1、1第四节 复数突破点一 复数的基本概念及几何意义基 本 知 识 1复数的定义及分类(1)复数的定义：形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b.(2)复数的分类：Error!复 数 z a bi a， b R2复数的有关概念复数相等 a bi c dia c且 b d(a， b， c， dR)共轭复数 a bi与 c di共轭 a c且 b d(a， b， c， dR)复数的模 向量 的模叫做复数 z a bi的模，记作| z|或| a bi|，即OZ |z| a bi| r (r0， a， bR)a2 b23.复数的几何意义复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平
2、面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内， x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b) 平面向量 OZ 基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)方程 x210 没有解( )(2)复数 z a bi(a， bR)中，虚部为 bi.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模( )(4)已知复数 z的共轭复数 12i，则 z的复平面内对应的点位于第三象限( )z(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小( )答案：(1) (2) (3
3、) (4) (5)二、填空题1设 mR，复数 z m21( m1)i 表示纯虚数，则 m的值为_2答案：12复数 zi(12i)的共轭复数为_答案：2i3设(1i) x1 yi，其中 x， y是实数，则 x yi在复平面内所对应的点位于第_象限答案：四全 析 考 法 考法一 复数的有关概念 例 1 (1)(2019南充一模)若复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 b等2 bi1 2i于( )A B.23 23C. D22(2)(2019唐山五校联考)已知 2i，则 (z的共轭复数)为( )z1 i zA3i B3iC3i D3i解析 (1) .因2 bi1 2i 2 bi 1 2i 1 2i
4、 1 2i 2 2b 4 b i5 2 2b5 4 b i5为该复数的实部和虚部互为相反数，因此 22 b4 b，因此 b .故选 A.23(2)由题意得 z(2i)(1i)3i，所以 3i，故选 C.z答案 (1)A (2)C方法技巧解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z a bi(a， bR)，则该复数的实部为 a，虚部为 b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数 z1 a bi与 z2 c di共轭a c， b d(a， b， c， dR) 考法二 复数的几
5、何意义 3例 2 (1)(2018北京高考)在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )11 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2019南昌一模)已知 z m21 mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是( )A(1,1) B(1,0)C(，1) D(0,1)解析 (1) ，其共轭复数为 ，对应点位于第四象11 i 1 i 1 i 1 i 12 i2 12 i2限故选 D.(2)因为 z m21 mi在复平面内对应的点是( m21， m)，且该点在第二象限，所以Error!解得 0m1，所以实数 m的取值范围是(0,1)故选 D.答案 (1)D (2)D方
6、法技巧复数几何意义问题的解题策略(1)复数 z、复平面上的点 Z及向量 相互联系，即 z a bi(a， bR) Z(a， b)OZ .OZ (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 集 训 冲 关 1. 已知复数 z 的实部与虚部的和为 2，则实数 a的值为( )考 法 一 a2 i 2 i5A0 B1C2 D3解析：选 D 易知 z ，由题意得a2 i 2 i5 a 2 i5 2 i5 2a 25 a 1 i5 2，解得 a3.故选 D.2a 25 a 152. 已知 i是虚数单位，复数 的共
7、轭复数在复平面上所对应的点位于( )考 法 二 5i2 i9A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4解析：选 D 复数 12i，其共轭复数为 12i，在5i2 i9 5i2 i 5i 2 i 2 i 2 i复平面上所对应的点为(1，2)，位于第四象限，故选 D.3. (2019广东香山中学期末)已知 0a2，复数 z的实部为 a，虚部为 1，则考 法 一 |z|的取值范围是( )A(1， ) B(1,3)3C(1， ) D(1,5)5解析：选 C 由题意可得 z ai，| z| ai| .0 a2，1 a2 1 a2 1， 1| z| ，| z|的取值范围是(1， )故选 C.5 5 5
8、突破点二 复数的运算基 本 知 识 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；减法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法： i(c di0)z1z2 a bic di a bi c di c di c di ac bdc2 d2 bc adc2 d2(2)复数加法的运算定律设 z1， z2， z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律： z1 z2 z2
9、 z1；结合律：( z1 z2) z3 z1( z2 z3)谨记常用结论1(1i) 22i， i， i.1 i1 i 1 i1 i2i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN *)，i4ni 4n1 i 4n2 i 4n3 0( nN *)3 z | z|2| |2，| z1z2| z1|z2|， ，| zn| z|n.z z |z1z2| |z1|z2|基 本 能 力 1(2018全国卷)i(23i)( )A32i B32i5C32i D32i答案：D2若复数 z ，其中 i为虚数单位，则 ( )21 i zA1i B1iC1i D1i解析：选 B z 1i， 1i.
10、 21 i 2 1 i 1 i 1 i z3化简： _.3 i2 i解析： 1i.3 i2 i 3 i 2 i 2 i 2 i 5 5i5答案：1i典 例 感 悟 1(2019合肥质检)已知 i为虚数单位，则 ( ) 2 i 3 4i2 iA5 B5iC i D i75 125 75 125解析：选 A 5，故选 A. 2 i 3 4i2 i 10 5i2 i2(2018惠州模拟)已知复数 z的共轭复数为 ，若 (1i)2i(i 为虚数单位)，则z zz( )Ai B1iC1i Di解析：选 C 由已知可得 1i，则 z1i，故选z2i1 i 2i 1 i 1 i 1 iC.方法技巧 复数代数
11、形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作一类同类项，不含 i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i的幂写成最简6除法 形式针对训练1(2018全国卷) ( )1 2i1 2iA i B i45 35 45 35C i D i35 45 35 45解析：选 D i.1 2i1 2i 1 2i 2 1 2i 1 2i 3 4i5 35 452已知 a， bR，i 是虚数单位，若(1i)(1 bi) a，则 的值为_ab解析：因为(1i)(1 bi)1 b(1 b)i a，所以Error! 解得Error! 所以 2.ab答案：27
