1、一级注册结构工程师基础部分-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：48，分数：100.00)1.微分方程 xy“-y=x 2 e 2x 的通解 y 等于_。 A Bx(e 2x +C) C （分数：2.00）A.B.C.D.2.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.3.微分方程 的通解是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.微分方程 的通解是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 ydx+(x-y)dy=0 的通解是_。 A B Cxy=C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 y=
2、C 1 e -x+C2 (C 1 ，C 2 为任意常数)是微分方程 y“-y“-2y=0 的_。（分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是通解又不是特解7.微分方程 xy“-ylny=0 满足 y(1)=e 的特解是_。 A.y=ex B.y=ex C.y=e2x D.y=lnx（分数：2.00）A.B.C.D.8.已知微分方程 y“+p(x)y=q(x)(q(x)0)有两个不同的特解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该微分方程的通解是_。（分数：2.00）A.y=C(y1-y2)B.y=C(y1+y2)C.y=y1+C(y1+y2)D.y=y1+C(y1-y
3、2)9.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的待定特解的形式是_。 A.y=(Ax2+Bx)ex B.y=(Ax+B)ex C.y=Ax2ex D.y=Axex（分数：2.00）A.B.C.D.10.以 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是_。（分数：2.00）A.y“-2y“-3y=0B.y“+2y“-3y=0C.y“-3y“+2y=0D.y“-2y“-3y=011.微分方程 y“+2y=0 的通解是_。 Ay=Asin2x By=Acosx C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0 的
4、通解为_。 A1+x 2 =Cy B(1+x 2 )(3+2y)=C C （分数：2.00）A.B.C.D.13.微分方程 cosydx+(1+e -x )sinydy=0 满足初始条件 的特解是_。 A （分数：2.00）A.B.C.D.14.微分方程 y“=y“ 2 以的通解是_。（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C2+ln|x+C1|D.C2-ln|x+C1|15.微分方程 y“=x+sinx 的通解是_。(C 1 ，C 2 为任意常数) A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分
5、方程是_。 A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex C.y“+y“-2y=3xex D.y“+y“-2y=3ex（分数：2.00）A.B.C.D.17.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是_。（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=018.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不
6、存在B.等于 1C.等于 2D.等于 319.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 A、B 为三阶方阵，且行列式 （分数：2.00）A.1B.-1C.2D.-221.设 则 A -1 =_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）A.-2B.-1C.1D.223.设 1 ， 2 ， 3 ， 是 n 维向量组，已知 1 ， 2 ， 线性相关， 2 ， 3 ， 线性无关，则下列结论中正确的是_。（分数：2.00）A. 必可用 1，2 线性表示B.1 必可用 2，3， 线性表示C.1，2，3
7、 必线性无关D.1，2，3 必线性相关24.已知向量组 1=(3，2，-5) T ， 2 =(3，-1，3) T ， （分数：2.00）A.2，4B.3，4C.1，2D.2，325.已知 n 元非齐次线性方程组 Ax=B，秩 r(A)=n-2， 1 ， 2 ， 3 为其线性无关的解向量，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax=B 的通解为_。（分数：2.00）A.x=k1(1-2)+k2(1+3)+1B.x=k1(1-3)+k2(2+3)+1C.x=k1(2-1)+k2(2-3)+1D.x=k1(2-3)+k2(1+2)+126.若非齐次线性方程组 Ax=b 中，方程的个数少于未知量的个数，则
8、下列结论中正确的是_。（分数：2.00）A.Ax=0 仅有零解B.Ax=0 必有非零解C.Ax=0 一定无解D.Ax=b 必有无穷多解27.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.28.已知矩阵 （分数：2.00）A.6B.5C.4D.1429.已知 n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 0 ，则矩阵(2A) -1 的特征值是_。 A B C （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 A 是 3 阶矩阵，P=( 1 ， 2 ， 3 )是 3 阶可逆矩阵，且 若矩阵 Q=( 2 ， 1 ， 3 )，则 Q -1 AQ=_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.要使得二次
