1、12019 年广东省中山市中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1|2|（ ）A0 B2 C2 D12下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D3十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为（ ）A810 12 B810 13 C810 14 D0.810 134已知 y0 是关于 y 的一元二次方程（ m1） y2+my+4m240 的一个根，那么 m 的值是（ ）A0 B1 C1 D15由五个相
2、同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A BC D6将一副三角板（ A30）按如图所示方式摆放，使得 AB EF，则1 等于（ ）2A75 B90 C105 D1157如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）A10.5，16 B8.5，16 C8.5，8 D9，88如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（ a， b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）A（ a，2 b） B（2 a， b） C（2 a，2 b） D（ b，2 a）9小芳在本学期的体育测试中，1
3、 分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前 20秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20 秒至 50 秒保持跳绳速度不变，后 10 秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳 1 分钟内跳绳速度 y（个/秒）与时间 t（秒）关系的函数图象大致为（ ）A B3C D10如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为 EBD，那么，有下列说法： EBD 是等腰三角形， EB ED；折叠后 ABE 和 CBD 一定相等；折叠后得到的图形是轴对称图形； EBA 和 EDC 一定是全等三角形其中正确的是（ ）A B C D二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11分
4、解因式： m3 m 12将直线 y2 x+4 沿 y 轴向下平移 3 个单位，则得到的新直线所对应的函数表达式为 13已知 x 3，则 x2+ 14如图，将半径为 4，圆心角为 90的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转 60，点 B、 C 的对应点分别为点 D、 E 且点 D 刚好在 上，则阴影部分的面积为 15如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、 OC 分别落在 x 轴、 y 轴上，连接 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A的位置，若OB ，tan BOC ，则点 A的坐标为 416如图，抛物线 y2 x2+2 与 x 轴交于点 A、 B，其顶
5、点为 E把这条抛物线在 x 轴及其上方的部分记为 C1，将 C1向右平移得到 C2， C2与 x 轴交于点 B、 D， C2的顶点为 F，连结EF则图中阴影部分图形的面积为 三解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）17计算：| |+21 cos60（1 ） 018先化简代数式 1 ，并从1，0，1，3 中选取一个合适的代入求值19作图题：如图，已知点 A，点 B，直线 l 及 l 上一点 M（1）连接 MA，并在直线 l 上作出一点 N，使得点 N 在点 M 的左边，且满足 MN MA；（2）请在直线 l 上确定一点 O，使点 O 到点 A 与点 O 到点 B 的距离之和最短，
6、并写出画图的依据四解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）20如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48，测得底部 C 处的俯角为 58，求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC（结果取整数）参考数据：tan48 l ll，tan581.60521中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图请根据以上信息，解决下列问
7、题 （1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部； （2）扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角为 度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率22如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 AB、 CD 上，且 ED DB， FB BD（1）求证： AED CFB；（2）若 A30， DEB45，求证： DA DF五解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）623如图，在平面直角坐标系中 A 点的坐标为（8， m）， AB x 轴于点 B，sin OAB ，反比例函数 y 的
8、图象的一支经过 AO 的中点 C，且与 AB 交于点 D（1）求反比例函数解析式；（2）求四边形 OCDB 的面积24如图，矩形 ABCD 中， AB4， BC6， E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作PF AE 于 F，设 PA x（1）求证： PFA ABE；（2）当点 P 在线段 AD 上运动时，设 PA x，是否存在实数 x，使得以点 P， F， E 为顶点的三角形也与 ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以 D 为圆心， DP 为半径的 D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x满足的条件： 25已知，抛物线 y
9、 ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且a b（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围782019 年广东省中山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据绝对值的定
10、义进行填空即可【解答】解：|2|2，故选： C【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键2【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式
11、，其中 1| a|10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：80 万亿用科学记数法表示为 81013故选： B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4【分析】把解代入所给的方程，求出 m 的值【解答】解：把 y0 代入（ m1） y2+my+4m240 得：4m240，即 m210解得： m11， m21当 m1 时，关于 y 的
12、方程由于二次项系数为 0 不再是一元二次方程，所以 m1故选： C9【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大本题易错，容易出现求出 m 就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件5【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选： D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图6【分析】依据 AB EF，即可得 BDE E45，再根据 A30，可得 B60，利用三角形外角性质，即可得到1 BDE+ B105【解答】解： AB EF， BDE E45，又 A30， B60，1 BD
