1、1第 2 课时 系统题型平面向量的数量积及应用平面向量数量积及其性质的应用典 例 感 悟 1(2019宝鸡金台区质检)在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC BC1，点 P是斜边上的一个三等分点，则 ( )CP CB CP CA A0 B.1C. D94 94解析：选 B 以点 C 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 x， y 轴的正方向建立平CA CB 面直角坐标系，则 C(0,0)， A(1,0)， B(0,1)，不妨设 P ，所以 (13， 23) CP CB CP 1.故选 B.CA 23 132已知向量 a，b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则|a3b|等于( )A.
2、 B.7 10C. D413解析：选 C 依题意得 ab ，|a3b| ，故选 C.12 a2 9b2 6ab 133(2019江西三校联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a，则 a 与 b 的夹角为( )A. B.23 3C. D43 23解析：选 A (ab)a，(ab)aa 2a b0，a b4，cosa ，b ab| a| b| 424 12，a ，b ，故选 A.234(2019深圳高级中学期中)已知向量 m( 1,1)， n( 2,2)，若( m n)( m n)，则 ( )A4 B.3C2 D1解析：选 B ( m n)( m n)，( m n)(m n) m2 n2( 1)
3、21( 2)240，解得 3.故选 B.方 法 技 巧 21平面向量数量积的 2 种运算方法方法 运用提示 适用题型定义法当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 ab |a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2a a|a| 2或|a| .aa(2)|ab| . ab 2 a22ab b2(3)若 a( x， y)，则|a| .x2 y23向量夹角问题的 2
4、 个注意点(1)切记向量夹角的范围是0，(2)a 与 b 夹角为锐角a b0 且 a，b 不共线，a 与 b 夹角为钝角 ab0 且 a，b不共线4两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是 a bab0|ab|ab|.平面向量数量积的应用问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强考法一 平面向量模的最值或范围问题 例 1 (1)(2019衡水中学调研)已知向量 a，b，c 满足|a|b|a b2，(ac)(b2c)0，则|bc|的最小值为( )A. B.7 32 3 12C. D32 72(2)(2019长春模拟)已知 a，b 是平面内两个互相
5、垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是( )A1 B.2C. D222解析 (1)由|a|b|a b2，知 a，b 的夹角为 ， 3可设 a(2,0)，b(1， )，c( x， y)，33(ac)(b2c)0，(2 x， y)(12 x， 2 y)0，3即 2x22 y25 x y20.3方程 2x22 y25 x y20 表示圆心为 ，半径为 的圆，|bc|3 (54， 34) 32表示圆 2x22 y25 x y20 上的点到点(1， )的距离，所 x 1 2 y 3 2 3 3以|bc|的最小值为 .(54 1)2 (34 3)2 32 7 32(2)因为
6、|a|b|1，a b0，(ac)(bc)c(ab)|c| 2|c|ab|cos |c| 20，其中 为c 与 ab 的夹角，所以|c|ab|cos cos ，2 2所以|c|的最大值是 .2答案 (1)A (2)C方法技巧求向量模的最值(范围)的 2 种方法代数法 把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法 弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考法二 数量积的最值或范围问题 例 2 (1)(2019南昌调研)如图，在直角梯形 ABCD 中，DA AB1， BC2，点 P 在阴影区域(含边界)中运动，则 的PA BD 取值范围是( )A. B.12， 1 1， 12
7、C1,1 D1,0(2)(2019宝鸡模拟)在等腰直角 ABC 中， ABC90， AB BC2， M， N(不与A， C 重合)为 AC 边上的两个动点，且满足| | ，则 的取值范围为( )MN 2 BM BN A. B.32， 2 (32， 2)C. D32， 2) 32， )解析 (1)在直角梯形 ABCD 中， DA AB1， BC2， BD .如图所示，过点 A 作 AO BD，垂足为 O，2则 ， 0，PA PO OA OA BD 4 ( ) .PA BD PO OA BD PO BD 当点 P 与点 B 重合时， 取得最大值，PA BD 即 1；PA BD PO BD 12 2
8、 2当点 P 与点 D 重合时， 取得最小值，PA BD 即 1.PA BD 12 2 2 的取值范围是1,1PA BD (2)以等腰直角三角形的直角边 BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 B(0,0)，直线 AC 的方程为x y2.设 M(a,2a)，则 0 a 1， N(a1,1a)， (a ,2a)， (a1,1a)，BM BN a (a1)(2a)(1a)2 a 22 a2，BM BN 0a1，当 a 时， 取得最小值 ，12 BM BN 32又 2，故 的取值范围为 .BM BN BM BN 32， 2)答案 (1)C (2)C方法技
