1、1陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等 12 校2019 届高三数学下学期校际联考试卷 理（含解析）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】要求出 对应点所处的象限，先通过运算求出 ，然后即可判断所在象限。【详解】解：因为所以，对应在复平面上的点的坐标为（1,2） ，故选 A【点睛】考查复数的运算、复数对应的点知识2.已知集合 ， ，则 （
2、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题需要求解 ，先要将 中的不等式解出，然后便可得到交集. =|(2)0【详解】解： (2)0等价于： ，解得：2021 20) =A. B. C. D. 32 32 3 3【答案】B【解析】分析：由题意首先确定椭圆的焦点和长轴端点，据此求得 b 的值，最后求解实数 k 的值即可.详解：由题意得，椭圆 C 的一个焦点为 ，长轴的一个端点为（2，0） ，(1,0)所以 ，由（0，-2 k)是椭圆 C 的一个顶点，=2， =2212=3得 或 ，2=3 2=3所以 .=32本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查椭圆的几何性质，二次函数的性质等知识
3、，意在考查学生的转化能力5和计算求解能力.8.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 42 8 843 82【答案】B【解析】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：正方体的体积为 ，半圆柱的体积为 ，从而其体积为 ，故选222=812122= 8B9.执行如图
4、所示的程序框图，则输出 的值是（ ）6A. 3 B. 5 C. 7 D. 9【答案】D【解析】【分析】由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量 n 的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算 S 时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.=113+135+157+179=12(113)+(1315)+(1517)+(1719)=49【详解】解：由程序框图知：第一次循环： 初始值为 0，不满足 ，故 ， ； 49 =113=13=3第二次循环：当 ，不满足 ，故 ， ；=13 49 =113+135=12(113+1315)=25=5第三次
5、循环：当 ，不满足 ，故 ， ；=25 49 =113+135+157=37=7第四次循环：当 ，不满足 ，故 ， ；=37 49 =113+135+157+179=49=9此时， ，满足 ，退出循环，输出 ，故选 D.=49 49 =9【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.10.已知函数 的最小正周期为 ，且()=(+)+(+)(0,|0 ()+()0 =(1)， ，则 ， ，的大小关系是（ ）=1(1) =() A. B. C. D. 0,00,0) 1 2 8，点 关于双曲线 的一
6、条渐近线的对称点为点 ，若 ，则双曲线 的离心率为2 |1|=4 _【答案】2【解析】【分析】由题设 于 B,故 OB ,即 ，进而得 ，故离心率可求2 /1 21=2 21=3【详解】由题知，2c=8,又点 关于双曲线 的一条渐近线 l 的对称点为点 连接 设2 ， 1，于 B,故 OB ,即 ,则 cos 故2 /1 21=2 21=12,21=3,3=3,e= 1+()2=2故答案为 2【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线，对称性，熟记双曲线的几何性质，准确计算是关键，是中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考
7、生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.已知 为等比数列 的前 项和，公比 ，且 ，等差数列 满足 ， =2 2=3 2=3.3=5（）求数列 的通项公式；（）设 是数列 的前 项和，求 的最大值. 【答案】 （） ；（）当 或 4 时， 取得最大值，此时 .=21 =3 3=4=12【解析】【分析】（）要求等比数列 的通项公式，根据题意求出首项与公比即可（）等差数列 的前 项和 是定义在正整数上的二次函数，根据函数图像，研究正整 12数与对称轴关系即可得出最值。【详解】解：（）等比数列 满足公比 ，前 2 项和 ， =2 2=3 ，解得
8、，2=1+2=1+21=3 1=1 .=11=21（）由题及（）知， .2=3=4 ， ，3+5=0 4=0则数列 的公差 ， =422 =26.63514有 的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异.99%【点睛】本题考查平均值、茎叶图的识别、实际问题的处理能力等.19.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，且点 到焦点2=2(0) (0,3) 的距离为 4，过 作抛物线 的切线 （斜率不为 0） ，切点为 . (,0) （）求抛物线 的标准方程；（）求证：以 为直径的圆过点 . 【答案】 （） ；（）详见解析.2=4【解析】【分析】（）点 到焦点 的距离为 4，即为到准
