1、- 1 -2018 级高一下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 在等比数列 中，若 ， ，则 等于（ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 642. 已知等差数列 中，前 n 项和为 ，若 ，则 （）A. 36 B. 40 C. 42 D. 453. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ， 成等比数列，则是（ ）A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对4. 已知关于 x 的不等式 x2-ax-b0 的解集是（2，3），则 a+b 的值是（ ）A. B. 11 C. D. 15. 已知 ，则（ ）
2、A. B. C. D. 6. 若变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 的最小值是（ ）A. 4 B. C. 6 D. 7. 已知 a0， b0，并且 ， ， 成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ）A. 16 B. 9 C. 5 D. 48. 设等比数列 an的前 n 项和为 Sn若 S2=3， S4=15，则 S6=（ ）A. 31 B. 32 C. 63 D. 649. a， b， c 是非直角 ABC 中角 A、 B、 C 的对边，且 sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，则 ABC 的面积为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 410. 若数列 满足
3、， ，则 （ ）A. 13 B. 40 C. 121 D. 36411. 中， 角 为钝角，则边 的取值范围是（ ）A. B. C. D. - 2 -12. 已知函数 ,设方程 的根从小到大依次为 , , , ，则数列 的前 项和是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 ，则 的最小值是_14. 一架飞机在海拔 8000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 30和 45，则这个海岛的宽度 PQ_15. 已知函数 f（ x）= x2+mx-1，若对于任意 x m， m+1，都有 f（ x）0 成立，则实数 m的取值范围是_
4、16. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的前 15 项和为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c2=（ a-b） 2+6， C= ，求 ABC的面积18. 已知等差数列 an满足： a4=7， a10=19，其前 n 项和为 Sn（1）求数列 an的通项公式an及 Sn；（2）若 bn= ，求数列 bn的前 n 项和为 Tn19. 如图，在 ABC 中，点 在 边上， ， - 3 -（ ）若 ，求 ABC 的面积（ ）若 ， ，求 的长20. （12 分）已知 ，不等式 的解集是 ，（1）求 的解
5、析式；（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 t 的取值范围21. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算，该项目月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y= ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政府将给予补贴（）当 x200，300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？22. 在数列 中, , (1)设 ,求数列 的通项公式(2)求数列 的前 项和
6、- 4 -2018 级高一下学期期中考试答案和解析【答案】1. B 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. A8. C 9. A 10. C 11. B 12. C13. 5 14. 15. 16. 17. 【解答】解：由题意得， ，又由余弦定理可知， ，即 18. 解： 设等差数列 的公差为 d，则 ，解得： ， ， ， 数列的前 n 项和为 19. 解： 若 ， ，则 ， ，在 中，由余弦定理可得 ，即 ， ，的面积 - 5 -， ， ，是等边三角形， ， ，在 中，由正弦定理得 ，即 ， 解得 20. 解： ，不等式 的解集是 ，所以 的解集是 ，所以 和 是方程 的两个
7、根，由韦达定理知， 恒成立等价于 恒成立，所以 的最大值小于或等于 0设 ，则由二次函数的图象可知 在区间 为减函数，所以 ，所以 21. 解： 当 时，该项目获利为 S，则 ，当 时， ，因此，该项目不会获利当 时， S 取得最大值 ，所以政府每月至少需要补贴 5000 元才能使该项目不亏损； 由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理- 6 -成本为： 当 时， 所以当 时，取得最小值 240； 当 时， 当且仅当，即 时， 取得最小值 300 因为 ，所以当每月处理量为 120 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 22. 解： 由已知有 ，显然 ，利用迭加法得数列 的通项公式： 由 知 ， ，令
8、 ，则 ，故 ， 【解析】1. 【分析】结合已知，由等比数列的通项公式求出公比，再求 即可【解答】解：在等比数列 中，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 故选 B2. 【分析】由等差数列的性质可得： ，再利用求和公式即可得出- 7 -【解答】解：由等差数列的性质可得： ，则 故选 D3. 【分析】 本题考查了正弦定理，等比数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到 ，利用等角对等边得到 ，再由 a、 b、 c 成等比，利用等比数列的性质列出关系式，把 代入得到三边长相等，即可确定出三角形形状 【解答】解： ， 由正弦定理可得：
