1、1【课时训练】坐 标 系解答题1(2018 武汉调研)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P ，圆心为直线 sin (2， 4) 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程( 3) 32【解】在 sin 中，令 0，得 1，所以圆 C 的圆心坐标为( 3) 32(1,0)因为圆 C 经过点 P ，(2， 4)所以圆 C 的半径 PC 1，于是圆 C 过极点，所 2 2 12 212cos 4以圆 C 的极坐标方程为 2 cos .2(2018 兰州检测)设 M， N 分别是曲线 2sin 0 和 sin 上的( 4) 22动点，求 M， N 的最小距离【解】因为 M， N 分别是曲线 2sin 0 和
2、 sin 上的动点，即( 4) 22M， N 分别是圆 x2 y22 y0 和直线 x y10 上的动点，要求 M， N 两点间的最小距离，即在直线 x y10 上找一点到圆 x2 y22 y0 的距离最小，即圆心(0，1)到直线x y10 的距离减去半径，故最小值为 1 1.|0 1 1|2 23(2018 安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线 ( cos sin )2 与圆3 4sin 的交点的极坐标【解】 ( cos sin )2 化为直角坐标方程为 x y2，即 y x2.3 3 3 4sin 可化为 x2 y24 y，把 y x2 代入 x2 y24 y，3得 4x28 x120，即
3、x22 x30，3 3所以 x ， y1.3所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为 .3 (2， 6)4(2018 山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 ，点 R31 2sin2 .(2 2， 4)(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点 R 的极坐标化为直角坐标；(2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标2【解】(1)曲线 C： 2 ，即 22 2sin2 3，31 2sin2 从而 2sin2 1. 2
4、cos2 3 x c os ， y sin ，曲线 C 的直角坐标方程为 y21，x23点 R 的直角坐标为 R(2,2)(2)设 P( cos ，sin )，3根据题意可得| PQ|2 cos ，| QR|2sin ，3| PQ| QR|42sin ，( 3)当 时，| PQ| QR|取最小值 2， 6矩形 PQRS 周长的最小值为 4，此时点 P 的直角坐标为 .(32， 12)5(2018 南京模拟)已知直线 l： sin 4 和圆 C： 2 kcos ( 4)(k0) 若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心( 4)C 的直角坐标【解】圆 C 的极
5、坐标方程可化为 kcos ksin ，2 2即 2 kc os k sin ，2 2所以圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 kx ky0，2 2即 2 2 k2，(x22k) (y 22k)所以圆心 C 的直角坐标为 .(22k， 22k)直线 l 的极坐标方程可化为 sin c os 4，22 22所以直线 l 的直角坐标方程为 x y4 0，2所以 | k|2.| 22k 22k 42|2即| k4|2| k|，两边平方，得| k|2 k3，所以Error!或Error!解得 k1，故圆心 C 的直角坐标为 .(22， 22)6(2018 河南开封模拟)已知圆 C： x2 y24，直线
6、l： x y2.以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系3(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足|OQ|OP| OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程【解】(1)将 x c os ， y sin 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C： 2， l： (cos sin )2.(2)设 P， Q， R 的极坐标分别为( 1， )，( ， )，( 2， )，则由|OQ|OP| OR|2，得 1 .2又 22， 1 ，所以 4，2cos sin 2cos sin 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2( cos sin )( 0)