13、E+ B45+60105，故选： C【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等7【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8；故选： D【点评】考查了中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数8【分析】先找一对应点是如何变化，那么所求点
14、也符合这个变化规律【解答】解：小鱼最大鱼翅的顶端坐标为（5，3），大鱼对应点坐标为（10，6）；小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（ a， b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（2 a，2 b）故选： C【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应10点的变化规律9【分析】根据前 20 秒匀加速进行，20 秒至 40 秒保持跳绳速度不变，后 10 秒继续匀加速进行，得出速度 y 随时间 x 的增加的变化情况，即可求出答案【解答】解：随着时间的变化，前 20 秒匀加速进行，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而增加，再根据 20 秒至 50
15、秒保持跳绳速度不变，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而不变，再根据后 10 秒继续匀加速进行，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而增加，故选： D【点评】此题考查了函数的图象；正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决10【分析】根据矩形的性质得到 BAE DCE， AB CD，再由对顶角相等可得 AEB CED，推出 AEB CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得正确；无法判断 ABE 和 CBD 是否相等【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， BAE DCE， AB CD，在 AEB 和
16、 CED 中， AEB CED（ AAS）， BE DE， EBD 为等腰三角形，折叠后得到的图形是轴对称图形，无法判断 ABE 和 CBD 是否相等故其中正确的是故选： B【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）1111【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解： m3 m， m（ m21）， m（ m+1）（ m1）【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式12【分析】根
17、据函数的平移规律，可得答案【解答】解：将直线 y2 x+4 向下平移 3 个单位，得y2 x+43，化简，得y2 x+1，故答案为： y2 x+1【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题关键13【分析】将原式两边平方即可得【解答】解： x 3， x2+ 29， x2+ 11，故答案为：11【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的运算法则14【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出 S阴影 S 扇形 ADE S 弓形 AD S 扇形 ABC S 弓形 AD，进而得出答案【解答】解：连
18、接 BD，过点 B 作 BN AD 于点 N，将半径为 4，圆心角为 90的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转 60， BAD60， AB AD， ABD 是等边三角形，12 ABD60，则 ABN30，故 AN2， BN2 ，S 阴影 S 扇形 ADE S 弓形 AD S 扇形 ABC S 弓形 AD （ 4 ） 故答案为： 【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质，正确得出 ABD 是等边三角形是解题关键15【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出 AB、 BC 的长度；借助面积公式求出A D、 OD 的长度，即可解决问题【解答】解：如图，过点 A作 A D x 轴与点
19、 D；设 A D， OD；四边形 ABCO 为矩形， OAB OCB90；四边形 ABA D 为梯形；设 AB OC， BC AO； OB ，tan BOC ， ，解得：2，1；由题意得： A O AO1； ABO A BO；由勾股定理得： 2+ 21，13由面积公式得： ；联立并解得： ， 故答案为（ ， ）【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求16【分析】由 S 阴影部分图形 S 四边形 BDFE BDOE，即可求解【解答】解：令 y0，则： x1，令 x0，则 y2
20、，则： OB1， BD2， OB2，S 阴影部分图形 S 四边形 BDFE BDOE224故：答案为 4【点评】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定 S 阴影部分图形 S 四边形 BDFE是本题的关键三解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）17【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式2 + 11 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x 的值，代入计算即可【解答】解：原式1 114 ，由题意得， x1，0，1，
21、当 x3 时，原式【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键19【分析】（1）连接 AM，以 M 为圆心， MA 为半径画弧交直线 l 于 N，点 N 即为所求；（2）连接 AB 交直线 l 于点 O，点 O 即为所求；【解答】解：（1）作图如图 1 所示：（2）作图如图 2 所示：作图依据是：两点之间线段最短【点评】本题考查作图复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型四解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）20【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可
22、求出答案【解答】解：如图作 AE CD 交 CD 的延长线于 E则四边形 ABCE 是矩形， AE BC78， AB CE，在 Rt ACE 中， EC AEtan58125（ m）在 Rt AED 中， DE AEtan48， CD EC DE AEtan58 AEtan48781.6781.1138（ m），答：甲、乙建筑物的高度 AB 为 125m， DC 为 38m15【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题21【分析】（1）先根据调查的总人数，求得 1 部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；（2）根据扇形圆心角的
