1、1综合检测一(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A xR| x10， B xR|2 x2f( ) D f(log328)0，得 x3. y x22 x3( x1) 24 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数，而ylog x 在(0，)上是减函数，1 f(x)在(，1)上是增函数，在(3，)上是减函数， f( )；10 11 10 112 f(3 )log4log4故选 A.4已知 x， y 满足约束条件Error!则 z| x y2
2、|的最大值是( )A7B6C5D4答案 B解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则 A(0,1)， B(2,2)， C ，(12， 12)则可行域在直线 l： x y20 的右上方， z| x y2| x y2，即 y x z2，故当直线 y x z2 过点 B 时， z 取得最大值，最大值是 6.方法二 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则 A(0,1)， B(2,2)， C ，记直线(12， 12)l： x y20，点 B 到直线 l 的距离为 dB l，则z| x y2| dB l，而 dB l3 ，故 z| x y2|6，所以2|x y 2|2 2 2z| x y
3、2|的最大值是 6.5若(3 ax1) 5(2x1) 3的展开式中各项系数的和为 1，则该展开式中 x2项的系数为( )A56B112C168D224答案 B解析 令 x1 得(3 a1) 5(21) 31，解得 a ，23则(3 ax1) 5(2x1) 3(2 x1) 8，其二项展开式的通项 Tk1 C (2x)8 k(1) k，k8所以 x2项为 Tk1 C (2x)86 (1) 64C x2112 x2，68 68所以 x2项的系数为 112.6已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x) k(x1)在(，1上恰有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是( )A1,3) B(
4、1,33C2,3) D1，)答案 A解析 函数 g(x) f(x) k(x1)在(，1上恰有两个不同的零点，等价于直线y k(x1)与函数 y f(x)的图象在(，1上有两个不同的交点作出 f(x)的大致图象如图所示，因为直线 y k(x1)过定点(1,0)，定点(1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为 1和 3，结合 f(x)的图象可知 k 的取值范围是1,3)故选 A.7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A12 12 2C12 1223 3答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的
5、边长 a2，半圆锥的底面半径 r1，高 h3，所以正四棱柱的体积 V1 a2h2 2312，半圆锥的体积 V2 r2h 123 ，所以该几何体的12 3 6 2体积 V V1 V212 . 248已知圆 C： x2( y1) 28，直线 l1： mx y m30 与圆 C 交于 A， B 两点，直线l2： x my3 m10 与圆 C 交于 E， F 两点，则四边形 AEBF 的面积的最大值为( )A10B11C12D13答案 B解析 方法一 设圆心 C(0,1)到直线 l1， l2的距离分别为 d1， d2，圆 C 的半径为 r，则 d1 ， d2 ，|m 2|m2 1 |2m 1|m2 1
6、| AB|2 2 ，r2 d218 m 22m2 1|EF|2 2 ，r2 d28 2m 12m2 1又由直线方程知 l1 l2， AB EF，则 S 四边形 AEBF |AB|EF|12 2 212 8 m 22m2 1 8 2m 12m2 1264 8m 22m2 1 2m 12m2 1 m 22m2 1 2m 12m2 1264 85 (2m2 3m 2m2 1 )2224 (2 3m 4m2 1)2224 2 9 3m 43m 4 42 922 11，24 2 9 13m 4 8 253m 42当且仅当 3m4 ，即 m3 或 时等号成立253m 4 13方法二 直线 l1： mx y