9、型 （分数：2.00）A.-1t1B.-1t0C.t0D.t-132.已知 （分数：2.00）A.2B.-2C.0D.433.是 x 的多项式，其可能的最高方次是_。 （分数：2.00）A.1 次B.2 次C.3 次D.4 次34.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是_。（分数：2.00）A.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 AB.B 的第 1 列的-2 倍加到第 2 列得 AC.B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 AD.B 的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A35.设 A，B 为 n 阶矩阵，A *
10、，B * 分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 则 C 的伴随矩阵 C * =_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.36.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是_。（分数：2.00）A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+223，31+52-5337.设有向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是_。（分数：2.00）A.1，
11、2，3B.1，2，4C.1，2，5D.1，2，4，538.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C.D.39.设 1 ， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 、 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1 、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是_。 A B 1 +k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 2 ) C D （分数：2.00）A.B.C.D.40.设 A 是 mn 阶矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是_。（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有惟一解B.若 Ax=0 有非零解
12、，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解41.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且|B|=0B.=-2 且|B|0C.A=1 且|B|=0D.=1 且|B|042.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是_。（分数：2.00）A.对任意的 k10 和 k20，k1+k2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量C.对任意的 k10 和 k20，k1+k2 都不是 A
13、 的特征向量D.仅当 k1=k2=0 时，k1+k2 是 A 的特征向量43.下列矩阵中不能对角化的是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.44.设 A 是 n 阶矩阵，且 A k =0(k 为正整数)，则_。（分数：2.00）A.A 一定是零矩阵B.A 有不为 0 的特征值C.A 的特征值全为 0D.A 有 n 个线性无关的特征向量45.已知二阶实对称矩阵 A 的一个特征向量为(2，-5) T ，并且|A|0，则以下选项中为 A 的特征向量的是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.46.已知 A 为奇数阶实矩阵，设阶数为 n，且对于任一 n 维列向量 X，
14、均有 X T AX=0，则有_。（分数：2.00）A.|A|0B.|A|=0C.|A|0D.以上三种都有可能47.二次型 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.348.已知矩阵 那么与 A 既相似又合同的矩阵是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.一级注册结构工程师基础部分-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：48，分数：100.00)1.微分方程 xy“-y=x 2 e 2x 的通解 y 等于_。 A Bx(e 2x +C) C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 当 x0 时，原微分方程可化为： 则 2.微分方程
15、（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ，故两边积分得： ，整理得， 3.微分方程 的通解是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 分离变量法，原式等价于 ，两边积分得： 整理得，4.微分方程 的通解是_。 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 ，则 ，原式等价于 ，两边分别积分得：ln(sinu)=lnx+lnC，则微分方程 的通解是5.微分方程 ydx+(x-y)dy=0 的通解是_。 A B Cxy=C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 微分方程 ydx+(x-y)dy=0 可写成 ydx+xdy=
