1、1第三讲解题的化归目标形变题变上一讲提到解题的指导思想是“化归寻旧” ，但怎样对题目进行化归，化归到什么形式？这就是本讲所要解决的两个重点问题形变化归与题变化归一、形变化归在数学问题的解答过程中，把问题的某一项信息或一组信息进行形式上的加工处理，使这项信息或这组信息与我们认知结构中(尤其是熟悉结构)的某项知识经验在形式上相近或相同，让问题由陌生变得熟悉，便于解题者思考和联想，为解题者拟订解题计划奠基铺路这种处理信息的操作规律我们称为形变化归如恒等变形、因式分解、配方、裂项、添项、换元、分类、移图、补形、数学语言化等解题方法都是形变化归在解题实践中的具体体现从根本上说，这些解题手段没有改变问题信
2、息的实质和内容，只是使信息的表述形式发生了变化例 1 在数列 an中，已知 a215， an1 2 an3 n(nN *)，求数列 an的通项公式解 当 n1 时，由已知，得 a22 a13，即 152 a13，解得 a16.由 an1 2 an3 n，两边同时除以 3n1 ，得 2 ，an 13n 1 an3n 1 13即 .an 13n 1 23 an3n 13设 bn ，则式变为 bn1 bn .an3n 23 13设 bn1 m (bn m)，23即 bn1 bn ，23 m3令 ，解得 m1.m3 13则 bn1 1 (bn1)，23所以数列 bn1是一个首项为 b11 1 11，公
3、比为 q 的等比数列，a13 63 23故 bn11 n1 ，即 bn1 n1 .(23) (23)由 bn ，得 an3 nbn3 n 3 n32 n1 (nN *)an3n 1 (23)n 1反思领悟 此题解答中从到等式两边同除以 3n1 ，从到是换元；从到是待定系数法；从到又是换元，这些恒等变形手段没有改变问题信息的实质，只是改2变了信息的表述形式，但是，这种变形化归手段使信息清晰化、简单化，将一个复杂的递推数列 an转化为一个简单的等比数列 bn1例 2 已知 x， y， zR ，且 x y z1，求证： 36.1x 4y 9z证明 (x y z)1x 4y 9z (1x 4y 9z)
4、14 (yx 4xy) (zx 9xz) (4zy 9yz)14461236.反思领悟 此题是一个条件极值问题，信息： x， y， zR ；信息： x y z1；信息：关于 x， y， z 的不等关系 36.通过添项和并项手段将1x 4y 9z式变为式，问题在表述形式上发生了变化，虽然仍是一个条件极值问题，但解题思路已豁然开朗，这就是形变化归的效果二、题变化归在数学习题的解答过程中，把数学问题的某一项信息或一组信息进行加工处理，使问题信息的形式得以更新，信息的内涵得到挖掘和拓展，使这项信息或这组信息与我们熟知的某项知识经验在内容上相近或相同，让问题由陌生变得熟悉，便于解题者思考和联想，为解题者
5、拟订解题计划奠基铺路这种加工处理信息的操作规律我们称为题变化归，如构造法、待定系数法、三角变换法、数形结合法、命题等价转化等都是题变化归从本质上说，这些解题手段不仅改变了问题信息的表述形式，而且改变了问题信息的实质，使问题以新的形式和新的内容呈现出来例 3 已知 x2 y21，则 2 的最大值为 _2 x 3y 2 x 3y解析 此题的信息有两项，信息：实数 x,y 的关系式为 x 2+y 2=1；信息：求2 的最大值 .2 x 3y 2 x 3y22 x 3y 2 x 3y 2 .(x 12)2 (y 32)2 (x 12)2 (y 32)2()令 P(x， y)， A ， B ，原问题转化
6、为：点 P 是单位圆上的动点，(12， 32) ( 12， 32)A， B 为单位圆上的定点，求| PA|2| PB|的最大值()作出示意图如图所示，易知 APB AOB60，由正弦定理将12信息进行形变化归：3 |PA|2sin(120 A)，| PB|2sin A，则|PA|sin 120 A |PB|sin A 3sin 60|PA|2| PB|2sin(120 A)4sin A5sin A cos A2 sin(A )23 7 7，()(其 中 tan 35)所以| PA|2| PB|的最大值为 2 .7答案 2 7反思领悟 此题解答过程中首先利用信息把信息形变化归为()，然后再将信息
7、和()结合，进行题变化归得到()，将“求最值的代数问题”转化为“求单位圆中的线段和的最值问题” ；将()转化为()也是题变化归，将“求单位圆中的线段和问题”转化为“一个三角函数最值问题” 此题进行一系列题变化归，使解题策略由茫然到朦胧，由朦胧到清晰，最后豁然开朗例 4 已知实系数一元二次方程 ax2 bx c0 有实数根，求使得( a b)2( b c)2( c a)2 ka2恒成立的实数 k 的最大值解 此题的信息有两项，信息：实系数一元二次方程 ax2 bx c0 有实数根; 信息:求使得( a b)2( b c)2( c a)2 ka2恒成立的实数 k 的最大值.令原方程的两个根为 x1
8、 x2，则x1 x2 ， x1x2 .()ba cak 2 2 2(1ba) (ba ca) (ca 1)(1 x1 x2)2( x1 x2 x1x2)2( x1x21) 22( x x11)( x x21)()21 22 .()(x112)2 34(x2 12)2 34 98故实数 k 的最大值为 .98反思领悟 该解法将信息化为()是形变化归，信息化为()既是形变化归，也是题变化归，将原问题转化为“两个二次函数的最值问题” ；从()到()是形变化归显然，该解法的过程，既是一系列形变化归的过程，也是题变化归的过程而且形变化归是题变化归的基础，题变化归是形变化归的目的和归宿综上所述，我们可以看出：(1)形变化归和题变化归在解题过程中并非流星一闪，而是多次反复出现在解题过程中(2)形变化归和题变化归不是孤立地表现在解题的过程中，而是常常结伴而行(3)形变化归和题变化归联系紧密，形变化归是基础，题变化归是结果，题变化归离不开形变化归4(4)形变化归是题变化归的基础，也是化归思想的基础，更是问题解决的基础
