1、1天水市一中 2019 届高三第三次模拟考试理科试题（满分：150 分 时间：120 分钟）一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）1若集合 ，集合 ，则 等于（ ）=|(+1)(3)3A B C D不确定(1)(2) (1)0)三、解答题（每小题 12 分，共 60 分）17已知等比数列 是递增数列，且 ， 1+5=172 24=4(1)求数列 的通项公式 (2)若 ，求数列 的前 n 项和 4619iy37161iiyxniiiiixyb12)(09ADEDEA18某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘
2、制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 （单位：百万元）与月份代码之间的关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 ， 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏4的年限不相同，现对 ， 两种型号的新型材料对应的产品各 件进行科学模拟测试，得 100到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命材料类型 个月1 个月2 个月3 个月4 总计 20 35 35 10 100 10 30 40 20 100经甲
3、公司测算平均每包新型材料每月可以带来 万元收入，不考虑除采购成本之外的其他5成本，A 材料每包的成本为 10 万元，B 材料每包的成本为 12 万元。假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：参考公式：回归直线方程为 ，其中=+19在五面体 中，四边形 是正方形， 012CBAD,（1）求证： ；5（2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， 22+22=1(0) 1(,0).过焦点且垂直于 轴的直线与椭圆
4、相交所得的弦长为 3，直线 与椭圆 相切.2(,0) = 3 （1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在直线 ： 与椭圆 相交于 两点，使得 =(+) ,？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由！21已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；()（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求实数() =1 ()鈮 2的取值范围；（3）当 时，证明不等式 .1 (1+)(1+)四、选做题（共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。 ）22在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数， ） 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系
5、，曲线 的极坐标方程为 （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若 与 相交于 两点，且 ，求 , |=823设函数 .6（1）当 时，求不等式 的解集；=1 ()0（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围()鈮 ?1 参考答案1C 2C 3D 4C 5D 6C 7B 8C 9C .10B 11C 12A11正方体的对角线长为 ，故当正方体旋转的新位置的最大高度为 ，23 23又水的体积是正方体体积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 ，故选 C312函数 满足 ，可得 .()(3)=()(32)=(32+)由 ，易知，当 时， ， 单调递减.(32)()32 ()3
6、132 132 (1)(2)当 ,则 , ， ，即 .故选 A.132231 (31)(2) (1)(2)13-1 14 15 1635 192 316因为在（3）中，对任意 ， , ()=()+()+()5令 ，代入得=0 ()0=0()+(0)+(0)由（1）中 可得= ()0=()0+(0)+(0)由（2）中 ，化简可得0= ()0=+7所以 因为 由基本不等式可得()=1=1+1 0 ()=1+13所以最小值为 317（1） ；（2） .=22 =1221+21解： 由 是递增等比数列， ， ，(1) 1+5=172 24=4=23=41+14=172；解得： ， ； 数列 的通项公式
7、： ；(12)2=4 1=12 =2 =22由 ， ；(2) =() =22那么 ，=121+220+321+22则 ，2=120+221+322+(1)22+21将 得： ；=1212012122+21即： =(21+20+2+22+22)+21=1221+2118 （1） ，预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 百万元（2）见解析=2+9 31解（1）由折线图可知统计数据 共有 组，(,) 6即 ， ， ， ， ， ，(1,11)(2,13)(3,16)(4,15)(5,20)(6,21)计算可得 ， ，=1+2+3+4+5+66 =3.5=166=1=1696=16所以 ，=1()
8、()=1()2 =1=1()2 =37163.51617.5 =2，=1623.5=9所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 . =2+9当 时， .故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 百万元。=11 =211+9=31 31（2）由频率估计概率，每包 型新材料可使用 个月， 个月， 个月和 个月的概率分别为 1 2 3 4. ， ， 和 ，02 0.350.350.1所以每包 型新材料可产生的利润期望值.(1)=(510)0.2+(1010)0.35+(1510)0.35+(2010)0.1=1.75由频率估计概率，每包 型新材料可使用 个月， 个月， 个月和 个月的概率分
9、别为 ， 1 2 3 4 0.1， 和 ，0.30.40.2所以每包 型新材料可产生的利润期望值8.(2)=(512)0.1+(1012)0.3+(1512)0.4+(2012)0.2=1.5.所以应该采购 型新材料。(1)(2) 19 （1）见解析；（2）55（1）证明：由已知 ，且 平面 ， 平面 ，/ 所以 平面 又平面 平面 ，/ =故 又 ，所以四边形 为等腰梯形 =120 因为 ，所以 ，所以 ，所以 = = =1200300=900 因为 ，且 ，所以 平面 .所以 , = 又 ， 平面 ，又 平面 ，所以 = （2）如图，以 为原点，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系 ， ,
10、则(0,0,0),(1,0,0),(12, 32,1),(0,3,0) ，=(32,32,1),=(0,3,0),=(12, 32,1)设平面 的法向量为 ， =(,)由 ，得 ，令 ，得 =3=0=12+32+=0 =0=2 =1 =(2,0,1)设直线与平面 所成的角为 ， ， =|=|= 225=55所以直线 与平面 所成角的正弦值为 5520 （1） （2）见解析24+23=1（1）在 中，令 ，得 ，解得 .22+22=1(0) = 22+22=1 =2由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆 相交所得的弦长）为 3，9得 ，所以 .2(2)=3 22=3因为直线 ： 与椭圆 相切
11、，则 . =3 1 =|3|=3将代入，得 .故椭圆 的标准方程为 .=2 24+23=1（2）设点 ， .由（1）知 ，则直线 的方程为 .(1,1) (2,2) =1 =(+1)联立 得 ，=(+1),24+23=1, (42+3)2+82+4212=0则 恒成立.=(82)24(42+3)(4212)=1442+1440所以 ， ，1+2=8242+3 12=421242+312=2(1+1)(2+1)=2(12+1+2+1)=.2(421242+3 8242+3+1)=9242+3因为 ，所以 .即 .(2)20(0,1)上单调递增;（2） ;（3）详见解析(1,+) (,112（1）
12、解 当 时， ，从而 ，()=1=1 (0) 0 1001 10，函数在 上单调递减，在 上单调递增()0(0,1) (1,+)（2）解 根据（1）函数的极值点是 ，若 ，则 =1 1=1 =1所以 ，即 ，由于 ，即 ()212 01+110令 ，则 ，()=1 ()=121 =22可知 为函数 在 内唯一的极小值点，也是最小值点，故=2 ()(0,+)，所以 的最小值是 ，故只要 即可，()=(2)=12 1+1 112 112故 的取值范围是 (,112（3）证明不等式 (1+)(1+)+1+1+1+1构造函数 ，则 ，可知函数在 上 ，()= ()=12 =(1)2 (,+)()0即函
13、数 在 上单调递增，由于 ，()(,+) 1所以 ，所以 ，所以 +1+1+1+1+1+1 (1+)(1+)22 （1）见解析；（2） 或=4 34（1）当 时， 当 时， 由 得=2 ： =1 2 ： =(1) (12)=8，因为 ， ，所以 的直角坐标方程 222=8 = = 2=4（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得： ，则 ， ，(2)2(4)4=01+2=42 12= 42因为 ，|=|12|=(1+2)2412= 42=8所以 或 ，因为 ，所以 ，故 或 =22 22 00 |21|2| (21)2(2)2化简得： ，所以不等式 的解集为 .(33)(+1)0 ()0 (,1)(1,+)（2）当 时， ，由函数单调性可得2 ，解得 ； ()=(2)=2+21 64()= 2,2 ，解得 ； 综上，实数 的取值范围为 .()=(2)=221 42 6,2