16、ydy，右端仅含 y，求积分得 y 2 。左端既含 x 又含 y，它不能逐项积分，但却可以化成 d(xy)，因此，直接求积分得到 xy，从而便得到微分方程的隐式解 ，即 6.函数 y=C 1 e -x+C2 (C 1 ，C 2 为任意常数)是微分方程 y“-y“-2y=0 的_。（分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是通解又不是特解 解析：解析 微分方程 y“-y“-2y=0 的特征方程为：r 2 -r-2=0，解特征方程得：r 1 =2，r 2 =-1。故其通解为：y=C 1 e 2x +C 2 e -x 。即题中函数是方程的解，但不是通解或特解。7.微分方程 xy“-yl
17、ny=0 满足 y(1)=e 的特解是_。 A.y=ex B.y=ex C.y=e2x D.y=lnx（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 将各选项答案代入已知条件判断如下： A 项，代入可得，ex-exln(ex)0，不满足； B 项，代入可得，xe x -xe x =0，当 x=1 时，有 y(1)=e，满足； C 项，代入可得，2xe 2x -2xe 2x =0，y(1)=e 2 ，不满足； D 项，代入可得，1-lnx ln(lnx)0，不满足。8.已知微分方程 y“+p(x)y=q(x)(q(x)0)有两个不同的特解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该微分
18、方程的通解是_。（分数：2.00）A.y=C(y1-y2)B.y=C(y1+y2)C.y=y1+C(y1+y2)D.y=y1+C(y1-y2) 解析：解析 所给方程的通解等于其导出组的通解加上该方程对应齐次方程的一个特解，(y 1 -y 2 )是导出组的一个解，C(y 1 -y 2 )是导出组的通解。9.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的待定特解的形式是_。 A.y=(Ax2+Bx)ex B.y=(Ax+B)ex C.y=Ax2ex D.y=Axex（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 形如 y“+py“+qy=P(x)e x 的非齐次方程的特解为：y * =z k Q(z)
19、e x ，其中 k 的取值视 在特征方程中的根的情况而定。在此，特征方程 r 2 -3r+2=0 的特征根为 r=2，r=1 为单根形式，故k=1。10.以 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是_。（分数：2.00）A.y“-2y“-3y=0B.y“+2y“-3y=0 C.y“-3y“+2y=0D.y“-2y“-3y=0解析：解析 因 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 是特解，故 r 1 =1，r 2 =-3 是特征方程的根，因而特征方程为r 2 +2r-3=0。故二阶线性常系数齐次微分方程是：y“+2y“-3y=0。11.微分方程 y“+2y
20、=0 的通解是_。 Ay=Asin2x By=Acosx C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程 r 2 +2=0，特征根为： 则方程的通解 12.微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0 的通解为_。 A1+x 2 =Cy B(1+x 2 )(3+2y)=C C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 分离变量可以得到： 两边积分： 可以得到： 13.微分方程 cosydx+(1+e -x )sinydy=0 满足初始条件 的特解是_。 A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 原方程可整理为： ，两边取不定
21、积分得： 14.微分方程 y“=y“ 2 以的通解是_。（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C2+ln|x+C1|D.C2-ln|x+C1| 解析：解析 令 y“=z，则原方程可化为 z“=z 2 ，即 ， 两边同时积分得， ，从而 ； 又 15.微分方程 y“=x+sinx 的通解是_。(C 1 ，C 2 为任意常数) A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 两边积分可得 再次积分得 16.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是_。 A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex C.y“+y“
22、-2y=3xex D.y“+y“-2y=3ex（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根 1 =1， 2 =-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，于是相应的齐次方程是 y“+y“-2y=0。 CD 两项中，方程 y“+y“-2y=3e x ，有形如 y * =Axe x 的特解(此处 e ax 中 a=1 是单特征根)。17.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是_。（分数：2.00）A.y“-y“-y
23、“+y=0B.y“+y“-y“-y=0 C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析 由特解知，对应特征方程的根为： 1 = 2 =-1， 3 =1。于是特征方程为：(+1) 2 (-1)= 3 + 2 -1=0。故所求线性微分方程为：y“+y“-y“-y=0。18.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析 由 y“+py“+qy=e3 x 及 y(0)=y“(0)=0，知 y“(0)=1
