1、1第一节 不等关系与不等式1两个实数比较大小的依据(1)a b0 a b.(2)a b0 a b.(3)a b0 a b.2不等式的性质(1)对称性： a bb a；(2)传递性： a b， b ca c；(3)可加性： a ba c b c；a b， c da c b d；(4)可乘性： a b， c0 ac bc；a b0， c d0 ac bd；(5)可乘方： a b0 an bn(nN， n1)；(6)可开方： a b0 (nN， n2)na nb小题体验1(教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)a b， c da c_b d；(2)a b0， c d0 ac_bd；(3)a b
2、0 _ .3a 3b答案：(1) (2) (3)2. ， 的大小关系为_2 7 3 6答案： 2 7 3 63已知 a0，1 b0，则 a， ab， ab2的大小关系是_(用“”连接)解析：由1 b0，可得 b b21.又 a0， ab ab2 a.答案： ab ab2 a1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a b， b ca c.2在乘法法则中，要特别注意“乘数 c的符号” ，例如当 c0 时，有a bac2 bc2；若无 c0 这个条件， a bac2 bc2就是错误结论(当 c0 时，取“”)2小题纠偏1设 a， b， cR，且 a b，则( )A ac bc B. C a2 b
3、2 D. a3 b31a 1b答案：D2 “a b0”是“ ”的_条件1a2 1b2答案：充分不必要考 点 一 比 较 两 个 数 式 的 大 小 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1已知 p a ， q x22，其中 a2， xR，则 p， q的大小关系是( )1a 2 (12)A p q B p q C p q D p q解析：选 A 因为 a2，所以 p a a2 2224，当且仅当1a 2 1a 2a3 时取等号因为 x222，所以 q x22 2 4，当且仅当 x0 时取等号所以 p q.(12) (12)2若 a ， b ，则 a_b(填“”或“”)ln 22 l
4、n 33解析：易知 a， b都是正数， log 891，所以 b a.ba 2ln 33ln 2答案：3已知等比数列 an中， a10， q0，前 n项和为 Sn，则 与 的大小关系为S3a3 S5a5_解析：当 q1 时， 3， 5，所以 .S3a3 S5a5 S3a3 S5a5当 q0 且 q1 时， S3a3 S5a5 a1 1 q3a1q2 1 q a1 1 q5a1q4 1 q 0，q2 1 q3 1 q5q4 1 q q 1q4所以 .综上可知 .S3a3 S5a5 S3a3 S5a5答案： S3a3 S5a53谨记通法比较两实数(式)大小的 2种常用方法作差法其基本步骤：作差，变
5、形，判断符号，得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与 1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与 1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤考 点 二 不 等 式 的 性 质 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1若 a b0， c d0，则一定有( )A. B. ad bc ad bcC. D. ac bd ac bd解析：选 B 因为 c d0，所以 c d0，所以 0.1 d 1 c又 a b0，所以 ，a d b c所以 .故选 B.ad bc2设
6、 a， bR，则“( a b)a20”是“ a b”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A ( a b)a20，则必有 a b0，即 a b；而 a b时，不能推出(a b)a20，如 a0， b1，所以“( a b)a20”是“ a b”的充分不必要条件由题悟法不等式性质应用问题的 3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断 pq和 qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题
7、除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法即时应用41若 0，则下列结论不正确的是( )1a 1bA a2 b2 B ab b2C a b0 D| a| b| a b|解析：选 D 0， b a0，1a 1b b2 a2， ab b2， a b0，选项 A、B、C 均正确， b a0，| a| b| a b|，故 D项错误，故选 D.2若 a， b， c为实数，则下列命题正确的是( )A若 a b，则 ac2 bc2B若 a b0，则 a2 ab b2C若 a b0，则 1a 1bD若 a b0，则 ba ab解析：选 B A 选项需满足 c0；取 a2， b1 知选项 C、D 错误
8、故选 B.考 点 三 不 等 式 性 质 的 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1(2018嘉兴期末)已知1 x y4,2 x y3，则 3x2 y的取值范围是_解析：设 3x2 y m(x y) n(x y)( m n)x( m n)y，所以 m n3， m n2，解得 m ， n ，52 12所以 3x2 y (x y) (x y)，52 12由1 x y4，得 (x y)10，52 52由 2 x y3，得 1 (x y) ，12 32上述不等式相加得 (x y) (x y) ，32 52 12 2325所以 3 x2 y .32 232答案： (32， 232
9、)2已知 1lg xy4，1lg 2，求 lg 的取值范围xy x2y解：由 1lg xy4，1lg 2，xy得 1lg xlg y4，1lg xlg y2，而 lg 2lg xlg y (lg xlg y) (lg xlg y)，x2y 12 32所以1lg 5，x2y即 lg 的取值范围是1,5x2y类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围即时应用1若 6 a10， b2 a， c
10、a b，则 c的取值范围是( )a2A9,18 B(15,30)C9,30 D(9,30)解析：选 D b2 a，a2 a b3 a，3a2即 c3 a.3a26 a10，9 c30.故选 D.2若 1 3，4 2，则 | |的取值范围是_解析：4 2，0| |4，4| |0.3 | |3.答案：(3,3)6 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设 a， b0，)， A ， B ，则 A， B的大小关系是( )a b a bA A B B A BC A B D A B解析：选 B 由题意得， B2 A22 0，且 A0， B0，可得 A B.ab2若 a b0，则下列不等式不能成立的是( )A.
