1、1第三节 绝对值不等式1绝对值三角不等式定理 1：如果 a， b 是实数，则| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式| x| a 与| x| a 的解法：不等式 a0 a0 a0|x| a x| a x a |x| a x|x a或 x a x|x R且 x 0 R(2)|ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法：| ax b| c c ax b c；| ax b| cax b c 或 ax
2、b c.小题体验1不等式|2 x1|3 的解集为_答案： x|x1 或 x22不等式| x1| x2|1 的解集为_答案： x|x 13函数 y| x4| x4|的最小值为_解析：| x4| x4|( x4)( x4)|8，即函数 y 的最小值为 8.答案：81对形如| f(x)| a 或| f(x)| a 型的不等式求其解集时，易忽视 a 的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式| a| b| ab| a| b|中易忽视等号成立的条件如|a b| a| b|，当且仅当 ab0 时等号成立，其他类似推导小题纠偏1设 a， b 为满足 ab0 的实数，那么( )2A| a b| a b| B|
3、a b| a b|C| a b| a| b| D| a b| a| b|解析：选 B ab0，| a b| a| b| a b|.2若存在实数 x 使| x a| x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_解析：| x a| x1|( x a)( x1)| a1|，要使| x a| x1|3 有解，可使| a1|3，3 a13，2 a4.答案：2,4考 点 一 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1若关于 x 的不等式| ax2|3 的解集为 ，则实数 a_.(53， 13)解析：由| ax2|3，得1 ax5， x ， a3.53 13答案
4、：32解不等式|2 x1|2 x1|6.解：法一：当 x 时，原不等式转化为 4x6 x ；12 12 32当 x 时，原不等式转化为 26，恒成立；12 12当 x 时，原不等式转化为4 x6 x .12 32 12综上知，原不等式的解集为 .x|32 x 32法二：原不等式可化为 3，|x12| |x 12|其几何意义为数轴上到 ， 两点的距离之和不超过 3 的点的集合，数形结合知，当12 12x 或 x 时，到 ， 两点的距离之和恰好为 3，故当 x 时，满足题意，则原32 32 12 12 32 32不等式的解集为 .x|32 x 323已知函数 f(x)| x1|2 x3|.(1)画
5、出 y f(x)的图象；3(2)求不等式| f(x)|1 的解集解：(1)由题意得 f(x)Error!故 y f(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5.13故 f(x)1 的解集为 x|1 x3，f(x)1 的解集为Error!.所以| f(x)|1 的解集为Error!.谨记通法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，
6、数形结合求解考 点 二 绝 对 值 不 等 式 的 证 明 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领(2019成都外国语学校模拟)已知函数 f(x)| x1|.(1)解不等式 f(2x) f(x4)8；(2)若| a|1，| b|1， a0，求证： f .f ab|a| (ba)解：(1) f(2x) f(x4)|2 x1| x3|Error!4当 x3 时，由3 x28，解得 x ；103当3 x 时， x48 无解；12当 x 时，由 3x28，解得 x2.12所以不等式 f(2x) f(x4)8 的解集为Error!.(2)证明： f 等价于 f(ab)| a|f ，f ab
7、|a| (ba) (ba)即| ab1| a b|.因为| a|1，| b|1，所以| ab1| 2| a b|2( a2b22 ab1)( a22 ab b2)( a21)( b21)0，所以| ab1| a b|.故所证不等式成立由题悟法证明绝对值不等式主要的 3 种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式| a| b| ab| a| b|进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明即时应用已知 x， yR，且| x y| ，| x y| ，16 14求证：| x5 y|1.证明：| x5 y|3( x y)2( x y)|.由绝对值不等式的性
8、质，得| x5 y|3( x y)2( x y)|3( x y)|2( x y)|3| x y|2| x y|3 2 1.即| x5 y|1.16 14考 点 三 绝 对 值 不 等 式 的 综 合 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领已知函数 f(x)|2 x a| a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2 x1|.当 xR 时， f(x) g(x)3，求 a 的取值范围解：(1)当 a2 时， f(x)|2 x2|2.解不等式|2 x2|26 得1 x3.因此 f(x)6 的解集为 x|1 x3(2)当 xR 时， f(x)
9、g(x)|2 x a| a|12 x|3，5即 .|xa2| |12 x| 3 a2又 min ，(|xa2| |12 x|) |12 a2|所以 ，解得 a2.|12 a2| 3 a2所以 a 的取值范围是2，)由题悟法(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法(2)f(x) a 恒成立 f(x)max a.f(x) a 恒成立 f(x)min a.即时应用已知定义域为 R 的奇函数 f(x) x|x m|.(1)解不等式 f(x) x；(2)若对任意的 x1， x21,1 a，恒有| f(
10、x1) f(x2)|2 成立，求实数 a 的取值范围解：因为 f(x) x|x m|是定义域为 R 的奇函数，所以 m0，即 f(x) x|x|.(1)由 x|x| x，得Error!或Error!即 x1 或1 x0，所以不等式 f(x) x 的解集为1,01，)(2)f(x)Error!则 f(x)在 R 上单调递增，所以 f(x)在1,1 a上单调递增，所以 f(1 a) f(1)2，即(1 a)|1 a|12，又 1 a1，故可得 0 a 1，所以实数 a 的取值范围是(0， 13 3 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知 a， bR，则使不等式| a b| a| b|一定成立的条件是
