1、1课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示A 级 基础题基稳才能楼高1(2019内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A e1(0,0)， e2(1,2)B e1(1,2)， e2(5,7)C e1(3,5)， e2(6,10)D e1(2，3)， e2 (12， 34)解析：选 B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数 ，使得 e1 e 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e22 e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中， e14 e2，两向量共线，故其不可以作为基底故选 B.2(2019石家庄模拟)已知向量
2、 a(1，m)，b(m ,1)，则“m1”是“a b”成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 向量 a(1，m)，b(m ,1)，若 a b，则 m21，即 m1，故“m1”是“a b”的充分不必要条件，选 A.3(2019天津六校期中联考)已知向量 a(1,2)，ab(4,5)， c( x,3)，若(2ab) c，则 x( )A1 B2C3 D4解析：选 C a(1,2)，ab(4,5)，ba(ab)(1,2)(4,5)(3，3)，2ab2(1,2)(3，3)(1,1)又 c( x,3)，(2ab) c，13 x0， x3.故选 C.4(
3、2019兰州模拟)已知向量 a(1sin ，1)，b ，若 a b，(12， 1 sin )则锐角 ( )A. B. 6 4C. D. 3 512解析：选 B 因为 a b，所以(1sin )(1sin )1 0，得 sin2 ，12 12所以 sin ，故锐角 .22 425(2019福建莆田二十四中期中)在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， F 是线段 DC 上的点若 DC3 DF，设 a， b，则 ( )AC BD AF A. a b B. a b14 12 23 13C. a b D. a b12 14 13 23解析：选 B 如图所示，平行四边形 ABCD 中，
4、 AC 与 BD 交于点O， F 是线段 DC 上的点，且 DC3 DF， ( ) ( )， DF 13DC 13 OC OD 16 AC BD AD OD .则 ( ) a OA 12BD 12AC AF AD DF 16 AC BD 13BD 23AC 23b.故选 B.13B 级 保分题准做快做达标1(2019福州期末)已知 a(1,2)，b(1,1)， c2ab，则| c|( )A. B326 2C. D.10 6解析：选 B a(1,2)，b(1,1)， c2ab(3,3)，| c| 3 ，9 9 2故选 B.2(2019长沙一模)已知向量 (k ,12)， (4,5)， (k ,1
5、0)，且OA OB OC A， B， C 三点共线，则 k 的值是( )A B.23 43C. D.12 13解析：选 A (4k，7)，AB OB OA (2k，2) A， B， C 三点共线， ， 共线，AC OC OA AB AC 2(4k)7(2k)，解得 k .233(2019丹东五校协作体联考)向量 a ，b(cos ，1)，且 a b，(13， tan )则 cos 2 ( )A. B13 133C. D79 79解析：选 C a b，a ，b(cos ，1)， tan cos (13， tan ) 13 0，sin ，cos 2 12sin 2 12 2 .故选 C.13 (1
6、3) 794.(2019深圳模拟)如图，在正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 ，则 ( )AC AM BD A. B.43 53C. D2158解析：选 B 以点 A 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 x， y 轴的正方向，建立AB AD 平面直角坐标系设正方形的边长为 2，则 A(0,0)， C(2,2)， M(2,1)， B(2,0)， D(0,2)，所以 (2,2)， (2,1)， (2,2)，所以AC AM BD (2 2 ， 2 )，因为 ，所以Error!解得AM BD AC AM BD Error!所以 .故选 B.535(2019邹城期中)在 ABC 所在平面上有
7、三点 P， Q， R，满足 PA PB PC ， ， ，则 PQR 的面积与 ABC 的面AB QA QB QC BC RA RB RC CA 积之比是( )A12 B13C14 D15解析：选 B 由 ，得 ，即 PA PB PC AB PA PC PB AB PA ，PC AB BP AP 2 ，则 P 为线段 AC 的一个三等分点，同理可得 Q， R 的位置PC AP PQR 的面积为 ABC 的面积减去三个小三角形面积设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a，b， c，则 S PQR S ABCError! bsin A c sin B a12 2c3 13 12 13
