1、1山东省实验中学 2019 届高三数学 4 月上旬质量检测试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解出 两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为所以本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.【详解】 (1+)=3+2=3+21+=(3+2)(1)(1+)(1)=52=5212复数的虚部为 12本
2、题正确选项： 【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.3.设等差数列 的前 n 项和为 ，若 4+5=2,7=14， 10=A. 8 B. 18 C. D. 14142【答案】D【解析】【分析】利用 和 表示出已知条件，解出 和 ，利用 求出结果.1 1 10=1+9【详解】因为 ，且4+5=2 7=14所以 ，解得61+13=271+21=14 1=4=2所以 10=1+9=4+18=14本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4.已知三个村庄 A，B，C 构成一个三角形，且 AB=5 千米，BC=12 千米，AC=13 千米为了方便市民生活，现在A
3、BC 内任取一点 M 建一大型生活超市，则 M 到 A，B，C 的距离都不小于 2 千米的概率为A. B. C. D. 25 35 115 15【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可【详解】解：在 ABC 中， AB5， BC12， AC13，则 ABC 为直角三角形，且 B 为直角。则 ABC 的面积 S ，12512=30若在三角形 ABC 内任取一点，则该点到三个定点 A， B， C 的距离不小于 2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为 180，半径为 2，则对应的面积之和为 S ，222 =2则阴影部分的面积 S
4、 ，302则对应的概率 P ，阴 影30230 115故选： C3【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为 2 的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为A. 8 B. 2+42C. D. 4 十4+42 22【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出直观图，可得到四面体 ，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体 4垂直于等腰直角三角形 所在平面，将其放在正方体中 易得该鳖臑的表
5、面积为：=12(22+22+222+22)=4+42本题正确选项： 【点睛】本题考查三视图还原直观图、椎体表面积的求解，属于基础题.6.在平行四边形 ABCD 中， ，若 E 为线段 AB 中点，则=120,|=2,|=1=A. B. 1 C. D. 212 32【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到 ，然后利=(12)(+)用数量积的运算律，求解得到结果.【详解】因为平行四边形 中， ， ， ， 为线段 中点 =120 |=2 |=1 所以 =()(+)=(12)(+)=122212=1222121212120=32本题正确选项： 【点睛】本题考查向量的线性运算
6、、数量积运算，关键在于能够将所求向量进行拆解，转化为已知向量的形式.7.在侧棱长为 的正三棱锥 中，侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，现有一小球 P 在该几何 体内，则小球 P 最大的半径为A. B. 3+36 3365C. D. 236 2+36【答案】B【解析】【分析】原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径.【详解】当小球与三个侧面 ， ， 及底面 都相切时，小球的体积最大 此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥 的内切球设其半径为= =2=13122=163+=13122+122+122+34( 2)2=3+362由题可知 =+因此163=3+
7、362= 13+3=336本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥的内切球问题，求解三棱锥的内切球半径通常采用体积桥的方式，利用几何体体积和表面积，得到 .=38.设抛物线 C： 的焦点为 F(1，0)，过点 P(1，1)的直线 l 与抛物线 C 交于2=2(0)A，B 两点，若 P 恰好为线段 AB 的中点，则 |=A. 2 B. C. 4 D. 515【答案】B6【解析】【分析】由抛物线焦点坐标求得抛物线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用是 中点列方程，求得直线的斜率.由此求得直线的方程，利用弦长公式求得弦长 . |【详解】由于焦点 ，故 ，抛物线方程为 .设 ，由于(1,
