1、1第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系四种命题间的相互关系 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件p 成立的对象的集合为 A， q 成立的对象的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q p/ A 是 B 的真子集p 是 q 的必要不
2、充分条件 p q 且 qp/ B 是 A 的真子集p 是 q 的充要条件 pq A Bp 是 q 的既不充分也不必要条件p q 且 q p/ /A， B 互不包含集合与充要条件的关系 否命题对题设和结论都进行否定在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q， q 能否推出 p 两方面去判断：对于 qp，要能够证明，而对于 p q，只需举一反例即可/小可以推大，大不可以推小，如 x2(小范围) x1(大范围 )， x1(大范围) /x2(小范围)熟记常用结论1充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“ pq”“qp”(2)传递
3、性：若 p 是 q 的充分(必要)条件， q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“ pq 且 qr”“pr”(“pq 且 qr”“pr”)2利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得：(1)pq 等价于綈 q綈 p；2(2)q p 等价于綈 p 綈 q./ /小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)“x22 x80”是命题( )(2)一个命题非真即假( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( )答案：(1) (2) (3)二、选填题1已知命题 p：若 x a2 b2，则 x2 ab，则下列说法正确的是( )A命题 p 的
4、逆命题是“若 x a2 b2，则 x2 ab”B命题 p 的逆命题是“若 x2 ab，则 x a2 b2”C命题 p 的否命题是“若 x a2 b2，则 x2 ab”D命题 p 的否命题是“若 x a2 b2，则 x2 ab”解析：选 C 命题 p 的逆命题是“若 x2 ab，则 x a2 b2”，故 A、B 都错误；命题 p的否命题是“若 x a2 b2，则 x2 ab”，故 C 正确，D 错误2 “sin cos ”是“cos 2 0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 cos 2 cos 2 sin 2 0，所以 sin cos ，
5、所以“sin cos ”是“cos 2 0”的充分不必要条件故选 A.3原命题“设 a， b， cR，若 ab，则 ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A0 B1C2 D4解析：选 C 当 c0 时， ac2 bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a， b， cR，若 ac2bc2，则 ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题综上所述，真命题有 2 个4(2019青岛模拟)命题“若 a， b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为_答案：若 ab 不是偶数，则 a， b
6、 不都是偶数5 “x(x1)0”是“ x1”的_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充3要” “既不充分也不必要”)解析： x(x1)0 x0 或 x1，即 x(x1)0 不一定有 x1 成立；但 x1 能推出 x(x1)0 成立故“ x(x1)0”是“ x1”的必要不充分条件答案：必要不充分考点一基础自学过关 命题及其关系题组练透1命题“若 x2 y20( x， yR)，则 x y0”的逆否命题是( )A若 x y0( x， yR)，则 x2 y20B若 x y0( x， yR)，则 x2 y20C若 x0 且 y0( x， yR)，则 x2 y20D若 x0 或 y0( x， yR
7、)，则 x2 y20解析：选 D x2 y20 的否定为 x2 y20；x y0 的否定为 x0 或 y0.故“若 x2 y20( x， yR)，则 x y0”的逆否命题为“若 x0 或 y0( x， yR)，则 x2 y20” 2有以下命题：“若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若 m1，则 x22 x m0 有实数解”的逆否命题；“若 A B B，则 AB”的逆否命题其中真命题为( )A BC D解析：选 D “若 x， y 互为倒数，则 xy1”是真命题；“面积不相等的两个三角形一定不全等” ，是真命题；若 m1，则 44 m0，所以原命
8、题是真命题，故其逆否命题也是真命题；由 A B B，得 BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题故选 D.3给出命题：若函数 y f(x)是幂函数，则函数 y f(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A3 B24C1 D0解析：选 C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个名师微点1由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时
9、进行否定即得逆否命题提醒 (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提2判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假考点二师生共研过关 充分条件、必要条件的判定典例精析(1)(2018天津高考)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不
10、必要条件(2)(2018北京高考)设 a， b， c， d 是非零实数，则“ ad bc”是“ a， b， c， d 成等比数列”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(3)“a0”是“函数 f(x)sin x a 为奇函数”的( )1xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 (1)由 ，得 0 x1，则 0 x31，即“ ”“x31” ；|x12| 12 |x 12| 12由 x31，得 x1，当 x0 时， ，|x12| 125即“ x31” / “ ”|x12| 12所以“ ”是“ x31”的充分而不必要条件