11、( )A a b0 B a b0C ab0 D ab0解析：选 D 当 ab0 时，| a b| a| b|，当 ab0 时，| a b| a| b|，故选 D.2设集合 A x|4x1|9， xR， BError!，则( RA) B( )A(，3) 52， )6B(3，2 0，52)C(，3 52， )D(3，2解析：选 A 由题意得 A ， B(，3)0，)，( RA)( 2，52) B(，3) .52， )3不等式| x2| 的解集是( )3x 145A(3，2) B(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：选 D 不等式即为 5(x2)3 x14 或 5(x2)(3 x14)，解
12、得 x2 或x3，故选 D.4不等式| x1| x5|2 的解集为_解析：不等式| x1| x5|2 等价于Error!或 Error!或Error!即Error! 或Error!或Error!故原不等式的解集为 x|x1 x|1 x4 x|x 4答案： x|x45不等式| x(x2)| x(x2)的解集为_解析：不等式| x(x2)| x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案： x|0 x2 二保高考，全练题型做到高考达标1(2018台州联考)不等式(1 x)(1| x|)0 的解集是( )A x|0 x1 B x|x0 且 x1C x|1 x1 D x|x1 且 x1
13、解析：选 D 不等式等价于Error!或Error!解得 0 x1 或 x0 且 x1.故选 D.2已知 a， bR，则“| a| b|1”是“ b1”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 令 a0， b2，则| a| b|1 成立，但推不出 b1；反之，若b1，则| b|1，又| a|0，所以| a| b|1.所以“| a| b|1”是“ b1”的必要不充分条件73不等式| x5| x3|10 的解集是( )A5,7 B4,6C. (，57，) D. (，46，)解析：选 D 当 x3 时，| x5| x3|5 x x322 x10，即x4
14、， x4.当3 x5 时，| x5| x3|5 x x3810，不成立，无解当 x5 时，| x5| x3| x5 x32 x210，即 x6， x6.综上可知，不等式的解集为(，46，)4不等式 x2| x1|10 的解集为( )A x|2 x1 B x|1 x2C x|1 x2 D x|1 x1解析：选 A 当 x10 时，原不等式化为 x2 x0，解得 0 x1. x1；当 x10 时，原不等式化为 x2 x20，解得2 x1.2 x1.综上，2 x1.所以原不等式的解集为 x|2 x1，故选 A.5(2018长沙六校联考)设 f(x) x2 bx c，不等式 f(x)0 的解集是(1,
15、3)，1a若 f(7| t|) f(1 t2)，则实数 t 的取值范围为( )A(3,1) B(3,3)C(1,3) D(1,1)解析：选 B f(x)0 的解集是(1,3)， a0， f(x)的对称轴是 x1，且 ab2. f(x)在1，)上单调递增又7| t|7,1 t21，由 f(7| t|) f(1 t2)，得 7| t|1 t2.| t|2| t|60，解得3 t3. 故选 B.6已知函数 f(x)| x6| m x|(mR)，若不等式 f(x)7 对任意实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为_解析：由绝对值三角不等式得 f(x)| x6| m x| x6 m x| m6|，由题意得
16、| m6|7，则7 m67，解得13 m1，故 m 的取值范围为13,1答案：13,17设| x2| a 时，不等式| x24|1 成立，则正数 a 的取值范围为_解析：由| x2| a 得 2 a x a2，由| x24|1，得 3 x25，8所以 x 或 x .5 3 3 5因为 a0，所以由题意得Error!解得 0 a 2，5故正数 a 的取值范围为(0， 25答案：(0， 258(2018杭州五校联考)已知不等式| x24 x a| x3|5 的 x 的最大值为 3，则实数 a 的值是_解析： x3，| x3|3 x.若 x24 x a0，则原不等式化为 x23 x a20.此不等式
17、的解集不可能是集合 x|x3的子集， x24 x a0 不成立于是， x24 x a0，则原不等式化为 x25 x a20. x3，令 x25 x a2( x3)( x m) x2( m3) x3 m，比较系数，得m2， a8.答案：89已知|2 x3|1 的解集为 m， n(1)求 m n 的值；(2)若| x a| m，求证：| x| a|1.解：(1)不等式|2 x3|1 可化为12 x31，解得 1 x2，所以 m1， n2， m n3.(2)证明：若| x a|1，则| x| x a a| x a| a| a|1.即| x| a|1.10(2018杭州质检)已知函数 f(x)| x4
18、| x a|(aR)的最小值为 a.(1)求实数 a 的值；(2)解不等式 f(x)5.解：(1) f(x)| x4| x a| a4| a，从而解得 a2.(2)由(1)知， f(x)| x4| x2|Error!故当 x2 时，令2 x65，得 x2，12当 2 x4 时，显然不等式成立，当 x4 时，令 2x65，得 4 x ，112故不等式 f(x)5 的解集为Error!. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018金丽衢十二校联考)设 a， b 为实数，则“| a b2| b a2|1”是“92 2 ”的( )(a12) (b 12) 32A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条
19、件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 2 2 a2 a b2 b a2 a b2 b1 b2 a a2 b1，令(a12) (b 12) 32 14 14 32b2 a x， a2 b y，则| x| y| x y| x y，所以| x| y|1 x y1，故充分性成立，必要性不成立，故选 A.2已知函数 f(x)| x1| x a|(a1)(1)若不等式 f(x)2 的解集为Error!，求 a 的值；(2)若对任意的 xR，都有 f(x)| x1|1，求实数 a 的取值范围解：(1) f(x)| x1| x a|Error!当 x a 时，由 2x a12，解得 x ；a 32 52当 x1 时，由2 x a12，解得 x .a 12 12综上得 a2.(2)由 xR， f(x)| x1|1，可得 2|x1| x a|1.当 x a 时，只需3x2 a1 恒成立即可，此时只需 3a2 a1 a ；当 1 x a 时，只需32x2 a1 恒成立即可，此时只需 12 a1 a2；当 x1 时，只需3 x2 a1恒成立即可，此时只需32 a1 a2.综上可得， a 的取值范围为2，)10
