1、1课时跟踪检测（五十一） 抛物线A级 基础题基稳才能楼高1(2019石家庄模拟)抛物线 y2 x2的准线方程是( )A x B x12 12C y D y18 18解析：选 D 抛物线 y2 x2的标准方程为 x2 y，其准线方程为 y .12 182已知抛物线 C与双曲线 x2 y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C的方程是( )A y22 x B y22 x2C y24 x D y24 x2解析：选 D 由题意知双曲线的焦点为( ，0)，( ，0)设抛物线 C的方程为2 2y22 px(p0)，则 ，所以 p2 ，所以抛物线 C的方程为 y24 x.故选 D.p2 2 2 23(
2、2019齐齐哈尔一模)若抛物线 x24 y上的点 P(m， n)到其焦点的距离为 5，则n( )A B194 92C3 D4解析： 选 D 抛物线 x24 y的准线方程为 y1，根据抛物线的定义可知，5 n1，得 n4，故选 D.4(2019衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点已知抛物线 y24 x的焦点为 F，一平行于 x轴的光线从点 M(3,1)射入，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点 B射出，则直线 AB的斜率为( )A.
3、B43 43C D43 169解析：选 B 将 y1 代入 y24 x可得 x ，即 A .由题可知，直线 AB经过焦点14 (14， 1)F(1,0)，所以直线 AB的斜率 k ，故选 B.1 014 1 4325(2019珠海模拟)已知抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l，点 P为抛物线上一点，且在第一象限， PA l，垂足为 A，| PF|4，则直线 AF的倾斜角等于( )A. B.712 23C. D.34 56解析：选 B 由抛物线 y24 x知焦点 F的坐标为(1,0)，准线 l的方程为 x1，由抛物线定义可知| PA| PF|4，所以点 P的坐标为(3,2 )，因此点 A的
4、坐标为(1，2 )，3 3所以 kAF ，所以直线 AF的倾斜角等于 ，故选 B.23 0 1 1 3 236(2019江苏高邮模拟)抛物线 y2 x的焦点坐标是_14解析：由于抛物线 y22 px的焦点坐标为 ，因此抛物线 y2 x的焦点坐标为(p2， 0) 14.(116， 0)答案： (116， 0)B级 保分题准做快做达标1(2019武汉调研)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F，且斜率为 的直线交 C于3点 M(M在 x轴上方)， l为 C的准线，点 N在 l上且 MN l，若| NF|4，则 M到直线 NF的距离为( )A. B25 3C3 D23 2解析：选 B 直线
5、MF的斜率为 ， MN l， NMF60，又| MF| MN|，且3|NF|4， NMF是边长为 4的等边三角形， M到直线 NF的距离为 2 .故选 B.32(2019长沙质检)设经过抛物线 C的焦点的直线 l与抛物线 C交于 A， B两点，那么抛物线 C的准线与以 AB为直径的圆的位置关系为( )A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心解析：选 B 设圆心为 M，过点 A， B， M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1， B1， M1，则| MM1| (|AA1| BB1|)由抛物线定义可知12|BF| BB1|，| AF| AA1|，| AB| BB1| AA1|，| MM1|
6、 |AB|，即圆心 M到准线 l的12距离等于圆的半径，故以 AB为直径的圆与抛物线 C的准线相切33(2019河南中原名校质检)已知抛物线 y24 x的焦点为 F，准线与 x轴的交点为M， N为抛物线上的一点，且满足| NF| |MN|，则点 F到 MN的距离为( )32A. B112C. D23解析：选 B 由题可知| MF|2，设点 N到准线的距离为 d，由抛物线的定义可得d| NF|，因为| NF| |MN|，所以 cos NMF ，所以 sin NMF32 d|MN| |NF|MN| 32 ，所以点 F到 MN的距离为| MF|sin NMF2 1，故选 B.1 (32)2 12 1