11、|x12| 12(2)a， b， c， d 是非零实数，若 a0， d0， b0， c0，且 ad bc，则 a， b， c， d不成等比数列(可以假设 a2， d3， b2， c3)若 a， b， c， d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad bc.所以“ ad bc”是“ a， b， c， d 成等比数列”的必要而不充分条件(3)f(x)的定义域为 x|x0，关于原点对称，当 a0 时， f(x)sin x ， f( x)1xsin( x) sin x f(x)，故 f(x)为奇函数；1 x 1x (sin x 1x)反之，当 f(x)sin x a 为奇函数时， f( x) f(x
12、)0，又 f( x) f(x)1xsin( x) asin x a2 a，故 a0，所以“ a0”是“函数 f(x)sin x1 x 1x a 为奇函数”的充要条件，故选 C.1x答案 (1)A (2)B (3)C解题技法充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判断直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假过关训练1(2018衡阳模拟)对于函数 y f(x)， xR， “y
13、| f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y f(x)是奇函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 若 y f(x)为奇函数，则 y| f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y f(x)为偶函数时， y| f(x)|的图象也关于 y 轴对称故选 B.2(2018北京高考)设 a， b 均为单位向量，则“| a3 b|3 a b|”是“ a b”的( )6A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 由| a3 b|3 a b|，得( a3 b)2(3 a b)2，即 a29 b2
14、6 ab9 a2 b26 ab.又 a， b 均为单位向量，所以 a2 b21，所以 ab0，能推出 a b.由 a b 得| a3 b| ，|3 a b| ，10 10能推出| a3 b|3 a b|，所以“| a3 b|3 a b|”是“ a b”的充分必要条件3设 a， b 是实数，则“ ab”是“ a2b2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D ab 不能推出 a2b2，例如 a1， b2； a2b2也不能推出 ab，例如a2， b1.故“ ab”是“ a2b2”的既不充分也不必要条件考点三师生共研过关 充分条件、必要条件的探求与应用
15、典例精析(1)命题“ x1,3， x2 a0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )A a9 B a9C a10 D a10(2)已知 P x|x28 x200，非空集合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S的必要条件，则 m 的取值范围为_解析 (1)命题“ x1,3 ， x2 a0” “x1,3， x2 a”9 a.则 a10是命题“ x1,3， x2 a0” 为真命题的一个充分不必要条件(2)由 x28 x200，得2 x10， P x|2 x10 x P 是 x S 的必要条件，则 SP，Error!解得 0 m3，故 0 m3 时， x P 是 x S 的必要条件答案 (1
16、)C (2)0,3变 式 发 散 1(变条件)本例(2)中条件“若 x P 是 x S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要7不充分条件” ，其他条件不变求实数 m 的取值范围解：由例题知 P x|2 x10綈 P 是綈 S 的必要不充分条件， P 是 S 的充分不必要条件， PS 且 S P./2,101 m,1 mError!或Error! m9，则 m 的取值范围是9，)2(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件？并说明理由解：由例题知 P x|2 x10若 x P 是 x S 的充要条件，则 P S，Error!Error!这样的 m
17、不存在解题技法根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象过关训练1使 a0， b0 成立的一个必要不充分条件是( )A a b0 B a b0C ab1 D. 1ab解析：选 A 因为 a0， b0a b0，反之不成立，而由 a0， b0 不能推出a b0， ab1， 1，故选 A.ab2已知命题 p： x22 x30；命题 q：
18、 xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A1，) B(，1C1，) D(，3解析：选 A 由 x22 x30，得 x3 或 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a1.故选 A.课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练81命题“若 ab，则 a cb c”的否命题是( )A若 a b，则 a c b c B若 a c b c，则 a bC若 a cb c，则 ab D若 ab，则 a c b c解析：选 A “若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命
19、题是“若 a b，则 a c b c”，故选 A.2命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是( ) 4A若 ，则 tan 1 B若 ，则 tan 1 4 4C若 tan 1，则 D若 tan 1，则 4 4解析：选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 ，则 tan 1”的逆否命题是“若 tan 1，则 ” 4 43有下列几个命题：“若 ab，则 ”的否命题；1a1b“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2 x2”的逆否命题其中真命题的序号是( )A BC D解析：选 C 原命题的否命题为“若 a b，则 ”，假命题；原命题的逆命题