7、 m30 m(x1)( y3)0，直线l2： x my3 m10( x1) m(y3)0，直线 l1 l2，且均过定点 P(1,3)圆 C： x2( y1) 28，则圆心 C(0,1)，设圆 C 的半径为 r，圆心 C 到直线 l1， l2的距离分别为 d1， d2，过点 C 分别向直线 l1， l2作垂线，垂足分别为 M， N，则四边形 CMPN 为矩形，且满足 d d | CP|2(10) 2(31)21 225.5|AB|2 2 ，r2 d21 8 d21|EF|2 2 ，r2 d2 8 d2由 l1 l2AB EF，则 S 四边形 AEBF |AB|EF|12 2 212 8 d21
8、8 d2(8 d )(8 d )16( d d )11，21 2 21 2当且仅当 8 d 8 d ，即 d d 时等号成立21 2 21 2529.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 ABC， AB BC CA3， AA12， M 是 AB 上的点，且 BM2 AM，动点 Q 在底面 A1B1C1内，若 BQ平面 A1CM，则 BQ 的取值范围是( )A. .5，52 52， 13C. .52， 332 97314， 52答案 D解析 如图，在 A1B1上取一点 D，使 A1D2 B1D，取 B1C1的中点 E，连接 BD， BE， DE，则 BD A1M，因为 A1M平面
9、 A1CM，所以 BD平面 A1CM.同理， DE平面 A1CM，所以平面 BDE平面 A1CM，所以点 Q 在线段 DE 上，点 Q 的轨迹为线段 DE，易得 BD ， BE ，552在 B1DE 中，由余弦定理得DE2 DB B1E22 DB1B1Ecos DB1E2161 21 ，所以 DE ，94 32 12 74 72在 BDE 中，利用余弦定理得cos BDE ，BD2 DE2 BE22BDDE 3570所以 sin BDE ，486570则 BQ 的最小值为 DE 边上的高，最大值为 BE 的长，DE 边上的高是 BDsin BDE ，5486570 97314所以 BQ ，故选
10、 D.97314， 5210已知同一平面内的向量 a， b， c 满足| a b| b c| c a|2， d 为该平面内的任意一个向量，且( b d)(c d)0，则( a d)(a b2 d)的最大值为( )A42 B4 C5 D527 7 7 7答案 D解析 如图，假设 a， b， c， d 共起点 D，根据| a b| b c| c a|2，可知 a， b， c终点的连线构成一个边长为 2 的正三角形(如图所示的 ABC)，又( b d)(c d)0，故 OC OB，而( a d)(a b2 d)( a d)(a d)( b d) ，其中 E 为平行四边形 OAEBOA OE 的顶点，
11、这样问题就转化为求 的最大值了OA OE 以 O 为原点， OB， OC 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，设 OBC ，则 B(2cos ，0)， C(0,2sin )，A ，(2cos 2cos( 3)， 2sin( 3)E ，(4cos 2cos( 3)， 2sin( 3) OA OE 2cos 2cos( 3)2sin 2sin4cos 2cos( 3) ( 3) ( 3)742cos 2 6 sin cos35cos2 3 sin2352 sin(2 )，其中 tan ，739 的最大值为 52 .OA OE 7第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题(本大题共
12、7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填在题中横线上)11十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数 f(x)Error!被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，狄利克雷函数是无法画出函数图象的，但是它的函数图象却客观存在，如果 A(0， f(0)， B( ， f( )在其图象上，那么 f( )3 3 3_， A， B 两点间的距离为_答案 0 2解析 根据函数的解析式得 f(0)1， f( )0，所以 A， B 两点间的距离为 2.312已知 i 为虚数单位， a bi(a， bR)，则 a b_， a bi 的共轭复数2 1 i在复
13、平面内对应的点位于第_象限答案 2 二解析 1i，则 a1， b1， a b2， a bi 的共轭复数在复平面内2 1 i对应的点为(1,1)，位于第二象限13双曲线 1 的离心率是_，右焦点到渐近线的距离是_x24 y23答案 72 3解析 双曲线 1 的离心率 e .双曲线的右焦点为( ，0)，渐近线x24 y23 ca 1 b2a2 72 7方程为 y x，所以右焦点到渐近线的距离 d .32 733 4 314抛掷 1 枚质地均匀的骰子，当正面朝上的点数为 3 的倍数时，就说这次试验成功，则在两次试验中至少有一次成功的概率为_；若连续做 10 次试验，记 X 为试验成功的次数，则 E(