11、B. 1a b 1a 1a 1bC| a| b| D a2 b2解析：选 A 取 a2， b1，则 不成立1a b 1a3(2018浙江十校联盟适考)设 a0 且 a1，则“ ab1”是“( a1) b0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 若 ab1，因为 a0 且 a1，所以当 0 a1 时， b0，此时( a1)b0 成立；当 a1 时， b0，此时( a1) b0 成立若( a1) b0，因为 a0 且a1，所以当 0 a1 时， b0，此时 ab1；当 a1 时， b0，此时 ab1.所以“ab1”是“( a1) b0”的充要条件
12、4(2018金华模拟)设 a， bR，若 a| b|0，则下列不等式中正确的是( )A b a0 B a3 b30C a2 b20 D b a0解析：选 D 利用赋值法，令 a1， b0，排除 A、B、C，选 D.5 b g糖水中有 a g糖( b a0)，若再添 m g糖( m0)，则糖水变甜了试根据这一事实，提炼出一个不等式_答案： ab a mb m 二保高考，全练题型做到高考达标1已知 a1， a2(0,1)，记 M a1a2， N a1 a21，则 M与 N的大小关系是( )A M N B M NC M N D不确定解析：选 B M N a1a2( a1 a21) a1a2 a1 a
13、21( a11)( a21)，又 a1(0,1)， a2(0,1)， a110， a210.7( a11)( a21)0，即 M N0. M N.2若 0，给出下列不等式： ；| a| b0； a b ；ln 1a 1b 1a b 1ab 1a 1ba2ln b2.其中正确的不等式的序号是( )A BC D解析：选 C 法一：因为 0，故可取 a1， b2.显然1a 1b|a| b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1) 20，ln b2ln(2) 2ln 40，所以错误，综上所述，可排除 A、B、D，故选 C.法二：由 0，可知 b a0.1a 1b中，因为 a b0， ab0，所以
14、，故正确；1a b 1ab中，因为 b a0，所以 b a0，故 b| a|，即| a| b0，故错误；中，因为 b a0，又 0，则 0，所以 a b ，故正确；1a 1b 1a 1b 1a 1b中，因为 b a0，根据 y x2在(，0)上为减函数，可得 b2 a20，而 yln x在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故 错误由以上分析，知正确3(2018宁波模拟)设 a， b是实数，则“ a b1”是“ a b ”的( )1a 1bA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选 A 因为 a ，若 a b1，显然 a 1a (b 1b)
15、a b ab 1ab 1a 0，则充分性成立，当 a ， b 时，显然不等式(b1b) a b ab 1ab 12 23a b 成立，但 a b1 不成立，所以必要性不成立1a 1b4若 m0， n0 且 m n0，则下列不等式中成立的是( )A n m n m B n m m nC m n m n D m n n m解析：选 D 法一：(取特殊值法)令 m3， n2 分别代入各选项检验即可法二： m n0 m nn m，又由于 m0 n，故 m n n m成立5设 a0， b0，则 p 与 q a b的大小关系是( )b2a a2b8A p q B p qC p q D p q解析：选 D
16、p q ( a b) b2a a2b b3 a3 a2b ab2ab .a a2 b2 b a2 b2ab a b a2 b2ab a b 2 a bab因为 a0， b0，所以 0，即 p q，故选 D. a b 2 a bab6已知 a， b为实数，且 a b， a0，则 a_2b (填“” “”或“”)b2a解析： a b， a0， a 0，(2bb2a) a b 2a a2 b .b2a答案：7已知函数 f(x) ax b,0 f(1)2，1 f(1)1，则 2a b的取值范围是_解析：由函数的解析式可知 0 a b2，1 a b1，又 2a b (a b)12 ( a b)，结合不等
17、式的性质可得 2a b .32 ( 32， 52)答案： (32， 52)8已知 a b0，则 与 的大小关系是_ab2 ba2 1a 1b解析： ( a b) .ab2 ba2 (1a 1b) a bb2 b aa2 (1b2 1a2) a b a b 2a2b2 a b0，( a b)20， 0. a b a b 2a2b2 .ab2 ba2 1a 1b答案： ab2 ba2 1a 1b9已知存在实数 a满足 ab2 a ab，则实数 b的取值范围是_解析： ab2 a ab， a0，当 a0 时， b21 b，即Error! 解得 b1；9当 a0 时， b21 b，即Error! 此式
18、无解综上可得实数 b的取值范围为(，1)答案：(，1)10实数 x， y满足 3 xy28， ，求 的取值范围19 yx2 14 x3y4解： ，4 9， 216,8119 yx2 14 x2y (x2y)又3 xy28. ，1xy2 18， 13 2 2,27，故 的取值范围为2,27x3y4 (x2y) 1xy2 x3y4 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018合肥质检)已知 ABC的三边长分别为 a， b， c，且满足 b c3 a，则 的ca取值范围为( )A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)解析：选 B 由已知及三角形三边关系得Error!Error! Error!
19、两式相加得，02 4， 的取值范围为(0,2)ca ca2设 a， bR，定义运算“”和“”如下： abError! a bError!若mn2 ， p q2，则( )A mn4 且 p q4 B m n4 且 pq4C mn4 且 p q4 D m n4 且 pq4解析：选 A 结合定义及 mn2 可得Error!或Error! 即 n m2 或 m n2，所以mn4；结合定义及 p q2 可得Error!或Error!即 q p2 或 p q2，所以 p q4.故选 A.3设 a1 ， a21 .211 a1(1)证明： 介于 a1， a2之间；2(2)求 a1， a2中哪一个更接近 .2解：(1)证明：( a1)( a2)( a1) 2 2 2 (2 111 a1)0. 1 2 2 a1 21 a110 介于 a1， a2之间2(2)| a2| | a1| a1|.2 | 2 111 a1| | 1 2 2 a11 a1 | 2 11 a1 2 2 a2比 a1更接近 .211
