1、1第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词突破点一 充分条件与必要条件基 本 知 识 1充分条件与必要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q pp 是 q 的必要不充分条件 p q 且 qpp 是 q 的充要条件 pqp 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p2.充分条件与必要条件和集合的关系p 成立的对象构成的集合为 A， q 成立的对象构成的集合为 Bp 是 q 的充分条件 ABp 是 q 的必要条件 BAp 是 q 的充分不必要条件 A Bp 是 q 的必要不充分条件 B Ap 是 q 的充要条
2、件 A B基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件( )(2)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立( )(3)“x1”是“ x23 x20”的必要不充分条件( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1 “x3”是“ x29”的_条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)答案：充分不必要2 “ab0”是“ a0， b0”的_条件答案：必要不充分3 xy1 是 lg xlg y0 的_条件解析：lg xlg ylg( xy)0， xy1 且 x0， y0.2所以“lg xlg y0”成立， xy
3、1 必成立，反之无法得到 x0， y0.因此“ xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件答案：必要不充分4设 p， r 都是 q 的充分条件， s 是 q 的充要条件， t 是 s 的必要条件， t 是 r 的充分条件，那么 p 是 t 的_条件， r 是 t 的_条件(用“充分不必要” “必要不充分” “充要”填空)解析：由题知 pqst，又 tr， rq，故 p 是 t 的充分不必要条件， r 是 t 的充要条件答案：充分不必要 充要全 析 考 法 考法一 充分条件与必要条件的判断 例 1 (1)(2018北京高考)设 a， b， c， d 是非零实数，则“ ad bc”是“a，
4、b， c， d 成等比数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2018天津高考)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 (1) a， b， c， d 是非零实数，若 a0， c0，且 ad bc，则a， b， c， d 不成等比数列(可以假设 a2， d3， b2， c3)若 a， b， c， d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad bc.所以“ ad bc”是“ a， b， c， d 成等比数列”的必要而不充分条件(2)由 ，得 0 x1，则
5、0 x31，|x12| 12即“ ”“x31” ；|x12| 12由 x31，得 x1，当 x0 时， ，|x12| 123即“ x31” “ ”|x12| 12所以“ ”是“ x31”的充分而不必要条件|x12| 12答案 (1)B (2)A方法技巧 充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法二 根据充分、必要条件求参数范围 例 2
6、 (2019大庆质检)已知 p： x1 m， q：| x4|6.若 p 是 q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是( )A(，1 B(，9C1,9 D9，)解析 由| x4|6，解得2 x10，因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以m110，解得 m9.故选 D.答案 D方法技巧根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理
7、不当容易出现漏解或增解的现象 集 训 冲 关 1. 已知 m， n 为两个非零向量，则“ mn ”是“sin sin ”的( )考 法 一 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D ， 均为第一象限角，满足 ，但 sin sin ，因73 3此不满足充分性； ， 均为第一象限角，满足 sin sin ，但 0 且 a1，若“ a M”是“函数 f(x)log a|x1|在考 法 二 (0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间 M 可以是( )A(1，) B(1,2)C(0,1) D.(0，12)解析：选 D 由函数 f(x)log a|x1|在(0,
8、1)上单调递增可知 00 ，则命题 p 的否定是_答案： x0R， ex0 x0102命题 p： x0R， x 2 x050， 0”的否定是( )xx 1A x00 ， 0 x0x0 1B x00,0 x01C x0， 0 xx 16D x0，使得 ln x0”的否定为( )A x0，均有 ln x0 B x0，均有 ln x0C x0，均有 ln x0，均有 ln x0解析 (1) 0， x1，xx 1 0 的否定是 0 x1，xx 1命题的否定是“ x00,0 x01” 故选 B.(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“ x0，使得 ln x0”的否定为：x0，均有 ln x0.故选
9、A.答案 (1)B (2)A方法技巧全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可提醒 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定 考法二 全(特)称命题的真假判断 例 2 (2019西安质检)下列命题中，真命题是( )A x0R ，sin 2 cos 2 (x03) (x03) 13B x(0，)，sin xcos xC x0R ， x x0220D x(0，)，e xx1解析 xR，均有 sin2 cos 2 1，故 A 是假命题；(x3) (x
10、3)当 x 时，sin xcos x，故 B 是假命题；(0， 4方程 x2 x20 对应的判别式 180 恒成立，则 f(x)为增函数，故 f(x)f(0)0，即 x(0，)，e xx1. 故选 D.答案 D方法技巧 全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x x0，使p(x0)不成立即可特称命题要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题考法三 根据全(
11、特)称命题的真假求参数 例 3 (2019长沙模拟)已知命题“ xR， ax24 x 10”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )A(4，) B(0,4C(，4 D0,4)解析 当原命题为真命题时， a0 且 4，故当原命题为假命题时，a4.故选 C.答案 C方法技巧根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围 集 训 冲 关 1. 命题“ xR， nN *，使得 nx2”的否定形式是( )考 法
12、 一 A xR ， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C xR ， nN *，使得 n x2D xR， nN *，使得 n x2解析：选 C 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“ xR， nN *，使得 nx2”的否定是“ xR ， nN *，使得 n x2”故选 C.82. 下列命题中的假命题是( )考 法 二 A x0R ，lg x00 B x0R，tan x00C xR,3 x0 D xR， x20解析：选 D 当 x01 时，lg x00，当 x00 时，tan x00，因此 x01，lg x00； x00 ，tan x00； xR,3 x0； xR， x2
13、0 ，所以 D 为假命题故选 D.3. 已知命题 p： x0R，log 2(3x01)0，则( )考 法 一 、 二 A p 是假命题；命题 p 的否定为： xR，log 2(3x1)0B p 是假命题；命题 p 的否定为： xR，log 2(3x1)0C p 是真命题；命题 p 的否定为： xR，log 2(3x1)0D p 是真命题；命题 p 的否定为： xR，log 2(3x1)0解析：选 B 3 x0，3 x11，则 log2(3x1)0， p 是假命题，綈p： xR，log 2(3x1)0.故应选 B.4. 已知命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，则实数 a 的取值范围考 法 三 14为( )A(，0) B0,4C4，) D(0,4)解析：选 D 因为命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，所以其否定为14“xR,4 x2( a2) x 0”是真命题，则 ( a2) 244 a24 a0，解得14 140a4，故选 D.9