14、X)_.答案 59 103解析 记事件 A 为“两次试验中至少有一次成功” ，则事件 为“两次试验都不成功” 基本A事件的个数为 n6636，事件 包括的基本事件的个数 m4416，则 P(A)1 P( )A A81 1 .易知 X B(10， p)，其中一次试验成功的概率 p ，则 E(X)mn 1636 59 26 13 np10 .13 10315由 1,2,3,4,5,6 六个数字组成无重复数字的六位数，要求 1 不排在两端，2,3 相邻，6在 4 的左边，则可以组成_个不同的六位数答案 72解析 方法一 2,3 相邻，所以把 2,3 看作一个整体，有 2 种排法，这样，六个元素变成了
15、五个先排 1，由于 1 不排在两端，则 1 在中间的 3 个位置中，有 A 3 种排法，其余的 413个元素任意排，有 A 种排法，又 4,6 顺序已经确定，所以不同的六位数有472(个)23A4A2方法二 2,3 排序有 A 种，且 1 不在两端的情形有(A A A C A )种，除去 4,6 的顺序，2 25 2124得 72(个)A2A5 A2C12A4A216已知 a0， b0，则 的最小值是_b2 2a b a2ab 1答案 2解析 方法一 当 a b ab1 时， b2 2a b a2ab 1 b2 2a b a2a b a2 b2 2a b 2，a2 1 b2 1a b 2a 2
16、ba b当且仅当 a b1 时等号成立；当 a b b2 2a b a2ab 1b2 2ab 1 a2ab 1 2.a2 b2 2ab 1 2ab 2ab 1故 的最小值是 2.b2 2a b a2ab 1方法二 因为 3(b22)( b2) 22( b1) 20，所以 b22 ，b 223进而 b2 2a b a2ab 1 b 223a b a2ab 1 a b 223a b ab 1 a b2 4a b 43a b ab 19a2 1 b2 1 4a b 2ab 23a b ab 12a 2b 4a b 2ab 23a b ab 1 2，6a b 2ab 23a b ab 1当且仅当 a
17、b1 时等号成立，故 的最小值是 2.b2 2a b a2ab 117已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，且 F1， F2在 x 轴上， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是_23答案 (1，)解析 方法一 设椭圆方程为 1( a1b10)，x2a21 y2b21离心率为 e1，半焦距为 c，满足 c2 a b ，21 21双曲线方程为 1( a20， b20)，x2a2 y2b2离心率为 e2，半焦距为 c，满足 c2 a b ，2 2不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P 是它们在第一象限的一个公共点，则由椭圆与双曲线的定义得，Err
18、or!Error!在 F1PF2中，由余弦定理可得 ，a1 a22 a1 a22 4c22a1 a2a1 a2 12整理得 4c23 a a ，即 3 4，21 2a21c2 a2c2即 3 2 24，则 243 2.(1e1) (1e2) (1e2) (1e1)由Error! 令 t 2，(1e1)则 t 2 ，(1e1) 134 (1e2)2 (1， 43) 2 2 2(1e1) (1e2) (1e1) 4 3(1e1)23 t24 t3 2 ，(t23) 4310函数 f(t)3 2 在 上单调递减，(t23) 43 (1， 43) 2 23 2 (0,1)，(1e1) (1e2) (t
19、 23) 43即 e1e2的取值范围为(1，)方法二 设椭圆方程为 1( a1b10)，x2a21 y2b21离心率为 e1，半焦距为 c，满足 c2 a b ，21 21双曲线方程为 1( a20， b20)，x2a2 y2b2离心率为 e2，半焦距为 c，满足 c2 a b ，2 2不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P 是它们在第一象限的一个公共点，|PF1| m，| PF2| n，则 mn0，在 F1PF2中，由余弦定理可得 m2 n2 mn4 c2，则由椭圆与双曲线的定义，得Error!则 1e1 1e2 a1a2c2 m2 n24c2 m2 n2m2 n2 mn 1 ，m2 n