7、24(2019辽宁五校协作体模考)抛物线 x24 y的焦点为 F，过点 F作斜率为 的直33线 l与抛物线在 y轴右侧的部分相交于点 A，过点 A作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则AHF的面积是( )A4 B3 3C4 D83解析：选 C 由抛物线的定义可得| AF| AH|，直线 AF的斜率为 ，直线 AF的33倾斜角为 30， AH垂直于准线， FAH 60，故 AHF为等边三角形设A ， m 0，由| AF| AH|，得 1 ，解得 m2 ，故等边 AHF的边(m，m24) m24 12 (m24 1) 3长| AH|4， AHF的面积是 44sin 604 .故选 C.12 35(20
8、19邯郸质检)已知抛物线 y22 px(p0)过点 A ，其准线与 x轴交于点(12， 2)B，直线 AB与抛物线的另一个交点为 M，若 ，则实数 为( )MB AB A B13 12C2 D3解析：选 C 把点 A 代入抛物线的方程得 22 p ，解得 p2，所以抛物线的(12， 2) 12方程为 y24 x，则 B(1,0)，设 M ，则 ， (y2M4， yM) AB ( 32， 2) MB 4，由 ，得Error!解得 2 或 1(舍去)，故选 C.( 1y2M4， yM) MB AB 6(2019辽宁葫芦岛期中)已知直线 l： x y a0 与抛物线 x24 y交于 P，Q 两3点，
9、过 P，Q 分别作 l的垂线与 y轴交于 M， N两点，若| MN| ，则 a( )1633A1 B1C2 D2解析：选 D 直线 l的方程为 x y a0，直线 l的倾斜角为 60，直线 l3与抛物线 x24 y交于 P，Q 两点，过 P，Q 分别作 l的垂线与 y轴交于 M， N两点，且|MN| ，| PQ| sin 608.设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，联立方程，得Error!1633 1633得 x24 x4 a0，由 0得 a3， x1 x24 ， x1x24 a，| PQ| 3 3 1 38，即 4816 a16， a2，故选 D. x1 x2 2 4x1x27(2
10、019华大新高考质检)已知抛物线 C： y24 x，点 D(2,0)， E(4,0)， M是抛物线C上异于原点 O的动点，连接 ME并延长交抛物线 C于点 N，连接 MD， ND并分别延长交抛物线 C 于点 P，Q，连接 PQ，若直线 MN， PQ的斜率存在且分别为 k1， k2，则 ( )k2k1A4 B3C2 D1解析：选 C 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x3， y3)，Q( x4， y4)，则直线 MD的方程为x y2，代入抛物线 C： y24 x，整理得 y2 y80，所以x1 2y1 4 x1 2y1y1y38，即 y3 ，从而 x3 ，故 P ，同理可得 Q
11、 ，因为8y1 16y21 (16y21， 8y1) (16y2， 8y2)M， E， N三点共线，所以 ，得 y1y216，所以y1x1 4 y2x2 4k2 ， k1 ，所以 2.故选 C. 8y2 8y116y2 16y21 8y1 y2 y2 y1x2 x1 y2 y1y24 y214 4y1 y2 k2k18(2019辽宁五校联考)抛物线 C： y24 x的焦点为 F， N为准线 l上一点， M为 y轴上一点， MNF为直角，若线段 MF的中点 E在抛物线 C上，则 MNF的面积为( )A B22 2C D3322 25解析：选 C 如图所示，不妨设点 N在第二象限，连接 EN，易知
12、F(1,0)，因为 MNF为直角，点 E为线段 MF的中点，所以|EM| EF| EN|，又 E在抛物线 C上，所以 EN l， E ，所(12， 2)以 N(1， )， M(0，2 )，所以| NF| ，| NM| ，所以 MNF2 2 6 3的面积为 ，故选 C.3229(2019河南百校联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M在抛物线 C上，且| MO| MF| (O为坐标原点)，则 ( )32 OM MF A B74 74C D94 94解析：选 A 不妨设 M(m， )(m0)，易知抛物线 C的焦点 F的坐标为 ，因2pm (p2， 0)为| MO| MF|
13、，所以Error!解得 m ， p2，所以 ， ，32 12 OM (12， 2) MF (12， 2)所以 2 .故选 A.OM MF 14 7410(2019石家庄毕业班摸底)若抛物线 y24 x上有一条长度为 10的动弦 AB，则 AB的中点到 y轴的最短距离为_解析：设抛物线的焦点为 F，准线为 l： x1，弦 AB的中点为 M，则点 M到准线 l的距离 d ，所以点 M到准线 l的距离的最小值为 5，所以点 M到 y轴的|AF| |BF|2 |AB|2最短距离为 514.答案：411(2018北京高考)已知直线 l过点(1,0)且垂直于 x轴，若 l被抛物线 y24 ax截得的线段长
