1、1第四节函数性质的综合问题考 点 一 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性典例 (1)(2017全国卷)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1 f(x2)1 的 x的取值范围是( )A2,2 B1,1C0,4 D1,3(2)函数 y f(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A f(1)f(x2)或 f(x1)0 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0，又函数(0，12 12f(x)为奇函数，所以 f(x)在区间 上也单调递增，且 f(x) f(0)f(1)，即 f(1)0恒成立； f(x4) f(x)； y f(x
2、4)是偶函f x1 f x2x1 x2数若 a f(6)， b f(11)， c f(17)，则 a， b， c的大小关系正确的是( )A a2的解集为( )A(2，) B. (2，)(0，12)C. ( ，) D( ，)(0，22) 2 2解析：选 B 因为 f(x)是 R上的偶函数，且在(，0上是减函数，7所以 f(x)在0，)上是增函数，所以 f(log2x)2 f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或 log2x2或 00(12)的解集为_8解析：由奇函数 y f(x)在(0，)内单调递增，且 f 0，可知函数 y f(x)在(12)(，0)内单调递增，且 f
3、 0.由 f(x)0，可得 x 或 f(log32)f(log 23)B f(log32)f(0)f(log 23)C f(log 23)f(log32)f(0)D f(log 23)f(0)f(log32)解析：选 C log 23log221log 33log320，且函数 f(x)在(0，)上单调递增， f(log23)f(log32)f(0)，又函数 f(x)为偶函数， f(log23) f(log 23)， f(log 23)f(log32)f(0)2定义在实数集 R上的函数 f(x)满足 f(x) f(x2)0，且 f(4 x) f(x)现有以下三种叙述：8 是函数 f(x)的一个
4、周期； f(x)的图象关于直线 x2 对称； f(x)是偶函数其中正确的序号是_解析：由 f(x) f(x2)0，得 f(x2) f(x)，则 f(x4) f(x2) f(x)，即 4是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期，故正确；由 f(4 x) f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x2 对称，故正确；由 f(4 x) f(x)与 f(x4) f(x)，得 f(4 x) f( x)， f( x) f(x)，即函数 f(x)为偶函数，故正确答案：3设 f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线 x1 对称，对任意 x1， x2，都有 f(x1 x2) f(x1)f(x2)
5、0，1210(1)设 f(1)2，求 f ， f ；(12) (14)(2)证明： f(x)是周期函数解：(1)由 f(x1 x2) f(x1)f(x2)， x1， x2 ，知 f(x)0，12 f f 0， x0,1(x2) (x2) f(1) f f f 2， f(1)2，(12 12) (12) (12) f(12) f 2 .(12) f f f f 2， f 2 ，(12) (14 14) (14) (14) f(14) (12) f 2 .(14)(2)证明：依题设， y f(x)关于直线 x1 对称， f(x) f(2 x)又 f( x) f(x)， f( x) f(2 x)， f(x) f(2 x)， f(x)是定义在 R上的周期函数，且 2是它的一个周期11