20、为1a 1b“若 x， y 互为相反数，则 x y0” ，真命题；原命题为真命题，故逆否命题为真命题所以真命题的序号是.4设 A， B 是两个集合，则“ A B A”是“ AB”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 由 A B A 可得 AB，由 AB 可得 A B A.所以“ A B A”是“ AB”的充要条件故选 C.5(2019西城区模拟)设平面向量 a， b， c 均为非零向量，则“ a(b c)0”是“b c”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 由 b c，得 b c0，得 a(
21、b c)0；反之不成立故“ a(b c)90”是“ b c”的必要不充分条件6(2019抚州七校联考) A， B， C 三个学生参加了一次考试， A， B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A， B， C 都没有及格则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A若及格分不低于 70 分，则 A， B， C 都及格B若 A， B， C 都及格，则及格分不低于 70 分C若 A， B， C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D若 A， B， C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题
22、p 的逆否命题是若A， B， C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分故选 C.7(2019湘东五校联考)“不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B0 m114C m0 D m1解析：选 C 若不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立，则 (1) 24 m0，解得 m ，14因此当不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立时，必有 m0，但当 m0 时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m0.8(2019安阳模拟)设 p： f(x)e x2 x2 mx1 在0，)上单调递增，q： m50，则 p 是 q 的( )A充分不必要
23、条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 函数 f(x)在0，)上单调递增，只需 f( x)e x4 x m0 在0，)上恒成立，又因为 f( x)e x4 x m 在0，)上单调递增，所以 f(0)1 m0，即 m1，故 p 是 q 的充分不必要条件二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知 ， 是两个不同的平面，直线 l ，则“ ”是“ l ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A ， 是两个不同的平面，直线 l ，则“ ”“l ”，反之不成立， ， 是两个不同的平面，直线 l ，则“ ”是“ l ”的充分不必
24、要条件故选 A.102(2019太原模拟)“ m2”是“函数 y|cos mx|(mR)的最小正周期为 ”的( ) 2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当函数 y|cos mx|(mR)的最小正周期为 时， m2，“ m2” 2是“函数 y|cos mx|(mR)的最小正周期为 ”的充分不必要条件 23 “单调函数不是周期函数”的逆否命题是_解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数” ，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数” ，简化为“周期函数不是单调函数” 答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练学会更学通4逻
25、辑推理若命题 A 的逆命题为 B，命题 A 的否命题为 C，则 B 是 C 的( )A逆命题 B否命题C逆否命题 D都不对解析：选 C 根据题意，设命题 A 为“若 p，则 q”，则命题 B 为“若 q，则 p”，命题C 为“若綈 p，则綈 q”，显然， B 与 C 是互为逆否命题故选 C.5逻辑推理若 a， b 都是正整数，则 a bab 成立的充要条件是( )A a b1 B a， b 至少有一个为 1C a b2 D a1 且 b1解析：选 B a bab，( a1)( b1)1. a， bN *，( a1)( b1)N，( a1)( b1)0， a1 或 b1.故选 B.6数学运算圆
26、x2 y21 与直线 y kx3 有公共点的充分不必要条件是( )A k2 或 k2 B k22 2 2C k2 D k2 或 k22解析：选 B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线 kx y30 的距离 d1 ，即 3， k219，即 k28， k2 或 k2 ，圆| 3|k2 1 k2 1 2 2x2 y21 与直线 y kx3 有公共点的充分不必要条件是 k2 ，故选 B.27数学运算方程 x22 x a10 有一正一负两实根的充要条件是( )A a0 B a1C1 a0 D a111解析：选 B 方程 x22 x a10 有一正一负两实根，Error!解得 a1.故选 B.8数学抽象能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立，则 f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_解析：设 f(x)sin x，则 f(x)在 上是增函数，在 上是减函数由正弦0， 2 2， 2函数图象的对称性知，当 x(0,2时， f(x)f(0)sin 00，故 f(x)sin x 满足条件f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立，但 f(x)在0,2上不一直都是增函数答案： f(x)sin x(答案不唯一)12
