1、- 1 -河南省实验中学 2018-2019 学年下期期中试卷高二 数学（文）（时间：120 分钟，满分：150 分）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 z 满足 ，则| z|（ ）A B C3 D42下列导数运算正确的是（ ）A （ x1 ）B （2 x） x2x1 C （cos x）sin x D （ lnx+x）13用反证法证明“ a， b， c 三个实数中最多只有一个是正数” ，下列假设中正确的是（ ）A有两个数是正数 B这三个数都是正数C至少有两个数是负数 D至少有两个数是正数4下列推理是归纳推理的是（ ）
2、A A， B 为定点，动点 P 满足| PA|+|PB|2 a| AB|，得 P 的轨迹为椭圆B由 a1 a， an3 n1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式C由圆 x2+y2 r2的面积 r2，猜想出椭圆 的面积 S abD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5下列关于回归分析的说法中错误的有（ ）个（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高（2）回归直线一定过样本中心（ ， ） （3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好（4）甲、乙两个模型的 R2分别约为 0.88 和 0.80，则模型乙的拟合效果更好A4 B3 C2 D16
3、 周髀算经是我国古代的天文学和数学著作其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图） ，每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同） 若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则立冬节气的晷长为（ ）- 2 -A九尺五寸 B一丈五寸C一丈一尺五寸 D一丈六尺五寸7利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中生是否爱好某项运动，利用 22 列联表，由计算可得 K27.245，参照下表：得到的正确结论是（ ） P（ K2 k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00
4、1k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8在下面的图示中，是结构图的为（ ）AB C D9已知函数 f（ x） x25 x+2lnx，则函数 f（ x）的单调递减区间是（ ）A B （0，1）和（2，+）C （ ，2） D 和（2，+）10已知函数 f（ x）sin x+cosx，若 f1（ x） f（ x）
5、， fn+1（ x） f n（ x） （ nN +） ，则 f2019（ ）（ ）AB C D 11在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色先染 1；再染 3 个偶数 2，4，6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数29，31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：- 3 -1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，则在这个红色子数列中，由 1 开始的第2019 个数是（ ）A3972 B3974 C3991 D39
6、9312设函数 f（ x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（ x） ，且有 2f（ x）+xf（ x） x2，则不等式（ x+2019） 2f（ x+2019）4 f（2）0 的解集为（ ）A （2019，2017） B （2019，2018）C （2021，2019） D （2020，2019）二.填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 在点 处的切线方程为 1yx12（ ， ）14已知三个月球探测器 ， 共发回三张月球照片 A， B， C，每个探测器仅发回一张照片甲说：照片 A 是 发回的；乙说： 发回的照片不是 A 就是 B；丙说：照片 C 不是
7、 发回的若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片 B 是探测器 发回的15在等比数列 an中，若 a91，则有等式 a1a2an a1a2a17 n， （ n17， nN *）成立类比上述性质，相应的在等差数列 bn中，若 b90，则有等式 成立16.若函数 f(x)3 x x3在区间( a212， a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是 三.解答题:本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本题满分 10 分）已知复数 z ， （ mR， i 是虚数单位）（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值；（2）设 是 z 的共轭复数， 在复平面上对应的点
8、在第四象限，求 m 的取值范围18 （本题满分 12 分）已知函数 f（ x） x3+ax2+bx+a2（ a、 bR） （1）若函数 f（ x）在 x1 处有极值 10，求 f（ x）的解析式；（2）当 a2 时，若函数 f（ x）在2，+）上是单调增函数，求 b 的取值范围19 （本题满分 12 分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计 2018 年上半年每个月的 20 日的昼夜温差（ xC， x3）和患感冒的小朋友人数（ y/人）的数据如下：温差 xC x1 x2 x3 x4 x5 x6患感冒人数y8 11 14 20 23 26- 4 -其中 ， ， ，（）请用相关系数加以说明是否可用线性回归
9、模型拟合 y 与 x 的关系；（）建立 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.01） ，预测当昼夜温差升高 4C 时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）参考数据： 参考公式：相关系数： ，回归直线方程是 ，20 （本题满分 12 分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第 个图形中的黑点总数为nf（ n） （1）求 f（2） ， f（3） ， f（4） ， f（5）出的值；（2）找出 f（ n）与 f（ n+1）的关系，并求出 f（ n）的表达式21 （本题满分 12 分）已知 aR， f（ x）2 x alnx（）讨论 f（ x）的单调性；（）当 x1 时， xf（ x） x2