20、2 mn 2n2 mnm2 n2 mn2 mn(mn)2 mn 1令 t2 3，mn则 1 1 ，1e1 1e2 tt2 3t 3 1t 3t 3函数 g(t)1 在(3，)上单调递增，1t 3t 3 (0,1)，即 e1e2的取值范围为(1，)1e1 1e2三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(14 分)已知函数 f(x)cos 2x sinxcosx.3(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若锐角三角形 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 f(C) ， a2，12求 b 的取值范围解 (1) f(x)
21、cos 2x sinxcosx311 sin2x，1 cos2x2 32 f(x)cos ，(2x 3) 12令 2k2 x 2 k， kZ， 3得 k x k ， kZ，23 6 f(x)的单调递增区间为 ， kZ.k 23， k 6(2) f(C) ，12 f(C)cos ，(2C 3) 12 122 C 2 k， kZ， 3又 0c3c4cn，对一切正整数 n， cn的最大值是 .14又 cn m2 m1 对一切正整数 n 恒成立，14 m2 m1 ，14 14即 m24 m50，解得 m1 或 m5.21.(15 分)如图，已知椭圆 C： 1( ab0)， F1， F2为其左、右焦点，
22、离心率x2a2 y2b2e ， M 为椭圆上一动点， MF1F2的面积的最大值为 2.55(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P(2,0)作直线 l，交椭圆 C 于 A， B 两点，求 MAB 面积的最大值，并求此时直线 l的方程解 (1)由Error!得Error!15所以椭圆 C 的方程为 1.x25 y24(2)当直线 l 的斜率为 0 时，直线 l 的方程为 y0，此时 S MAB的最大值为 22 2 .12 5 5当直线 l 的斜率存在且不为 0 或斜率不存在时，设直线 l： x my2，代入椭圆方程得 4(my2) 25 y2200，即(4 m25) y216 my40，设 A(
23、x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，16m4m2 5 44m2 5故| AB|1 m2( 16m4m2 5)2 164m2 5 ，1 m21620m2 54m2 52平移直线 l 至直线 l的位置，使得直线 l与椭圆相切(图略)，设直线 l： x my t，代入椭圆方程得 4(my t)25 y2200，即(4 m25) y28 mty4 t2200，由 0 得 4m25 t2，则 t25，当 t 时，点 M 距离直线 l 最远，即 S MAB最大，此时，点 M 到直线 l 的距离 d4m2 5，|2 t|1 m2从而 S MAB |AB|d1212t 221
24、620m2 54m2 522 5t 23t 2t42 .5 (1 2t)3(1 2t)令 1 u， f(u) u3(2 u)，2t由 f( u)6 u24 u30 得 u10， u2 ，32所以函数 f(u)在 上单调递增，在 上单调递减，0，32) (32， )因为 t ，所以 u ，故当 u ，即 t4 时， S MAB取得最大值，最大值5 (1，255 1 3216为 .3152综上， S MAB的最大值为 ，此时， m ，3152 112所以直线 l 的方程为 x y2.11222(15 分)已知函数 f(x) x24 x5 (aR)aex(1)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数
25、a 的取值范围；(2)设 g(x)e xf(x)，当 m1 时，若 g(x1) g(x2)2 g(m)(其中 x1m)，求证：x1 x20， h(x)在(，1)上为增函数，当 x(1，)时，h( x)0 时，e m xem x0，(m x1) 2( m x1) 22 x(2m2)0， F( x)0， F(x)在(0，)上单调递增， F(x)F(0)2 (m)， (m x) (m x)2 (m)， x(0，)令 x m x1， x10， (m m x1) (m m x1)2 (m)，17即 (2m x1) (x1)2 (m)，又 (x1) (x2)2 (m)， (2m x1)2 (m) (x2)2 (m)，即 (2m x1) (x2)， (x)在 R 上单调递增，2 m x1x2，即 x1 x22m.18