8、0)2=1,=2 2=4 (1,1),(2,2)直线的斜率存在且不为零，设： ，由 ，消去 ，得1=(1) 1=(1)2=4 ，由 为线段 的中点可知， ，所以 ，所以直线的24+44=0 1+2=4=2 =2方程为 ， ，所以 .故选 B.=21 12=2 |=1+(1)2 (1+2)2412=15【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中档题.9.记函数 在区间 上单调递减时实数 a 的取值集合为 A；不等式()=2+23 (,3恒成立时实数 的取值集合为 B，则“ ”是“ ”的+12(2) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件
9、D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用二次函数对称轴求出集合 ，利用基本不等式求解出集合 ，从而得到 ，得到结 论.【详解】 函数 在区间 上单调递减 ()=2+23 (,3，即2233 =|3不等式 恒成立等价于 +12(2) (+12)(2)又 当 时， 2 20+12=2+12+22(2) 1(2)+2=4当且仅当 时，即 时等号成立，符合条件2=12 =3所以 ，即(+12)=4 4 =|47“ ”是“ ”的必要不充分条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断、恒成立问题的求解，解题关键在于能够将恒成立问题变为最值得求解，利用基本不等式求出最值，从
10、而得到结果.10.已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向右()=2(+)(0,|0,0)标为(0，b)，若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，且 ，则双=58曲线 C 的离心率为A. B. C. D. 223 32 3【答案】B【解析】【分析】将直线 与双曲线渐近线联立，可求得 的值；利用 可得 ，将 的值代 =5 =5 入，可得 ，从而求得离心率 .32=0【详解】由题可知， ，(,0) (0,)则直线 方程为+=1又双曲线 渐近线方程为 =由 可解得 或+=1= =由 可知，=5 =5由题可知： ， ，则= =5化简得 ，所以32=0 =32【点睛】本题考查
11、双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到 的齐次方程，,通过方程求得离心率.12.已知 的最小值为(0,2),(0,2),(2+)=32,A. B. C. D. 53 55 12 23【答案】A【解析】【分析】将已知等式变为 ，展开可求得 ，利用(+)+=32(+) (+)=5两角和差公式可得 ，利用基本不等式求得 的范围，从而求得 的最=41+52 小值.【详解】因为 ，即(2+)=32 (+)+=32(+)9则 (+)+(+)=32(+)(+)有 (+)=5(+) (+)=5即+1=5那么= 41+52= 45+1425=25当 即 时等号成立5=1=55因此 ，即2=22=12
12、245 259又 ， (0,2) 0 53本题正确选项： 【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到 ；求解最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，若 ，则, =3,=2,=3A=_【答案】512【解析】【分析】利用正弦定理得到B，再由内角和定理得到结果.【详解】 ，=3,=6,=3根据正弦定理可得 ，即= 6=332解得 ，又 ，故 B 为锐角，故=22 =4 =43=512故答案为：512【点
13、睛】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知直线 与圆 相交的弦长 ，则:+1=0 :2+2=1 |=2210_2+2=【答案】87【解析】【分析】利用 得到关于 的方程，解方程得到结果.|=222=22 2+2【详解】设圆心 到直线 的距离为 :+1=0 则 =12+2 |=222=21 12+2又 |=22 21 12+2=22解得 2+2=87本题正确结果：87【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题，关键是明确截得的弦长等于 ，属于222基础题.15.某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ，现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_【答
14、案】49【解析】【分析】首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果.【详解】 每张“猪年画”的投放方法有 种 3张不同的“猪年画”投放的方法总数为4 34=81又由于每个箱子不空，其组合为 型2,1,1所以投放方法有 2433=36=3681=49本题正确结果：49【点睛】本题考查利用排列组合解决古典概型的问题，关键是在解决平均分组问题时，要11注意平均分了 组，需要除以 来去除重复. 16.已知 ，若函数 恰有两个()=0,01 ,()=| =()+()(0)不相等的零点，则实数 m 的取值范围为_【答案】 (33,0)5,+)【解析】【
15、分析】通过分类讨论，得到 的解析式；将问题转化为 与 图象有两个交()=()+() =()点的问题；分别判断出 在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到 的取值范围.() 【详解】因为 ，()= 0,01 ()=|所以()+()=()= ,03因为函数 恰有两个不相等的零点=()+()(0)所以直线 与函数 的图象共有 个不同的公共点=()= ,03 2当 ， 单调递减，所以03 () ()33,+)数形结合可知，当且仅当 时，直线 与函数 的图象有(33,0)5,+) = =()个不同的公共点，即函数 恰有两个不相等的零点2 =()+()(0)本题正确结果： (33,0)5,+)【点睛】本