9、线的距离为 4，点 的纵坐标为 3，便可解出参数 的值；（）要证以 为直径的圆过点 ，即证 ，根据条件求出 点。 =0 【详解】解：（1）由题知， ，|=+2 ，解得 ，4=3+2 =2抛物线 的标准方程为 . 2=4（）设切线 的方程为 ， ， =() 0联立 ，消去 可得 ，2=4=() 24+4=0由题意得 ，即 ，=16216=0 =切点 ，(2,2)又 ， .(0,1) =(,1)(,2)=0 ，故以 为直径的圆过点 .=90 【点睛】确定抛物线的方程只要确定其中的参数 ，可以构造方程或利用抛物线的定义求解；直线与抛物线位置关系问题常见的方法是联立直线与抛物线方程，消参数处理，当抛物
10、线方程可以看成函数时也可采用导数进行研究。20.如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为 的中点， ， ，111 1 =2 =1， .1=3 =3015（）证明： 平面 ；1/ 1（）求直线 与平面 所成角的正弦值.1 1【答案】 （）详见解析；（） .1510【解析】【分析】（1）连接 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，证明 DE ,即可证明 平面 （2）以1 1 1CA，CB，CC 1为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，直线 DC1与平面B1CD 所成角为 ，求出平面 B1CD 的法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可【详解】 （）连接 交 于点 ，连接 ，
11、1 1 四边形 是平行四边形，11点 是 的中点，1又点 为 的中点， 是 的中位线， .1 /1又 DE平面 B1CD，AC 1平面 B1CD， 平面 .1/ 1（）由 ， ， ，由余弦定理得 可得 ，=2 =1 =30 =3， 以点 为坐标原点， ， ， 为 轴、 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系 . 1 则 ， ， ， ，(0,0,0) 1(0, 3, 3) (12,32,0) 1(0,0, 3) ， ， ，1=(12,32, 3) 1=(0, 3, 3) =(12,32,0)设平面 的法向量为 ，则 ， ，1 =(,) 1=0 =0即 ，令 ，得 ，3+3=012+32=0 =1 =
12、(3,1,1) ，=1|1|=151016直线 与平面 所成角的正弦值为 .1 11510【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题21.已知函数 .()=2+1(02)（）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求 的值；=() (1,(1) （）求证：当 时， .0 ()0【答案】 （）0；（）详见解析.【解析】【分析】（） ，由 ，得 a 即可；（） ，令 ，()=2 (1)= ()=2 ()=()则 ，讨论 和 ， 的正负进而证明 单调性，确定()=2 012 120【详解】 （）由函数 ，可得 ，()=2+1 ()=2
13、曲线 在点 处的切线的斜率为 ，=() (1,(1) ，(1)=2= .=0（） ，()=2令 ，则 ，()=() ()=2当 时， ， 单调递增， ， 单调递增，012 ()0 () ()(0)=1 ()，满足题意；()(0)=0当 时， ，解得 ，120 () ，()=(2)=222=2(12) ， ， ，2 120 ()0 在 上单调递增，故 ，满足题意，() (0,+) ()(0)=0综上，当 时， .0 ()0【点睛】本题考查导数的几何意义及导数与函数最值，分类讨论思想，准确分类，严谨的讨论是关键，是中档题（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
14、按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 1 =2=2+2 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . 2 =22(+4)（）求圆 的普通方程和圆 的直角坐标方程；1 2（）判断圆 与圆 的位置关系.1 2【答案】 （） ； （）见解析2+(2)2=4 (1)2+(+1)2=2【解析】【分析】（）消去参数，即可得到曲线 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可1化简得到曲线 的直角坐标方程；2（）由圆心距 ，利用 可得两圆相交.=10 (1+2)22(12)2【
15、详解】 （）圆 的参数方程为 ，( 为参数)，1 =2=2+2 可得 ， =22=2 平方相加转换为直角坐标方程为： 2+(2)2=4由圆 的极坐标方程2 =22(+4)可得 2=22转换为直角坐标方程为： ，2+2=22即： (1)2+(+1)2=2（）由（）知圆 的的半径 圆心坐标为 1 1=2， (0,2)18圆 的的半径 圆心坐标为 2 2=2， (1,1)则圆心距 =(10)2+(12)2=10(1+2)2=6+4210=2(12)2所以，圆 与圆 相交1 2【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。23.已知函数 ()=|2|+1|若 成立有解，求 a 的取值范围；(1) ()解不等式 (2) () 3解得： 或 ，3 2+1；13 2综合上述，不等式的解集为： (,1)(1,+)19【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题20
