1、- 1 -2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知“凡是 9的倍数的自然数都是 3的倍数”和“自然数 n是 9的倍数” ，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 . 2. 812x的展开式中常数项为 .3. 用反证法证明命题：“如果 ,abN， 可被 5整除，那么 ,ab中至少有一个能被 5整除”时，假设的内容应为 . 4. 利用数学归纳法证明“ *),12(312)()2(1 Nnnn ”时，从“ kn”变到“ k”时，左边应增乘的因式是 . 5. 分析法又称执果索因
2、法，若用分析法证明“设 ，且 ，求证：abc0abc” 索的因应是 . 23bac ； ； ；00c()0abc.()6. 若 ，则 . 23*1(N)nnCn7. 现从 8名学生中选出 4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案.（用数字作答）8. 观察下列式子： ， ， ，根据以上式213215322174子可以猜想第 2019个式子是 . 9. 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， ，1160ADBA且 ,则 等于 . 1,2,3AB10. 设复数 iz（ 为虚数单位） ，则- 2 -12324354657687888888CzCzCzCz . 11
3、. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有 5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 .12若多项式21 10101()()(),xaxaxx则 0a . 13现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 . 类比到空间，有42两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的a体积恒为 . 14. 观察下列等式：cos 2 2cos 2 1；cos 4 8cos 4 8cos 2 1；cos 6 32cos 6 48cos 4 18cos
4、 2 1；cos 8 128cos 8 256cos 6 160cos 4 32cos 2 1；cos 10 mcos10 1280cos 8 1120cos 6 ncos4 pcos2 1.可以推测， m n p . 二、解答题：本大题共 6小题，共 90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 14分）已知 是虚数， 是实数zz1（1）求 为何值时， 有最小值，并求出| 的最小值；zi2i2（2）设 ，求证： 为纯虚数uu16. （本小题满分 14分）从 1,3579中任取 2个数，从 0,46中任取 2个数，（1）能组成多少个没有重复数字
5、的四位数？（2）若将（1）中所有个位是 的四位数从小到大排成一列，则第 1个数是多少？- 3 -17. （本小题满分 14分）已知函数 2()1xfa，其中 1a证明：（1） 在区间 (,)上为单调增函数；（2）方程 )0fx无负实数根18. （本小题满分 16分）已知 的展开式的二项式系数和比 的展开式的系数和大 992.求23()nx(31)nx的展开式中：1（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.19 （本小题满分 16分）如图，平行四边形 ABCD所在平面与直角梯形 ABEF所在平面互相垂直，且1,/2ABEF， ,2,3CP为 DF中点（1）求异面直线 与 PE所成的角
6、；（2）求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值20 （本题满分 16分）已知 mn， 为正整数，（1）证明：当 1x时， ()1mx ；（2）对于 6 ，已知 ,23n求证: ,)21(3(mnn， ， ，；（3）求出满足等式 nnn )()(4 的所有正整数 - 4 -2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）评分标准1.“自然数 n是 3的倍数”2.4815()2C3. a、 b都不能被 5整除 4. 左边= 1)(k=2（2 k+1）= 425.6.57.55 8. 2211403939.5 10. 5i 11. 420 12. 213. 38a14. 9(4
7、0)596215解：设 ，则)(biaz ibababaiiiz 22211所以， ，又 可得 4分02ba1（1） 22)()()1(baiiz表示点 到点 的距离，所以 最小值为 7分P,Aiz15AO解方程组 并结合图形得 9分12yx i52- 5 -（2） abiaibibiazu 1112又 ，所以 为纯虚数 14 分0b16.不用 0时，有 245370CA个；用 0时，有 213540CA个；共有 1260个四位数. 7 分 “15” ，中间所缺的两数只能从 ,46中选排，有 24个；“25” ，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有 13个；“35” ，仿“15” ，也有 24A个
8、；“45” ，仿“25” ，也有 13C个；“65” 也有 1243个；即小于 70的数共有 96个.故第 97个数是 05，第 98个数是 45，第 9个数是 5，第 10个数是 725. 14分17.证明：（1）当 1x时 221()3()lnln()x xfaa，所以， ()f在区间 ,上为单调增函数；5 分（2）假设方程 0x有负实数根 0x，7 分所以 0021a，因为 ， 0x，所以 01xa，所以 021x，则 021，当 0x时， 01；当 02x时， 012x所以 不存在，这与假设相矛盾，所以假设不成立，所以，方程 ()fx无负实数根14 分18.解：由题意 5,922nn解
9、 得 （1） 10)(x的展开式中第 6项的二项式系数最大，即 804)(255106 xCT. 5分（2）设第 r项的系数的绝对值最大，- 6 -1010210 1010113410(2)(),()28, 4(2rrrrrrrrrTCxCxrTCx 则 得 即故 系 数 的 绝 对 值 最 大 的 是 第 项即 734)56x16分19.在 AB中， 1,23CBA，所以 22cos3C所以 ，所以 又因为平面 D平面 EF，平面 D平面 ABEF，A平面 B，所以 AC平面 B4分如图，建立空间直角坐标系 ,，则 13(0,)(1,0)(,3),(10,)(,)(0,2)(,)2EFP6分
10、 (,),(,)2DAPE设异面直线 与 所成的角为 ，则 3cos|2|DAPE所以异面直线 A与 PE所成的角为 6； 11 分 (0,2)F是平面 BCD的一个法向量， 设平面 D的一个法向量 (,)nxyz， (2,13),(1,23)EDF则 (,),1320)nExyz，得 3z，取 ，则 ,3yz，故 (1,)n是平面 DF的一个法向量，13 分设平面 E与平面 ABC所成的二面角（锐角）为 ，则 25cos|n 16 分- 7 -20第（1）小题共 5分；第（2）小题共 5分；第（3）小题共 6分解法 1：（1）证：用数学归纳法证明：（）当 m时，原不等式成立；当 2m时，左边
11、 21x，右边 1x，因为 20x ，所以左边 右边，原不等式成立；2 分（）假设当 k时，不等式成立，即 (1)kx ，则当 mk时，1， x ，于是在不等式 两边同乘以 1x得2()()1()()kx ，所以 k 即当 mk时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数 ，不等式都成立5 分（2）证：当 6nn， 时，由（）得： 11033mnn，（令 ,31x易知 1x）7 分于是nnmm 132mn， 1n，10 分(3)解：由（）知，当 6 时， 212113332nnnnn ，nnn12 分即 4(2)()nnn 即当 6 时，不存在满足该等式的正整数 n故只需要讨论 1345，的情
12、形：当 时， ，等式不成立；当 2n时， 2，等式成立；当 3时， 33456，等式成立；当 时， 4为偶数， 47为奇数，故 4443567，等式不成立；当 5n时，同 的情形可分析出，等式不成立综上，所求的 只有 23n，16 分解法 2：（1）证：当 0x或 1m时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当 x，且 时， ， ()x （）当 m时，左边 2，右边 x，因为 0，所以 20x，即左边右边，不等式成立；- 8 -（）假设当 (2)mk 时，不等式成立，即 (1)kx，则当 1mk时，因为 1x，所以 0x又因为 02xk， ，所以 20于是在不等式 ()k两边同乘以 得 2()(1)(1)(1)k x，所以 1xx即当 mk时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（2）证：当 6n ， n 时， 132n， 132nm，而由（）， 103m，112nn m （3）解：假设存在正整数 06 使等式 0 0034(2)(3)nnn 成立，即有0 0413nn 又由（）可得0 023nnn00 011133nnn00 0122nnn，与式矛盾故当 6 时，不存在满足该等式的正整数 下同解法 1