16、题考查利用函数零点个数求解参数范围问题，关键在于能够将零点问题转化为两个函数的交点个数问题，然后根据函数的单调性得到函数图象，采用数形结合的方式求得需要的结果.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.设数列 的前 n 项和为 ，若 2=1()(1)求出数列 的通项公式；12(2)已知 ，数列 的前 n 项和记为 ，证明： =2(1)(+11)() 23,1)【答案】 （1） （2）见解析=2【解析】【分析】（1）利用 ，列出 后与 作差，可得 ，+1=+1 +1+12=1 2=1
17、+1=2从而得到 为等比数列，利用 求出 后，可得到通项公式；（2）写出 的通 112=1 1 项公式，采用裂项相消的方法可得 ，可知 时， 最小且 ，从而证=112+11 =1 0当 时，(1,+) ()0 ()所以当 时，=1 ()=1所以实数 的最小值为 1【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.21.已知椭圆 的短轴长为 ，且离心率为 ，:22+22=1(0) 23 12圆 :2+2=2+2(1)求椭圆 C 的方程，(2)点 P 在圆
18、 D 上，F 为椭圆右焦点，线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q，若 ，求 的取值= 范围【答案】 （1） （2）24+23=1 7+13,53【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率求解出 ，从而得到椭圆方程；（2）假设 坐标，利用, ,可得 ，代入圆中整理消元可得到关于 的等式：= 1=0+(1)1=0 0，则此方程在 上必有解；将方程左侧看做二次函14220+2(1)0+4226=0 2,217数 ，通过二次函数图像，讨论得出 的取值范围.() 【详解】 （1）由题可知 ，又 ，解得2=23=12 2=2+2 =3=2椭圆 的方程为 24+23=1（2）由（1）知圆 ，点 坐标为:2+2=
19、7:2+2=7 (1,0)设 ， ，由 可得： ，(1,1) (0,0) = (11,1)=(10,0) (0)所以 ，由 可得：1=0+(1)1=0 21+21=7 0+(1)2+(0)2=7又 ，代入，消去 ，整理成关于 的等式为：20=33420 0 0，则此方程在 上必须有解14220+2(1)0+4226=0 2,2令 ()=1422+2(1)+4226则 ， ，(2)=9266 (2)=2+26 =2(106)若 ，则 （舍去）或(2)=0 =173 =1+73若 ，则 （舍去）或(2)=0 =17 =1+7若 在 上有且仅有一实根()=0 (2,2)则由 得：(2)(2)0(2)
20、0024(1)2 2 7153综上可得： 的取值范围是 7+13,53【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、二次函数零点分布问题.解决此题的难点在于能够通过向量关系将问题转化为二次函数在特定区间内的根的个数的问题，即二次函数图象问题.讨论二次函数图象通常需讨论以下内容：开口方向、对称轴位置、判别式、区间端点值符号.22.在直角坐标系 中，曲线 C 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极24+23=1 轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 (4)=218(1)求曲线 C 的参数方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 上的动点，求PAB 面积的最
21、大值【答案】 （1） （ 为参数） ， （2）=2=3 2=0 7+2【解析】【分析】（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出，所以求解 面积最大值只需求出点 到直线距离的最大值；通过假设=22 ，利用点到直线距离公式得到 ，从而得到当(2, 3) =| 7()+2|2时， 最大，从而进一步求得所求最值.()=1 【详解】 （1）由 ，得 的参数方程为 （ 为参数）24+23=1 =2=3 由 ，得直线的直角坐标方程为(4)=22()=2 2=0（2）在 中分别令 和 可得： ，2=0 =0 =0 (2,0) (0,2)=22设曲线 上点 ，则 到距离：
22、(2, 3) =|232|2 =| 32+2|2 =| 7(3727)+2|2，其中： ，=| 7()+2|2 =37 =27当 ，()=1 =7+22所以 面积的最大值为12227+22=7+2【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.23.设不等式 的解集为 M|21|+|+2|4(1)求集合 M；(2)已知 ，求证： , |(1)【答案】 （1） （2）见解析|11【解析】19【分析】（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明，由 ， 可得 ， ，从而证得所需的结()2(1)20 11 11 21 21论.【详解】 （1）原不等式等价于 或 或1221+24 21212+24 21224解得： 或121 112所以原不等式的解集为 |11（2）由（1）知，当 时， ，, 11 11所以 ，21 21从而 ()2(1)2=2+2221=(21)(12)0可得 |1|【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.20