9、 ，即得： ， ， ，可得： ， 解得： ，即 ， 又 ， b， c 成等比， ，即 ， ， 则 为等边三角形， 故选 A4. 略【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和二次函数的关系，是一道基础题，根据不等式的解集求出 a， b 的值，作和即可 【解答】解：若关于 x 的不等式的解集是 ，则 2，3 是方程 的根，故 ， 故 ，故选 C5. 【分析】本题考查了不等式的性质，关键是排除法，属于基础题利用排除法，当 ， ，则 A， B， C 不成立，根据基本不等式的性质即可判断 D- 8 -【解答】解： ，当 ， ，则 A， B， C 不成立，根据基本性质可得 ，故选 D6. 【分析
10、】本题主要考查了 简单的线性规划，将可行域各交点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法【解答】解：变量 x， y 满足约束条件，目标函数 ，画出不等式组表示的平面区域，作直线 ，平移直线当直线过点 时，目标函数值最小，最小值为 ，故选 B7. 解：根据题意， ， ，且 ， ， 成等差数列，则 ；则；即则 的最小值为 16；故选： 根据题- 9 -意，由等差中项的定义分析可得 ，进而分析可得 ，由基本不等式的性质分析可得答案 本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到 8. 【分析】本题考查等比数列的性质，属基础题 由等比数列的性质可得 S2
11、， ，成等比数列，代入数据计算可得 【解答】解： ， ，所以 S2， ， 成等比数列，即 3，12， 成等比数列，可得 ，解得 故选 C9. 解： ，由正弦定理可得： ，故选： A由正弦定理化简已知等式可得 ，由余弦定理可求，结合 ，利用三角形面积公式即可化简求值得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题10. 【分析】本题考查的是数列的递推关系，属于基础题【解答】解：由题意可得当 时，当 时，当 时，当 时， ，故选 C11. 【分析】本题考查余弦定理的应用，属于中档题目- 10 -【解答】解： 中， ，角 A 为钝角，所以 ，即 ，解
12、得 故选 B12. 【分析】本题考查方程根，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确作图，确定数列从小到大依次为 1，2，4， ，组成以 1 为首项，2 为公比的等比数列是关键 作出函数的图象，可得数列 从小到大依次为 1，2，4， ，组成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即可求出数列 的前 n 项和 【解答】解：函数 的图象如图所示，时， ， 时， ， 时， ，所以方程 的根从小到大依次为 1，3，5， ，数列 从小到大依次为 1，2，4， ，组成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以数列 的前 n 项和为 ，故选 C- 11 -13. 【分析】本题考查了基本不等式的应用 注
13、意基本不等式应用的条件【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 即 时，等号成立故答案为 514. 【分析】本题主要考查解三角形的实际应用先在 中求出 PB，再在 中求出 BQ，即可求出这个海岛的宽度 PQ【解答】解：设飞机所在位置为 A，对应地上位置 B，在 中， ，则 ，在 中， ， 则所以 故答案为15. 解： 二次函数 的图象开口向上，对于任意 ，都有 成立，即 ，解得 ，故答案为： 由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得 m 的范围 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题16. 【分析】首先根据 求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法即可求解此题【解答
14、】- 12 -解： ，故答案为 17. 【分析】本题主要考查余弦定理与三角形面积公式的应用，是基础题 将“ ”展开，另一方面，由余弦定理得到 ，比较两式，得到 ab 的值，计算其面积18. 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 利用“裂项求和”方法即可得出19. 本题主要考查了三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，本题利用了初中的直角三角形的性质，作成勾股定理求解 高中的正余弦定理有时候解题计算麻烦，任意三角形的面积公式在知道两条边及其夹角时，计算比较简单 属于基础题由题意可知， ，
15、的两边及夹角，利用任意三角形的面积公式，求 ABD 的面积和ACD 的面积，那么 当 ， 时， ；在 中，由余弦定理求出 AB；在中，再利用正弦定理求 的值；20. 本题考查一元二次不等式的解集问题及不等式恒成立问题- 13 -根据一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的两个根，可知 和 是方程的两个根，根据韦达定理可得 ，即可求出 b，原不等式可化为 ，构造函数 ，由题意知只需保证 在 上的最大值小于或等于零即可 21. 先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； 确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论 知识点基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式22. 本题考查数列的综合知识，属于中档题使用叠加法即可得出答案；先使用分组求和法，再用错位相减法求差比数列的前 n 项和，再求出等差数列的前 n 项和即可
