3,0sin2 221 sin3itBA
9、,49(因此， 的取值范围M,439(19.证明：（1）连接 ,取线段 的中点为 ，再连接 .C1BDA,1 三棱柱的所有棱长相等，且 311 BCA 和 为等边三角形AB1 为上述两个三角形公共边 的中点DBC C1, 平面 ，A1, DA1- 7 - 平面BCDA1 平面1(2) 连接 交 于点 M,取线段 的中点为 N，再连接 .不妨设棱长为 2.CA111BAC1由 得 ,因而四边形 为正方形, .B12B 分别为 的边 的中点NM,11C ,1/C2B同（1）可知 和 为等边三角形， .A1 31NCM在 中，N1 622cos121 CM所以，直线 与直线 所成角的余弦值 .1A1
10、B620 解：（1）线段 上存在点 满足PG4AP作辅助线：在线段 上取点 使得 ，连接DHHEG, 在 中AP / PDFF平 面平 面 , PGH平 面/由平几知识易得 ，从而可证E/DFE平 面/ HG,平 面 PHG平 面平 面 / DFE平 面- 8 -（2） 取 线段 的中点为 ,易知ADMFMPDAF平 面过点 作 ,垂足记为 ,连接 , ,PNNN平 面所以， 为 二面角 的平面角F在平面 中， 与 相似， 可求ADRtADtP5在 中， ， ，FMNt1562FMN 因此， 二面角 的余弦值为 .56cosAPD6- 9 -21.解：（1）由 可得：32cea:2:13abc
11、椭圆方程为 代入 可得： 解得： 214xyb,2214bba椭圆方程为214xy（2）设 ，联立方程可得：12,PQ消去 可得： ，整理可得：24ykxmy244xkm2180依题意可知： 1 2122,ykxykxmxx即 121244km12x由方程 可得：2840xk2121284,4kmxk代入可得： ，整理可得： ,214mk222k1可知 为定值，与 的取值无关.222 解：（1）22已知函数 .xaxfln21)(（1）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围；fx（2）当 时， 恒成立的 的取值范围，0并证明: 2ln23l4ln4 *2,nN22 解：（1）函数 有两个不同的零点, 在区间 上有两根，显然fx0l12xa),(.0a- 10 -,令2ln1xa exgxgx,0)(,ln21)(ln)(g32， 在 单调递增，在 单调递减)(），（ e0），（ e ，当 时， ；2)(max 1)(0)(,xg方程 有两根须2ln1,0(ea .),(e(2) 恒成立，当 时，显然满足.0ln2xa当 时， ，结合(1)可得 , .2l1 egxa21)(21m),0(a因此， 的取值范围 .),(e令 ，当 时，2a1x 2ln0l210ln22xxx，可得：当 时， ，令l,4,32ln24n32ln， .424)1(lll nn
