1、1山东省济南市 2019 届高三数学 3 月模拟考试试卷 理（含解析）本试卷共 6 页，23 题（含选考题） ，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题
2、卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。参考公式：锥体的体积公式： （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 （其中为虚数单位） ，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算，然后得到，再确定是在复平面的象限.【详解】 =1+22+=(1+2)(2)5 =45+35，所以在复平面对应的点位于第四象限.=4535故
3、选 D 项.【点睛】复数的四则运算，与的关系，复数与复平面的关系.2.已知全集 ，集合 ，则 （ ）=|0) 0, 12,1 A. B. C. D. 23 34 43 32【答案】A【解析】【分析】要使 的值域为 ，得到 的范围要求，则 要在其范围内，然后得到 的范围，() 12,1 6 找到最小值.【详解】 0666而 值域为 ，发现() 12,1 (0)=(6)=12，2656整理得 ，231则 最小值为 ，选 A 项.238【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.11.设 ， 分别是椭圆 的左右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两1 2 :22+22=1(0)
4、2 点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）12=0 2=22 A. B. C. D. 23 34 53 74【答案】C【解析】【分析】根据 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造2=22出 关系，求出离心率.,【详解】 2=22设 ，则2= 2=2由椭圆的定义，可以得到 1=22,1=2,12=012在 中，有 ，解得1 (22)2+(3)2=(2)2 =32=23,1=43在 中，有12 (43)2+(23)2=(2)2整理得 ，22=59 =53故选 C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出 关系，得到离心率
5、.属于中档题.,12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线 ，直线为曲线 在点 处的切线.如图所示，阴影部分为曲线:=2 (1,1)、直线以及 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 轴旋转一周所得的几何体为 .给出 以下四个几何体：9 图是底面直径和高均为 的圆锥；1图是将底面直径和高均为 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；1图是底面边长和高均为 的正四棱锥；1图是将上底面直径为 ，下底面直径为 ，高为 的圆台挖掉一个底面直径为 ，高为 的2
6、1 1 2 1倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与 的体积相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.【详解】 几何体 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形， 且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为 ，切线对应的横坐标为1 210，()=2,()=2 =(1)=2切线为 ，即 ，1=2(1) =21 12=,2=+12横截面面积 =2212=(+1)24 =(12)2图中的圆锥高为
7、1，底面半径为 ，可以看成由直线 绕 轴旋转得到12 =2+1 横截面的面积为 .=2=(12)2所以几何体 和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选 A 项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 与 夹角的余弦值为 =(1, 3) |=3 () _.【答案】23【解析】【分析】由 得到 ，展开后将已知条件带入，即可得到答案.() ()=0【详解】 =(1, 3),|=1+( 3)2=2，即()， (
8、)=0 2=0设 之间的夹角为 ，则, |2|=0423=0,=23【点睛】本题考查向量位置关系，模长的基本运算和向量数量积的相关内容，难度不大，属于简单题.14. 的展开式中， 的系数为_（用数字作答）.(11)(+1)5 【答案】-5【解析】【分析】11展开式与 相乘得到 项，则展开式中 项与 相乘， 项与-1 相乘，再相加，( +1)5 (11) 2 1 得到系数.【详解】要求 的系数，则 展开式中 项与 相乘， 项与-1 相乘， ( +1)5 21 所以展开式中 项为 与 相乘得到 ，2 15( )4=52 1 5展开式中 项为 ，与-1 相乘得到 ， 35( )2=10 10所以 的
9、系数为 10+5=5【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.15.已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是()=22+9,1,+4+,1, () (1) _【答案】 2【解析】【分析】，可得 在 时，最小值为 ，1 () =2 4+时，要使得最小值为 ，则 对称轴 在 1 的右边，1 (1) () =且 ，求解出 即满足 最小值为 .(1)4+ () (1)【详解】当 ， ，当且仅当 时，等号成立.1 ()=+4+4+ =2当 时， 为二次函数，要想在 处取最小，则对称轴要满足1 ()=22+9 =1=1并且 ，即
10、，解得 .(1)4+ 12+9+4 2【点睛】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.16.已知一族双曲线 （ ，且 ） ，设直线 与 在第一象限:22=2019 2019 =2 内的交点为 ，点 在 的两条渐近线上的射影分别为 ， .记 的面积为 ， 则 _.1+2+3+2019=【答案】505212【解析】【分析】设点坐标 ，表示出 的面积，得到 的通项，然后对其求前 2019 项的和.(0,0) 【详解】设 ，(0,0)双曲线 的渐近线为 ，互相垂直 .:22=2019 +=0,=0点 在
11、两条渐近线上的射影为 ，则(0,0) , =|00|2,=|0+0|2易知 为直角三角形， =12|00|2 |0+0|2 =02024 = 20194即 为等差数列，其前 2019 项的和为=201942019=(1+2019)20192 =( 120194+201920194)20192 =5052【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 的内角 ，