9、巧数量积的最值或范围问题的 2 种求解方法临界分析法 结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围目标函数法将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围集 训 冲 关 1. 已知向量 a，b 是两个互相垂直的单位向量，且考 法 一 cac b3，|c|3 ，则对任意的正实数 t， 的最小值是( )2 |c ta1tb|A2 B.2 2C4 D4 2解析：选 D 因为向量 a，b 是两个互相垂直的单位向量，所以 ab0，又5cac b3，所以 2c 2 t2a2 b22( tca cba b)|c ta1tb| 1t2 1t t2
10、6 t 1832，当且仅当 t2 ，6 t ，即 t1 时等号成立，故1t2 6t 1t2 6t的最小值为 4 .故选 D.|c ta1tb| 22. 在 ABC 中， AB2 AC6， 2，点 P 是 ABC 所在平面内考 法 二 BA BC BA 一点，则当 2 2 2取得最小值时， _.PA PB PC AP BC 解析： 2， 2BA BC BA BA BC BA ( ) 0， ，即 BA AC.以点 A 为原点建立BA BC BA BA AC BA AC 如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(6,0)， C(0,3)，设 P(x， y)，则2 2 2 x2 y2( x6)
11、 2 y2 x2( y3)PA PB PC 23 x212 x3 y26 y453( x2) 2( y1) 210，所以当 x2， y1 时， 2PA 2 2取得最小值，此时 (2,1)(6,3)9.PB PC AP BC 答案：9平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查考法一 平面向量与几何的综合问题 例 1 (2019杭州期末)在四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是边 AD， BC 的中点，设 m， n.若 AB ， EF1， CD ，则( )AD BC AC
12、 BD 2 3A2 m n1 B.2m2 n1C m2 n1 D2 n2 m1解析 由题可得， ( )( ) 2 AC BD AB BC BA AD AB AB 6 2 ( ) m 2 (AD AB BC AD BC AB AB AD BC AB AB ) m m.又因为点 E， F 分别是边 AD， BC 的中点，AB BC CD BC AB CD 所以 ， .两式相加得EF EA AB BF EF ED DC CF 2 ，两边同时平方得 4232 ，所以 .则EF AB DC AB DC AB DC 12 ，所以 m，所以 n m，即 2n2 m1，故选 D.AB CD 12 AC BD
13、12 12答案 D方法技巧 平面向量与几何综合问题的求解方法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解考法二 平面向量与三角函数的综合问题 例 2 (2019陕西部分学校摸底)在 ABC 中，设 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos A，sin A)， n( sin A，cos A)，且| m n|2.2(1)求角 A 的大小；(2)若 b4 ，c a，求 ABC 的面积2 2解 (1) m n( c
14、os Asin A，cos Asin A)，2| m n| 2 cos A sin A 2 cos A sin A 2 .4 4sin(A 4)| m n|2，sin 0，(A 4)又 0A， A ， A 0， 4 434 4即 A . 4(2)c a， A ，2 4 ，ca sin Csin A 2sin C1，又 0C， C . 2 ABC 为等腰直角三角形， S ABC (4 )216.12 27方法技巧平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行、垂直与三角函数综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合
15、三角函数的图象与性质进行求解(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a| 2a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合 集 训 冲 关 1. 在矩形 ABCD 中， AB3， BC ， 2 ，点 F 在边 CD考 法 一 3 BE EC 上若 3，则 的值为( )AB AF AE BF A0 B.833C4 D4解析：选 C 2 | | | | .设 与 的夹角
16、为 ，BE EC BE 23 BC 233 AB AF 3 | |cos 1| |1.以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系， ADAB AF AF DF 为 x 轴， AB 为 y 轴，则 B(0，3)， F( ，1)， E .因此 ( ，2)， 3 (233， 3) BF 3 AE 23264，故选 C.BF 233 32. 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c.设平面向量考 法 二 m(cos B，sin B)， n(cos C，sin C)， m 与 n 所成的夹角为 120.(1)求 A 的值；(2)若 ABC 的面积 S ，sin C2sin B，求 a 的值833解：(1)由题知 cos 120mn|m|n|cos Bcos C sin Bsin Csin2B cos2Bcos2C sin C 2cos( B C)cos A ，则 cos A .12 128又 0A，则 A . 3(2)由正弦定理和 sin C2sin B，得 c2b.则 ABC 的面积 S bcsin Ab 2 ，则 b2 ，12 32 833 163解得 b ，c .由余弦定理 a2b 2c 22bccos A，433 833得 a2 2 16，则 a4.163 643 433 833 129
