1、1第二节 导数在研究函数中的应用第 1 课时 必备知识导数与函数的单调性、极值与最值利用导数研究函数的单调性1.函数 f(x)在某个区间( a， b)内的单调性与 f( x)的关系(1)若 f( x)0，则 f(x)在这个区间上是单调递增(2)若 f( x)0 或 f( x)1 时， f( x) k 0 恒成立，即 k 在区间(1，)上恒成1x 1x立因为 x1，所以 00， a0.答案：(0，) 利用导数研究函数的极值1.函数的极大值在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极大值点，其函数值 f(x0
2、)为函数的极大值32函数的极小值在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都大于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点提醒 (1)极值点不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取得极小值，则 x2为极小值点，极小值为 f(x2)极大值与极小值之间无确定的大小关系(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数(3)f( x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要而非充分条件例如，
3、f(x) x3， f(0)0，但 x0 不是极值点小 题 练 通 1. 设函数 f(x) ln x，则( )教 材 改 编 题 2xA x 为 f(x)的极大值点12B x 为 f(x)的极小值点12C x2 为 f(x)的极大值点D x2 为 f(x)的极小值点答案：D2. 如图是 f(x)的导函数 f( x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )教 材 改 编 题 A1 B2C3 D4解析：选 A 由图象及极值点的定义知， f(x)只有一个极小值点3. 若函数 f(x) x3 ax23 x9 在 x3 时取得极值，则 a 的值为( )教 材 改 编 题 A2 B3C4 D5解析：选
4、D f( x)3 x22 ax3，由题意知 f(3)0，即 3(3) 22 a(3)30，解得 a5.4. 已知 f(x) x33 ax2 bx a2，当 x1 时有极值 0，则 a b 的值为易 错 题 _4解析： f( x)3 x26 ax b，由题意得Error!即Error!解之，得Error!或Error!当a1， b3 时， f( x)3 x26 x33( x1) 20 恒成立，所以 f(x)在 x1 处无极值，舍去所以 a2， b9.所以 a b11.答案：115设 x1， x2是函数 f(x) x32 ax2 a2x 的两个极值点，若 x10，解得 x1，令 f( x)0)，
5、f(1) 0， f(0)0， f(4) 0，所以 f(x)的最小值为 0.1e 4e4答案：06已知函数 f(x)2sin xsin 2 x，则 f(x)的最小值是_解析： f( x)2cos x2cos 2 x2cos x2(2cos 2x1)2(2cos 2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x 时， f( x)12 120， f(x)单调递增当 cos x ， f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin 2 x2sin x(1cos x)，当 sin x 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 332答案： 3326