10、+1 恒成立，求实数 a 的取值范围选作题：共 12 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（12 分）已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极- 5 -轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 a（ a0） （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）已知点 P（0，4） ，直线 l 与曲线 C 交于 M， N 两点，且| PM|PN|14，求 a 的值23.选修 4-5：不等式选讲（12 分）已知函数 f（ x）|3 x2 a|+|2x2|（ aR） （）当 a 时，
11、解不等式 f（ x）6；（）若对任意 x0R，不等式 f（ x0）+3 x04+|2 x02|都成立，求 a 的取值范围河南省实验中学 2018-2019 学年下期期中试卷高二文科数学 参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D D B C B B B C A D C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）13. x4 y40 14 15 16 （1，2三、解答题- 6 -17解： z （1）若 z 是纯虚数，则 ，即 m2；-5 分（2） ，由 在复平面上对应的点在第
12、四象限，得 ，即2 m2-10 分18 （1）因为 f（ x） x3+ax2+bx+a2，所以 f（ x）3 x2+2ax+b，由已知条件，得 即 解得 或-4分下面分别检验：当 a4， b11 时， f（ x） x3+4x211 x+16， f（ x）3 x2+8x11，令 f（ x）0，即 3 x2+8x110，解得 ， x21，列表：x 1 （1，+）f（ x） + 0 0 +f（ x） 增函数 极大值 减函数 极小值 10 增函数由上表可知， f（ x）在 x1 处取极小值 10，符合题意当 a3， b3 时， f（ x） x33 x2+3x+9， f（ x）3 x26 x+33（ x
13、22 x+1）3（ x1） 20， f（ x）为增函数，不合题意，舍去所以当 a4， b11 时， f（ x） x3+4x211 x+16 为所求函数的解析式综上所述，所求函数的解析式为 f（ x） x3+4x211 x+16 -6 分（2）当 a2 时， f（ x） x32 x2+bx+4， f（ x）3 x24 x+b，此导函数是二次函数，二次项系数大于 0，且对称轴为 ，- -8 分因为函数 f（ x）在2，+）上单调递增，所以 f （ x）0 在2，+）上恒成立，也就是 f（2）0，即 32 242+ b0，解得 b4，- 7 -所以， b 的取值范围是4，+） -12 分19解：（）
14、 ，（1417） 2+（2017） 2+（2317）2+（2617） 2252故 r 可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；-6 分（） ， ， y 关于 x 的回归方程为 -10 分当 x4 时， y2.61410预测当昼夜温差升高 4C 时患感冒的小朋友的人数会增加 10 人-12 分20 【解答】解：（1）由题意有 f（1）3，f（2） f（1）+3+3212，f（3） f（2）+3+3427，f（4） f（3）+3+3648，f（5） f（4）+3+3875（6 分）（2）由题意及（）知， f（ n+1） f（ n）+3+32 n f（ n）+6 n+3，即 f（ n+1） f（
15、n）6 n+3，（8 分）故 f（2） f（1）61+3，f（3） f（2）62+3， f（4） f（3）63+3，- 8 -f（ n） f（ n1）6（ n1）+3， n2（10 分）将上面（ n1）个式子相加，得：，又 f（1）3，所以 f（ n）3 n2， n2，而当 n1 时， f（1）3 也满足上式，故 f（ n）3 n2， nN *（12 分）21解：（） f（ x）的定义域是（0，+） ，f（ x）2 （ x ） ，当 a0 时， f（ x）0， f（ x）在（0，+）递增，当 a0 时，在（0， ）上， f（ x）0， f（ x）递减，在（ ，+）上， f（ x）0， f（ x
16、）递增，综上，当 a0 时， f（ x）在（0，+）递增，a0 时， f（ x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增；-6 分（） xf（ x） x2+1 恒成立，即 xf（ x）（ x2+1）0 恒成立，设 g（ x） xf（ x）（ x2+1） ，则 g（ x） x2 axlnx1，g（ x）2 x a（1+ lnx） ， g（ x）的单调性和 f（ x）相同，当 a0 时， g（ x）在1，+）递增， g（ x） g（1）2 a0，-8 分故 g（ x）在1，+）递增， g（ x） g（1）0，当 a0 时， g（ x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增，-9分当 0 a2 时， 1， g
17、（ x）在1，+）递增，-10 分g（ x） g（1）2 a0，故 g（ x）是增函数，故 g（ x） g（1）0，当 a2 时，在区间（1， ）上， g（ x）递减，故 g（ x） g（1）2 a0，故 g（ x）递减，故 g（ x） g（1）0，不合题意，综上， a 的范围是（，2- 9 -12 分22 解：（1）由 2 a 两边平方得 2（ a2sin2+4cos 2）4 a2，又 sin y，cos x， a2y2+4x24 a2（ a0） ，即曲线 C 的直角坐标方程为：4 x2+a2y24 a2-6 分（2）消去参数 t 得直线 l 的普通方程为： y x+4，易知 P（0，4）在
18、直线 l 上，所以直线 l 的斜率为 ，倾斜角为 60，所以直线 l 的参摄方程可设为： （ t 为参数） ，将以上参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程并整理得：（1+ a2） t2+4 a2t+12a20设 M， N 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1t2 ，-11分所以| PM|PN| t1|t2| t1t2| 14，解得： a -12 分23解：（） a 时，|3 x1|+|2 x2|6，故 或 或 ，解得： x 或 x ，故不等式的解集是（， ）（ ，+） ；-6 分（）若对任意 x0R，不等式 f（ x0）+3 x04+|2 x02|都成立，则|3 x02 a|+3x04 恒成立，故 x0 a 时，6 x02 a+4 恒成立，故 6 a2 a+4，解得： a2，x0 a 时，2 a4，解得： a2，- 10 -综上， a（2，+） -12 分
