1、1专题 46 数列 数列的通项 3（构造法）【考点讲解】1、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列 na的第 项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 f,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列 na的前 项和 nS和通项 na的关系： .2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规
2、律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用n或 1n来调整（2）根据数列的 前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列 的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型
3、：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3. 已知数列 na的前 项和 nS，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 1S求出 1；(2)用 替换 n中的 得到一个新的关系，利用 na1nS (2)便可求出当 2n时 na的表达式；2(3)对 1n时的结果进行检验，看是否符合 2n时 na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 1n与 两段
4、来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法： 叠加法（或累加法）：已知 ，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即 .（2）累乘法：已知 求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）解法：把原递推公式转化为： ，其中 pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）. （或,其中 ,pqr均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以 1n，得： ，令 nqab，得： ，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法： 解法：一般利用待定系数
5、法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列. 3.数列 na满足 a1=1， an= 2a 1+1（ n2） ，求数列 an的通项公式。34. 已知数列 na满足 a11， an2 an1 n2( n2)，求 na的通项公式。【解析】法一：由已知可得： an n2( an1 n1)( n2) .令 bn an n，则 b1 a112，且 bn2 bn1 (n2).于是 bn22 n1 2 n，即 an n2 n故 an2 n n(n 2)，因为 a11 也适合上述式子，所以 an2 n n(n1).法二：由 an2 an1 n2( n2)可得 ，整
6、理得： ，所以有 ，所以 10kb，即有 an n2( an1 n1)(n2 令 bn an n，则 b1 a112，且 bn2 bn1 (n2).于是 bn22 n1 2 n，即 an n2 n故 an2 n n(n2)，因为 a11 也适合上述式子，所以 an2 n n(n1).5.已知数列 中， 求 的通项公式. 【解析】 ， 可得 ， 所以可得 3t，3na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 32naN.6.数列 满足 a1=1， ,求数列 an的通项公式。47.已知数列 na中， 1=2， 1na=(2)na， N求 na的通项公式.【解析】构造新数列 t，使之成为 1q的等比数列整理得： .使之满足已知条件 解得 2t. na是首项为 2，公比 21q的等比数列，由此得 2na=()1(n = N.8.在数列 n中， 1， 1na=43，求数列的通项 na【解析】法一：构造新数列 ，使之成为 4q的等比数列，则 =4()na整理得： 1na= 满足 1na= 3，即 得 新数列 n的首项为 1， 4q的等比数列 4a Nn56