8、2a3 12 134sin CError! S ABC 3S ABC S ABC， PQR 与 ABC 的面积比为 13.故选 B.2b3 29 136已知平面直角坐标系内的两个向量 a(m ,3m4)，b(1,2)，且平面内的任意向量 c 都可以唯一地表示成 c a b( ， 为实数)，则 m 的取值范围是( )A(，4) B(4，)C(，4)(4，) D(，)解析：选 C 平面内的任意向量 c 都可以唯一地表示成 c a b，由平面向量基本定理可知，向量 a，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量 a，b 是不共线向量又因为 a(m ,3m4)，b(1,2)，则 m2(3m4)10，即
9、 m4，所以 m 的取值范围为(，4)(4，)7(2019淮南一模)已知 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线 MN 与 AB， AC 分别交于点M， N，且 x ， y (x， y0)，则 3x y 的最小值是( )AM AB AN AC A. B.83 72C. D. 52 43 233解析：选 D 如图 ， ，又 AC 1yAN AB 1xAM AG 13 ， ，又 M， G， N 三点共线，AB 13AC AG 13xAM 13yAN 1. x0， y0，3 x y(3 x y) 1 .当且仅当13x 13y (13x 13y) 13 y3x xy 43 233y x 时取等号故选
10、 D.38在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)， B(0,1)， C 为坐标平面内第一象限内一点且 AOC ，| |2，若 ，则 ( ) 4 OC OC OA OB A2 B.2 2C2 D4 2解析：选 A 因为| |2， AOC ，所以 C( ， )，又OC 4 2 2 ，所以( ， ) (1,0) (0,1)( ， )，所以OC OA OB 2 2 ， 2 .2 29.如图， A， B， C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D，若 m n ，则 mn 的取值范围是( )OC OA OB 5A(0,1) B(1，)C(，1) D(1
11、,0)解析：选 D 由点 D 是圆 O 外一点，可设 ( 1)，则 BD BA OD OB (1 ) .又 C， O， D 三点共线，令 ( 1)，则BA OA OB OD OC ( 1， 1)，所以 m ，n ，则 mnOC OA 1 OB 1 (1,0) 1 110(2019福清校际联盟期中)已知向量 a(1,2)，b(3,4)，则 ab_.解析：ab(1,2)(3,4)(4,6)答案：(4,6)11.如图，在 ABC 中，已知 ，点 P 在线段 BN 上，若 43BN BA 13BC AP ，则实数 的值为_AB 316AC 解析： 可化为 ，即 ，因为43BN BA 13BC AN 1
12、3NC AN 14AC ，所以 .由 B， P， N 三点共线可得 .AP AB 316AC AP AB 34AN 14答案：1412已知点 A(2,3)， B(4,5)， C(7,10)，若 ( R)，且点 P 在AP AB AC 直线 x2 y0 上，则 的值为_解析：设 P(x， y)，则由 ，得( x2， y3)(2,2) (5,7)AP AB AC (25 ，27 )，所以 x5 4， y7 5.又点 P 在直线 x2 y0 上，故5 42(7 5)0，解得 .23答案：2313.如图， O 点在 ABC 的内部， E 是 BC 边的中点，且有 2OA 63 0，则 AEC 的面积与
13、 AOC 的面积的比为_OB OC 解析：取 AC 的中点 D，连接 OE， OD.因为 D， E 分别是 AC， BC 边的中点，所以 OA 2 ， 2 ，因为 2 3 0，所以OC OD OB OC OE OA OB OC 2 4 0，所以 O， D， E 三点共线，且 .又因为 AEC 与 AOC 都以 AC 为底，OD OE |DE|OD| 32所以 AEC 的面积与 AOC 的面积的比为 32.答案：3214.如图， AB 是圆 O 的直径， C， D 是圆 O 上的点， CBA60， ABD45， x y ，求 x y 的值CD OA BC 解：不妨设圆 O 的半径为 1，则 A(
14、1,0)， B(1,0)， D(0,1)， C ，(12， 32)所以 ，CD ( 12， 1 32) .BC ( 12， 32)又 x y ，CD OA BC 所以 (12， 1 32) x(1,0) y .(12， 32)所以Error!解之得Error!所以 x y .3 33 3 233 3315已知 A(2,4)， B(3，1)， C(3，4)设 a， b， c，且AB BC CA 3 c， 2b.CM CN (1)求 3ab3 c；(2)求满足 ambn c 的实数 m，n；(3)求 M， N 的坐标及向量 的坐标MN 解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)， c(1,8)7(1)3ab3 c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为 mbn c(6mn，3m8n)，所以Error! 解得Error!(3)设 O 为坐标原点，因为 3 c，CM OM OC 所以 3 c (3,24)(3，4)(0,20)OM OC 所以 M(0,20)又因为 2b，CN ON OC 所以 2b (12,6)(3，4)(9,2)，ON OC 所以 N(9,2)所以 (9，18)MN 8