14、为 4，则抛物线的焦点坐标为_解析：由题知直线 l的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为(1，2 )(a0)又a直线被抛物线截得的线段长为 4，所以 4 4，即 a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)a答案：(1,0)12(2019广州海珠区一模)已知抛物线 y22 px(p0)的焦点 F与双曲线 y21x23的右焦点重合，若 A为抛物线在第一象限上的一点，且| AF|3，则直线 AF的斜率为_6解析：双曲线 y21 的右焦点为(2,0)，抛物线方程为x23y28 x，| AF|3， xA23，得 xA1，代入抛物线方程可得 yA2 .点 A在第2一象限， A(1，2 )，直线 AF的斜率为
15、2 .2221 2 2答案：2 213(2019唐山五校摸底)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F作直线交抛物线于 A， B两点，若| AF|2| BF|6，则 p_.解析：法一：设直线 AB的倾斜角为 ，分别过 A， B作准线 l的垂线 AA， BB，垂足分别为 A， B，则| AA|6，| BB|3，过点 B作 AA的垂线 BC，垂足为 C，则|AC|3，| BC|6 ， BAC ，所以 sin ，所以| AB| 9，解得2629 223 2psin2p4.法二：设直线 AB的倾斜角为 ，不妨设 A在 x轴上方， B在 x轴下方，则| AF|，| BF| ，则有 2 ，解得 cos ，
16、又p1 cos p1 cos p1 cos p1 cos 13|AF| 6，所以 p4.p1 cos 法三：由结论 ，得 ，解得 p4.1|AF| 1|BF| 2p 16 13 2p答案：414(2019武汉调研)已知抛物线 C： x22 py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A， B两点，抛物线 C在 A， B处的切线的交点为 N.(1)若 N在以 AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若 ABN的面积的最小值为 4，求抛物线 C的方程解：由题意知，直线 AB的斜率一定存在，设直线 AB： y kx1， A(x1， y1)，B(x2， y2)，将直线 AB的方程代
17、入抛物线 C的方程得 x22 pkx2 p0，则x1 x22 pk， x1x22 p.(1)由 x22 py得 y ，则 A， B处的切线斜率的乘积为 ，xp x1x2p2 2p点 N在以 AB为直径的圆上， AN BN， 1， p2.2p(2)易得直线 AN： y y1 (x x1)，直线 BN： y y2 (x x2)，x1p x2p7联立，得Error!结合式，解得Error!即 N(pk，1)|AB| |x2 x1| ，1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k24p2k2 8p点 N到直线 AB的距离 d ，|kxN 1 yN|1 k2 |pk2 2|1 k2则 S AB
18、N |AB|d 2 ，当 k0 时，取等号，12 p pk2 2 3 2p ABN的面积的最小值为 4，2 4， p2，故抛物线 C的方程为 x24 y.2p15(2019贵阳摸底)过抛物线 C： y24 x的焦点 F且斜率为 k的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，且| AB|8.(1)求直线 l的方程；(2)若 A关于 x轴的对称点为 D，抛物线的准线与 x轴的交点为 E，求证： B， D， E三点共线解：(1) F的坐标为(1,0)，则 l的方程为 y k(x1)，代入抛物线方程 y24 x得k2x2(2 k24) x k20，由题意知 k0，且(2 k24) 24 k2k216( k
19、21)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2由抛物线的定义知| AB| x1 x228， 6， k21，即 k1，2k2 4k2直线 l的方程为 y( x1)(2)证明：由抛物线的对称性知， D点的坐标为( x1， y1)，又 E(1,0)， kEB kED ，y2x2 1 y1x1 1 y2 x1 1 y1 x2 1 x1 1 x2 1y2(x11) y1(x21) y2 y1(y214 1) (y24 1) (y1 y2)( y1 y2)( y1 y2) .y1y24 (y1y24 1)由(1)知 x1x21，( y1y2)216 x1x216，又 y1与 y2异号， y1y24，即 10， kEB kED，y1y24又 ED与 EB有公共点 E， B， D， E三点共线8