24、，则： 19.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 行列式 经过 mn 次列变换得到行列式 ，即： 20.设 A、B 为三阶方阵，且行列式 （分数：2.00）A.1 B.-1C.2D.-2解析：解析 因为 ，而且 A、B 为三阶方阵，所以行列式21.设 则 A -1 =_。 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 AA * =|A|E，得 其中，|A|=-1； ，故可得， 22.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）A.-2 B.-1C.1D.2解析：解析 由矩阵与伴随矩阵秩的关系式 23.设 1 ， 2 ，
25、 3 ， 是 n 维向量组，已知 1 ， 2 ， 线性相关， 2 ， 3 ， 线性无关，则下列结论中正确的是_。（分数：2.00）A. 必可用 1，2 线性表示B.1 必可用 2，3， 线性表示 C.1，2，3 必线性无关D.1，2，3 必线性相关解析：解析 由 1 ， 2 ， 线性相关知， 1 ， 2 ， 3 ， 线性相关。再由 2 ， 3 ， 线性无关， 1 必可用 2 ， 3 ， 线性表示。24.已知向量组 1=(3，2，-5) T ， 2 =(3，-1，3) T ， （分数：2.00）A.2，4B.3，4C.1，2 D.2，3解析：解析 25.已知 n 元非齐次线性方程组 Ax=B，秩
26、 r(A)=n-2， 1 ， 2 ， 3 为其线性无关的解向量，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax=B 的通解为_。（分数：2.00）A.x=k1(1-2)+k2(1+3)+1B.x=k1(1-3)+k2(2+3)+1C.x=k1(2-1)+k2(2-3)+1 D.x=k1(2-3)+k2(1+2)+1解析：解析 n 元非齐次线性方程组 Ax=B 的通解为 Ax=0 的通解加上 Ax=B 的一个特解。因为 r(A)=n-2，Ax=0 的解由两个线性无关的向量组成。所以 Ax=B 的通解为：x=k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 2 - 3 )+ 1 。26.若非齐次线性方程组 Ax=b
27、 中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是_。（分数：2.00）A.Ax=0 仅有零解B.Ax=0 必有非零解 C.Ax=0 一定无解D.Ax=b 必有无穷多解解析：解析 因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。27.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 简化齐次线性方程组为 ，令 ，则 1 =(1，1，1，0) T 。 令 28.已知矩阵 （分数：2.00）A.6 B.5C.4D.14解析：解析 A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值，又因为特征值之和等于矩阵的迹，故1+4+5
28、=+2+2，故 =6。29.已知 n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 0 ，则矩阵(2A) -1 的特征值是_。 A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由矩阵特征值的性质，2A 的特征值为 2 0 ，因此(2A) -1 的特征值为 30.设 A 是 3 阶矩阵，P=( 1 ， 2 ， 3 )是 3 阶可逆矩阵，且 若矩阵 Q=( 2 ， 1 ， 3 )，则 Q -1 AQ=_。 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设可逆矩阵 计算可得：PB=Q，Q -1 =B -1 P -1 ，其中，B -1 = 因此， 31.要使得二次型 （分数：2.00）A.
29、-1t1B.-1t0 C.t0D.t-1解析：解析 该方程对应的二次型的矩阵为： 32.已知 （分数：2.00）A.2B.-2C.0D.4 解析：解析 令 33.是 x 的多项式，其可能的最高方次是_。 （分数：2.00）A.1 次 B.2 次C.3 次D.4 次解析：解析 第二行、第三行都减去第一行后，再按第一行展开，知 f(x)的可能的最高方次是一次。34.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是_。（分数：2.00）A.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A B.B 的第 1 列的-2 倍加到第 2 列得 AC.B
30、的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 AD.B 的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A解析：解析 设矩阵 ，则：35.设 A，B 为 n 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 则 C 的伴随矩阵 C * =_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 A、B 可逆，则 C 可逆，且 C * =|C|C -1 ，可求得 C * 。 若 A、B 不全可逆，则对四个选项验证：CC * =|C|E。 若 A、B 均可逆，则 A * =|A|A -1 ，B * =|B|B -1 ， 36.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组
31、中，线性无关的是_。（分数：2.00）A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+223，31+52-53解析：解析 A 项，( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 1 )=0； B 项，( 1 + 2 )+( 2 + 3 )-( 1 +2 2 + 3 )=0； 可见 AB 两项中向量组线性相关。CD 两项不能直接观察出， C 项，令 k 1 ( 1 +2 2 )+k 2 (2 2 +3 3 )+k 3 (3 3 + 1 )=0，即(k 1 +k 3 ) 1 +(2k 1 +2k 2 ) 2 +(3k 2
