1、- 1 -20182019 学年度第二学期第一次考试高二年级理科数学试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 ， 为虚数单位， ， ，则复数 1,2Mzi3,4N4Mz（A） （B） （C） （D）iii（2）已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则yfx(1,)f 12yx的值等于1f（A）1 （B） （C）3 （D）052（3）已知函数 ，则()ln3fxx0(1)limxfx（A） （B） （C） （D）114353（4）某班数学课代表给
2、全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A） 甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁（5）已知 ， 为虚数单位，若 ，则,xyRi 123xiyixyi（A） （B） （C） （D）10352（6）函数 的单调递增区间是exfx（A） （B） （C） （D）,31,42,（7）函数 的极大值为 ，那么 的值是2()fa6a（A） （B） （C） （D）6510（8）以正弦曲线 上一点 为切点得切线为直线 ，则直线 的倾斜角的范围是sinyxPll
3、- 2 -（A） （B） （C） （D）30,420,3,4,（9）在复平面内，若 所对应的点位于第二象限，则实数 的取2(1)(4)6zmii m值范围是（A） （B） （C） （D）(0,3)(,)(2,0)(3,4)（10）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐fx)fxyfxyfx标系中，错误的是 （11）若函数 在 上的最大值为 ，则 2(0)xfa1,3a（A） （B） （C） （D）3134431（12）已知 是定义在区间 上的函数，其导函数为 ，且不等式()fx(0)， ()fx恒成立，则 2（A） （B） （C） （D）4(1)f 4(1)2f(1)42ff(1
4、)42)ff第 II 卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.（13）若函数 ，则 _321()()fxfx(1)f（14）由曲线 与直线 所围成图形的面积等于_ _ye0,y（15）观察下列各式： ， ， ， ， 1ab23ab34ab47ab，则 51ab0（16）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则ykxlnyxln(2)yx_.- 3 -三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知复数 ，求 分别为何值时，227656zaaiaR（1） 是实数；（2） 是纯虚 数；z（3）当 时，求 的共轭复数.106az（18） （本小题
5、满分 10 分）已知数列 满足na)(1,1 Nnan(1)分 别求 的值；234,（2）猜想 的通项公式 ，并用数学归纳法证明.nan（19） （本小题满分 12 分）已知函数 在 与 处都取得极值32()fxabx231x(1)求函数 的解析式；（2）求函数 在区间 的最大值与最小值()f,（20） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x) .ln xx(1)判断函数 的单调 性；(2)若 y xf(x) 的图象总在直线 y a 的上方，求实数 a 的取值范围1x- 4 -（21） （本小题满分 12 分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费
6、 （百万元） ，可增加的销售额为 （百万元） .t 25t03t（ ）（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费 （百万元） ，可增加的销售额约为 （百万元） ，请设计一x 321x个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22） （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ） ， （其中 为自然对数的lnmfxR16xgee底数）.（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的单调区yf12450xyfx间
7、和极值；（2）若对任意 ，总存在 使得 成立，1,2x2,3x31210fxge求实数 的取值范围.m- 5 -20182019 学年度第二学期第 一次考试高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B B A C A D D D A B（1） 【答案】C【解析】由 M N4，知 4 M，故 zi4，故 z 4i.4i 4ii2（2） 【答案】C【解析】由导数的几何意义得 15, .kff所以 = ，故选 C.1f5+32（3） 【答案】B（4） 【答案】B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾
8、，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一A人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四C人中只 有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选 B.D（5） 【答案】A【解析】 ，则123xiyi213yx3 1xy.0xyi（6 ） 【答案】C【解析】 ，令 ，解e3e2xxfe20xf得 ，所以函数 的单调增区间为 故选 C2x,（7） 【答案】A【解析】 ，322() 61fxafxx令 可得 ，容易判断极大值为 .故选 A.0,fx,10（8） 【答案】D【解析】由题得 ，设切线的倾斜角为 ，则 cosyx，故选 D.3ta
9、ncos1tan0,4kx（9） 【答案】D【解析】整理得 对应的点位于第二象限，则22()(6)zmi，解得 .2406m34- 6 -（10） 【答案】D【解析】经检验，A：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选 D.（11） 【答案】A当 ，即 时， 在 上单调递减，故 1afx1,max1ff令
10、 ，解得 ，符合题意33a综 上 1a（12） 【答案】B【解析】设函数 ，2()fxg0则 ，243()xffxfg所以函数 在 上为减函数，所以 ，即 ，()0,)(1)2g2(1)f所以 ，故选 B.412f二、填空题（13） 【答案】 【解析】 f(x) x3 f(1) x2+x，313- 7 - f( x) x22 f(1) x+1， f(1)12 f(1)+1， f(1) .3（14） 【答案】e 【解析】由已知面积 S (ex x)dx e 1e .12 10(ex 12x2)0|12 12（15）123（16） 【答案】 【解析】设 直线 与曲线 和 的切点分别12ykxbln
11、1yxln(2)yx为 ， .由导数的几何意义可得 ，得1,xkb2,x 12k，再由切点也在各自的曲线上，可得12 22ln,()xbk联立上述式子解得 .12k三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， ，得 2560a61a或（2）Z 是纯虚 数， ，且 ，得 7250a（3）当 时， ，106za11ai得 ，得222当 时， ,得 ；41zi41Zi当 时， ,得2a88(18) 解： (1） ，31,12232 a411334a- 8 -(2）猜想 )(1Nna当 n=1 时命题显然成立 假设 命题成立，即)(kka1当 11，ankkk时时命题成立1k综 合，当 时命 题成立Nn（
12、19）解：(1) ，2()3fxaxb由题意 即 0(1)f403解得 ，经检验符合题意， 2ab321()fxx(2)由(1)知 ， ()1f令 ，得 ， ()0fx12,3x当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 2 ( 2， 23)23 ( 23， 1)1 (1,2) 2f(x) 0 0 f(x) 6 A极大值 2227 A极小值32 A2由上表知 fmax(x) f(2)2， fmin(x) f(2)6.（20）解：(I) 1ln当 时， ， 为增函数；0xe()0fx()f- 9 -当 时， ， 为减函数xe()0fx()f(2)依题意得，不等式 对于 恒成立1
13、lnax0令 ，则 .()lgx21()gx当 时， ，则 是 上的增函数；1,210x()g,)当 时， ，则 是 上的减函数(0)x()g(),所以 的最小值是 ，从而 的取值范围是 a(,1)（21 ）解：（1）设投入广告费 （百万元）后由此增加的收益为 （百万元） ，t ft则 ， .2254ft24t03所以当 时， ，maxft即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为 （百万元） ，则用于广告促销的费用为 （百万元）3x，则由此两项所增加的收益为 2321gxx.31534xx，令 ，得 或 （舍去）.2g2 02x当 时， ，
14、即 在 上单调递增；0x0gxg,当 时， ，即 在 上单调递减，23x3当 时， .xmax25故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为 百万元.3（22）- 10 -（2）由 ， ，当 时， ， 单16xge16xge2,30gxgx调递增，故 有最小值 ，32因为对任意 ，总存在 使得 ，1,x2,x31210fxge即 成立，所以对任意 ，都有 ，312feg1,33121fxe即 ，1fx也即 成立，从而对任意 ，都有 成立，1lnm1,2x1lnmx构造 函数 ，则 ，令 ，得 ，当lx,l01x时， ， 单调递增；当 时， ， 单调1,2x0x1,2x递减， 的最大值为 ， ，综上，实数 的取值范围为 .1m1,- 11 -