12、， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， 2=+ =23.=3（1）求角 ；（2）若点 满足 ，求 的长. =2 【答案】 （1） ；（2）=6 =1【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到 的值，从而得到角 的 大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到 的值，从而得到角的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在 中把边和角都解出来，然后在 中利用余弦定理求解；解法 二：在 中把边和角都解出来，然后在 中利用余弦定理求解；解法三：将 用 13表示，平方后求出 的模长., 【详解】 （1） 【解法一】由题设及正弦定理得 ，2=
13、+又 ，+=(+)=()=所以 .2=由于 ，则 .=320 =12又因为 ，00 =12又因为 ，00 =12又因为 ，0=|= 232=63由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角 的余弦值为 . 63【点睛】本题考查立体几何中线面垂直的判定证明，面面垂直的判定证明，二面角的求法，属于中档题.19.设 是抛物线 上的一点，抛物线 在点 处的切线方程为 . :2=2(0) =117（1）求 的方程；（2）已知过点 的两条不重合直线 ， 的斜率之积为 ，且直线 ， 分别交抛物线(0,1) 1 2 1 1 2于 ， 两点和 ， 两点.是否存在常数 使得 成立？若存在，求 |+|=|出 的值；若不存
14、在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）:2=4 =14【解析】【分析】（1）通过直线 与抛物线相切， ，求出抛物线方程.=1 =0（2）将所求的 转化为 ，|+|=| =1|+1|直曲联立得到 ，利用弦长公式表示出 ，同理得到 ，带入上式整理化简1+2,12 | |可得所求 .【详解】 （1） 【解法一】由 消 得 .=12=2 22+2=0由题意得 ，因为 ，所以 .=428=0 0 =2故抛物线 :2=4【解法二】设 ，由 得 ， .(0,202) 2=2 =22 =由 解得 .0=1202=01 =2故抛物线 .:2=4（2）假设存在常数 使得 成立， |+|=|则 .=1|+1|由
15、题意知， ， 的斜率存在且均不为零，1 2设 的方程为 ，则由 ，消去 得， .1 =+1 =+12=4 244=0设 , ，则 ， .(1,1)(2,2) 1+2=4 12=4所以 .|=1+2(1+2)2412=1+2162+16=4(1+2)（也可以由 ，得到 .）1+2=(1+2)+2=42+2 |=1+2+2=4(1+2)18因为直线 ， 的斜率之积为 ，所以 .1 2 1 |=4(1+12)所以 .=1|+1|= 14(1+2)+ 14(1+12)=1+24(1+2)=14所以，存在常数 使得 成立.=14 |+|=|【点睛】本题考查直线与圆锥曲线相切的处理方式，弦长公式等，比较综
16、合，对计算量的要求较高，属于中档题.20.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立） ，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 元，二级滤芯每个 元.若客户在使用过程中单独购80 160买滤芯，则一级滤芯每个 元，二级滤芯每个 元。现需决策安装净水系统的同时购滤200 400芯的数量，为此参考了根据 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成1
17、00的图表，其中图是根据 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据 个二200 100级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数 5 6频数 60 4019以 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 个二200 1 100级过滤器更换滤芯的频率代替 个二级过滤器更换滤芯发生的概率.1（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 的概率；30（2）记 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 的分布列及数 学期望；（3）记 ， 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数
18、.若，且 ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期+=28 5,6望值为决策依据，试确定 ， 的值.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） =23， =5.0.064 【解析】【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 ，则一30级 个滤芯，二级 个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为 2 个一级滤芯和 1 个二级12 6滤芯，从而得到概率.（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到 可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.（3）因为 且 ，则可分为两类，即 和 ，分别+=285,6 =22,=6 =
19、23,=5计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.【详解】 （1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换 个滤芯，二级过滤器需要更换 个滤30 12 6芯。设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 ”为事件 .30 因为一个一级过滤器需要更换 个滤芯的概率为 ，二级过滤器需要更换 个滤芯的概率12 0.4 6为 ，0.4所以 .()=0.40.40.4=0.064（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 ， ， 的概率分别为 ， ， .101112 0.20.40.4由题意， 可能的取
20、值为 ， ， ， ， ，并且 2021222324，(=20)=0.20.2=0.04，(=21)=0.20.42=0.1620，(=22)=0.40.4+0.20.42=0.32，(=23)=0.40.42=0.32.(=24)=0.40.4=0.16所以 的分布列为 20 21 22 23 24 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16.=200.04+210.16+220.32+230.32+240.16=22.4（3） 【解法一】因为 ， ，若 ， ，+=285,6 =22=6则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；2280+2000.32+4000.16+61
