1、1专题 17 导数及其应用 导数的应用 1（函 数的单调性、极值、最值）1、具本目标：1. 导数在研究函数中的应用：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题： 会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈
2、现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数 y=f(x)在某个区间内可导，如果 0)(xf，则函数 y=f(x)为增函数；如果 f (x)0 非必要条件 )(f为增函数，一定可以推出 0)(f，但反之不一定4. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定 )(xf的定义域；2（2）求 )(xf，令 0)(f，解方程求分界点；（3）用分界
3、点将定义域分成若干个开区间；（4）判断 )(f在每个开区间内的符号，即可确 定 )(xf的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式如 f(x)、 g(x)均在 a、 b上连续，( a， b)上可导，那么令h(x) f(x) g(x)，则 h(x)也在 a， b上连续，且在( a， b)上可导，若对任何 x( a， b)有 h (x)0 且 h(a)0，则当 x( a， b)时 h(x)h(a)=0，从而 f(x)g(x)对所有 x( a， b)成立二）函数的极、最值：1函数的极值(1)函数的极小值：函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其它点的函数值都小，
4、 f(a) 0，而且在点x a 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y f(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近的其他点的函数值都大， f(b) 0，而且在点x b 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 b 叫做函数 y f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y f(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(
5、x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值【真题分析】1.【2017鸡西模拟】函数 的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)【答案】D【变式】 （1）函数 的单调递增区间是 【解析】函数 的导函数为 ，令 0xf，则有 ，解3得 ex1，所以函数的单调递增区间为 ,1e【答案】 ,2.【优选题】已知函数 在 1,)上是减函数，则实数 a的取值范围为（ ）A 1a B 2a C 2a D 3【解析】本题考点是利用函数的单调递减性求待定参
6、数问题.，因为函数 在 1,)上是减函数，所以 0fx在 1,)上恒成立，即 在 ,)上恒成立，即 在 ,)上恒成立，又因为 ，当且仅当 1x是取等号，所以 2a，故选 C【答案】C【变式】若 在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是( )A1，) B(1，) C(，1 D(，1)【答案】C3.【2016 高考四川文科】已知 a函数 的极小值点，则 a=( )4A.-4 B. -2 C.4 D.2【解析】本题考点是函数导数与极值.，令 0fx得 2或 x，易得 fx在 2,上单调递减，在 2,上单调递增，故 fx极小值为 ，由已知得 a，故选 D.【答案】D4.【2017 课标 II，理 1
7、1】若 2x是函数 的极 值点，则 ()fx的极小值为（ ）A. 1 B. 3e C. 35e D.1【解析】本题的考点是函数的极值与单调性问题的考查. 对函数 求导可得 ，整理得： ，因为 2x是函数 的极值点，所以有 ，可得 1a，有 ，导函数为 .令 0xf，解得 ，所以 f在 单调递增，令 0xf，解得 12，所以 xf在 2， 单调递减，所以 xf的极小值为.【答案】A5.【优选题】已知等比数列 na的前 项的和为 ，则 的极大值为（ ） A2 B3 C 72 D 525所以函数为 ，求得导函数为 .令 0xf可得 f的单调递增区间为 1， 和 ，32，令 0xf可得 f的单调递减区
8、间为 321， ，所以函数在 x处取得极大值 .【答案】D6. 【优选题】若函数 在 2(,6)a上有最小值，则实数 a的取值范围是（ ）A (5,1)B 5,1)C 1D (,1)【解析】本题利用函数的求导与最值、二次函数的性质求 待定参数的问题.由题意可得： ，令 0xf，可得 ，所以函数 xf在上单调递增，在 1，上单调递减，所以函数在 1取得最小值为 21f，又因为函数 在 2(,6)a有最小值，所以有 和解得 ，所以 a的取值范围为 12，. 【答案】C5.设函数 ，则 ()fx是( )A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1
9、）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数【解析】函数 ，函数的定义域为（-1，1） ，函数 所以函数是奇函数6，在（0,1）上 0fx ，所以 ()fx在(0,1)上单调递增，故选 A.【答案】A6.若函数 在区间 1,单调递增，则 k的取值范围是（ ）A.,2 B., C.2 D.1,【答案】D7.已知函数 有两个极值点,则实数 a的取值范围是 ( ）A (,0)B 1(0)2C (0,1)D 0,)【解析】因为函数 有两个极值点，由.所以 ()0fx有两个不同的正实数根，令，所以 .令 ()0gx所以 102a（小于零不成 立）.所以可得 ，解得 12a.综上所以 ,a.故选 B
10、.【答案】B8.已知函数 ,若 0x是 f的一个极大值点,则实数 a的取值范围为 【解析】因 ,即 ,由题设条件及导函数的图象可以推知方程 的两根 21x在 0的两边,7即 021x,也即 02a,所以 2a.【答案】 9.设函数 ，其中 aR.讨论函数 fx极值点的个数，并说明理由；1当 0a时， ， 0fx在 1,恒成立，所以函数 fx在 1,上单调递增无极值； 2时， 当 809a时， 0， gx，所以 0fx，函数 fx在 1,上单调递增无极值；当 时， .设方程 的两根为 因为 ，所以， .由 可得：所以，当 1,x时， ，函数 fx单调递增；当 12,时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 fx单调递增；因此函数 fx有两个极值点3当 0a时， ，由 可得： 1x ；当 21,x时， 函数单调递增；当 时， 函数单调递减；因此函数 fx有一个极值点.8综上：当 0a时，函数 fx在 1,上有唯一极值点；当 89时，函数 在 上无极值点；当 时，函数 fx在 ,上有两个极值点