23、度数部分占总体的百分比360，即可得到“4 部”所在扇形的圆心角；（3）根据 1 部对应的人数为 402108614，即可将条形统计图补充完整；（4）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率【解答】解：（1）调查的总人数为：1025%40，1 部对应的人数为 402108614，本次调查所得数据的众数是 1 部，2+14+102621，2+1420，中位数为 2 部，故答案为：1、2；（2）扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角为： 36054；故答案为：54；（3）条形统计图如图所示，16（4）将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作 A， B， C， D，画树状图可得：共有 16
24、 种等可能的结果，其中选中同一名著的有 4 种，故 P（两人选中同一名著） 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识注意平均条数总条数总人数；如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） 22【分析】（1）由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用 ASA 即可得证；（2）过 D 作 DH 垂直于 AB，在直角三角形 ADH 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD2
25、 DH，在直角三角形 DEB 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 EB2 DH，易得四边形 EBFD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到 EB DF，等量代换即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AD CB， A C， AD CB， AB CD， ADB CBD， ED DB， FB BD，17 EDB FBD90， ADE CBF，在 AED 和 CFB 中， AED CFB（ ASA）；（2）作 DH AB，垂足为 H，在 Rt ADH 中， A30， AD2 DH，在 Rt DEB 中， DEB45， EB2 DH， ED DB， FB BD DE B
26、F， AB CD，四边形 EBFD 为平行四边形， FD EB， DA DF【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键五解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）23【分析】（1）根据 A 横坐标确定出 OB 的长，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出AB 的长，确定出 C 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可；（2）四边形 OCDB 的面积等于三角形 AOB 面积减去三角形 ACD 面积，求出即可【解答】解：（1） A 点的坐标为（8， y）， AB x 轴， OB8，Rt O
27、BA 中，sin OAB ，18 OA8 10， AB 6， C 是 OA 的中点，且在第一象限， C（4，3），反比例函数的解析式为 y ；（2）连接 BC， D 在双曲线 y 上，且 D 点横坐标为 8， D （8， ），即 BD ，又 C（4，3）， S 四边形 OCDB S BOC+S BDC 83+ 415【点评】此题考查了待定系数法求反比例解析式，以及反比例的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键24【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当 PEF EAB时，则得到四边形
28、 ABEP 为矩形，从而求得 x 的值；当 PEF AEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰 APE再根据等腰三角形的三线合一得到 F 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解（3）首先计算圆 D 与线段相切时， x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定 x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定 x 的取值范围【解答】（1）证明：矩形 ABCD， ABE90， AD BC， PAF AEB，又 PF AE， PFA90 ABE， PFA ABE （2）解：分二种情况：若 EFP ABE，如图 1，则 PEF EAB， PE AB，19四边形 ABEP 为
29、矩形， PA EB3，即 x3 若 PFE ABE，则 PEF AEB， AD BC PAF AEB， PEF PAF PE PA PF AE，点 F 为 AE 的中点，Rt ABE 中， AB4， BE3， AE5， EF AE ， PFE ABE， ， ， PE ，即 x 满足条件的 x 的值为 3 或 （3）如图 3，当 D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG， AP x， PD DG6 x， DAG AEB， AGD B90， AGD EBA， ， ，x ，当 D 过点 E 时，如图 4， D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PD DE5，20 AP x651，当以 D
30、为圆心， DP 为半径的 D 与线段 AE 只有一个公共点时， x 满足的条件： x 或0 x1；故答案为： x 或 0 x1（12 分）21【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外25【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a b，判
31、断 a0，确定 D、 M、 N 的位置，画图 1，根据面积和可得 DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一个公共点时， t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时， t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 y ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0）， a+a+b0，即 b2 a， y ax2+ax+b ax2+ax2 a a（ x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ ， ）；（2）直线 y2 x+m 经过点 M（1，0），021+ m，解得 m2， y2
32、 x2，则 ，得 ax2+（ a2） x2 a+20，（ x1）（ ax+2a2）0，解得 x1 或 x 2， N 点坐标为（ 2， 6）， a b，即 a2 a， a0，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x ，22 E（ ，3）， M（1，0）， N（ 2， 6），设 DMN 的面积为 S， S S DEN+S DEM |（ 2）1| （3）| ，（3）当 a1 时，抛物线的解析式为： y x2 x+2（ x+ ） 2+ ，有 ， x2 x+22 x，解得： x12， x21， G（1，2），点 G、 H 关于原点对称， H（1，2），设直线 GH 平移后的解析式为： y2 x+t， x2 x+22 x+t，x2 x2+ t0，14（ t2）0，t ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入 y2 x+t，t2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点， t 的取值范围是 2 t 23【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大24