21、60=2848若 ， ，=23=5则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.2380+2000.16+5160+4000.4=2832故 ， 的值分别为 ， . 235【解法二】因为 ， ，若 ， ，+=285,6 =22=6设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 （单位：元） ，则11 1760 1960 2160 0.52 0.32 0.16.1=17600.52+19600.32+21600.16=1888设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 （单位：元） ，则2， .2=6160=960(2)=1960=960所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费
22、用的期望值为21.(1)+(2)=1888+960=2848若 ， ，=23=5设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 （单位：元） ，则11 1840 2040 0.84 0.16.(1)=18400.84+20400.16=1872设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 （单位：元） ，则22 800 1200 0.6 0.4.(2)=8000.6+12000.4=960所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.(1)+(2)=1872+960=2832故 ， 的值分别为 ， . 235【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查
23、了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.21.已知函数 ，其导函数 的最大值为 .()=22+(1) () 0（1）求实数 的值；（2）若 ，证明： .(1)+(2)=1(12) 1+22【答案】 （1） ；（2）见解析=1【解析】22【分析】（1）先对 求导，然后根据导数形式对 进行分类讨论，通过导函数 最大值为 0，求() ()得 的值.（2）要证 ，则需证 ，再利用 的单调性，证 ，利用1+22 221 () (2)(1) ()【详解】 （1）由题意，函数 的定义域为 ，其导函数() (0,+) ()=(1)记 则 .()=() ()=
24、1当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，且 .0 ()=1 0 () (0,+) (1)=0所以 ，有 ，故 时不成立；(1,+) ()=()0 0当 时，若 ，则 ；若 ，则 .0 (0,1) ()=1 0 (1,+) ()=1 1 ()0 () (0,1) (1,+)所以 ，故 .()(1)=0 =1（2）当 时， ，则 .=1 ()=122 ()=1+由（1）知 恒成立，()=1+0所以 在 上单调递减，()=122 (0,+)且 ，(1)=12 (1)+(2)=1=2(1)不妨设 ，则 ，02 221 () (0,+)则只需证 ，又因为 ，(2)123令 （其中 ） ，且 .()=(
25、)+(2) (0,1) (1)=1所以欲证 ，只需证 ，(21)+(1)1 ()(1),(0,1)由 ，()=()(2)=1+(1+(2)2+)整理得： ，()=(2)+2(1),(0,1)，()=2(1)2(2)0 (0,1)所以 在区间 上单调递增，()=(2)+2(1) (0,1)所以 ， ，(0,1) ()=(2)+2(1)(1) (0,1) 1+22【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系
26、 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为 =3=1+3 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 . (+6)=23（1）求曲线 的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）射线 的极坐标方程为 ，若射线 与曲线 的交点为 ，与直线的交点为 ，求 =6 线段 的长.【答案】 （1） ；（2）2+343=0【解析】【分析】） （1）将参数方程消参得到普通方程，利用 ，把极坐标方程转化为直角坐标系=下的方程.（2）解法一：利用极坐标的相关特点进行求解.解法二：将极坐标转化为直接坐标后进行求解.【详解】 （1）由 ，可得： ，=3=1+3 =31=3 所以 ，2+(1)2=3
27、2+32=324所以曲线 的普通方程为 . 2+(1)2=3由 ，可得 ，(+6)=23 (32+12)=23所以 ，32+1223=0所以直线的直角坐标方程为 .+343=0（2） 【解法一】曲线 的方程可化为 ， 2+222=0所以曲线 的极坐标方程为 . 222=0由题意设 ， ，(1,6) (2,6)将 代入 ，可得： ，=6 222=0 2112=0所以 或 （舍去） ，1=2 1=1将 代入 ，可得： ，=6 (+6)=23 2=4所以 .|=|12|=2【解法二】因为射线 的极坐标方程为 ， =6所以射线 的直角坐标方程为 ， =33(0)由 解得 ，2+(1)2=3=33(0)
28、 (3,1)由 解得 ，+343=0=33(0) (23,2)所以 .|=(233)2+(21)2=2【点睛】本题考查了参数方程化一般方程，极坐标与直角坐标之间的转化.属于简单题23.已知函数 .()=|2|+|21|（1）求不等式 的解集；()3（2）若不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围 .() 【答案】 （1） ；（2）0,2 3 性解决恒成立问题.【详解】 （1） 【解法一】由题意 ，()=3+3,12+1,12 =始终在函数 的图象的下方，如图=()当直线 过点 以及与直线 平行时为临界点，所以 .= (2,3) =3+3 332【解法 2】不等式 的解集为空集可转化为 对任意 恒成立，（i）当 时， ，即 恒成立，若 ，显然不合题意，若 ，即 ，则 恒成立，符合题意，若 ，即 ，只需 即可，解得 ，故 ，所以 ；27（ii）当 时， ，即 恒成立，若 ，即 ， 恒成立，符合题意，若 ，即 ，则 恒成立，符合题意，若 ，即 ，只需 即可，解得 ，故 ，所以 ；（iii）当 时， ，即 恒成立，若 ，即 ，只需 即可，解得 ，故 ，若 ，即 ，则 ，不合题意，若 ，即 ，则 恒成立，不合题意，所以 ；综上所述， .332【点睛】利用分类讨论，数形结合都可以解决含绝对值的不等式，本题还涉及到划归与转化的数学思想，利用保号性解决恒成立问题，属于中档题.28