32、 +3k 3 ) 3 =0。由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 因上述齐次线性方程组的系数行列式 37.设有向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是_。（分数：2.00）A.1，2，3B.1，2，4 C.1，2，5D.1，2，4，5解析：解析 对以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为列向量的矩阵施以初等行变换： 38.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 注意利用 T 为一个数来简化计算。 AB=(E- T )(E+2
33、 T )=E+2 T - T -2 T T 39.设 1 ， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 、 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1 、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是_。 A B 1 +k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 2 ) C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 非齐次线性方程组 Ax=b 的通解由导出组 Ax=0 的基础解系与某一特解构成。 A 项， 、 1 - 2 都是导出组 Ax=0 的一个解，该选项中不包含特解； B 项， 1 - 2 是导出组 Ax=0 的一个解，该选项也不包含特解； C 项， 40.设 A 是
34、mn 阶矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是_。（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有惟一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析 由解的判定定理知，对 Ax=b，若有 ，则 Ax=b 一定有解。进一步，若 r=n，则 Ax=b有惟一解；若 rn，则 Ax=b 有无穷多解。而对 Ax=0 一定有解，且设 r(A)=r，则若 r=n，Ax=0 仅有零解；若 rn，Ax=0 有非零解。因此
35、，若 Ax=b 有无穷多解，则必有 ，Ax=0 有非零解，所以 D 项成立。但反过来，若 r(A)=r=n(或n)，并不能推导出41.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且|B|=0B.=-2 且|B|0C.A=1 且|B|=0 D.=1 且|B|0解析：解析 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又 A0，B0，所以 1r(A)3，1r(B)3，故|B|=0。 又因为 A=-2 时， 即此时 r(A)=3。 事实上，当 =1 时， 42.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是_。（分数：2.00）A.
36、对任意的 k10 和 k20，k1+k2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量C.对任意的 k10 和 k20，k1+k2 都不是 A 的特征向量 D.仅当 k1=k2=0 时，k1+k2 是 A 的特征向量解析：解析 ， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则：A= 1 ，A= 2 ，A(k 1 +k 2 )=k 1 A+k 2 A=k 1 1 +k 2 2 ，当 1 2 时，k 1 +k 2 就不是矩阵A 的特征向量。43.下列矩阵中不能对角化的是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 项， 故
37、 A 有三个不同的特征值，显然 A 可对角化。 B 项， 即特征值为 1 =1(二重)，L 2 =-2。 当 =1 时，r(E-A)=1，故 =1 对应两个线性无关的特征向量，故 A 可对角化。 C 项， 44.设 A 是 n 阶矩阵，且 A k =0(k 为正整数)，则_。（分数：2.00）A.A 一定是零矩阵B.A 有不为 0 的特征值C.A 的特征值全为 0 D.A 有 n 个线性无关的特征向量解析：解析 设 是 A 的特征值，对应的特征向量为 ，则有 A= A k = k =0 由 O，有 k =0，即 =0，故 A 的特征值全为 0。 令 45.已知二阶实对称矩阵 A 的一个特征向量
38、为(2，-5) T ，并且|A|0，则以下选项中为 A 的特征向量的是_。 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 A 的特征值为 1 ， 2 ，因为|A|0，所以 1 2 0，即 A 有两个不同的特征值。又 46.已知 A 为奇数阶实矩阵，设阶数为 n，且对于任一 n 维列向量 X，均有 X T AX=0，则有_。（分数：2.00）A.|A|0B.|A|=0 C.|A|0D.以上三种都有可能解析：解析 由于对任一 n 维列向量均有 X T AX=0，两边转置，有 X T A T X=0，从而 X T (A+A T )X=0。显然有(A+A T ) T =A+A T
39、 ，即 A+A T 为对称矩阵。从而对任一 n 维列向量均有：X T (A+A T )X=0，且 A+A T 为实对称矩阵，从而有 A+A T =0。即 A T =-A，从而 A 为实反对称矩阵，且 A 为奇数阶，故|A|=0。47.二次型 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 令 则二次型矩阵 48.已知矩阵 那么与 A 既相似又合同的矩阵是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与 A 相似的矩阵即可，也就是求 A 的特征值。 故 A 的特征值为 1 =0， 2 =2(二重)。 从而矩阵 A 与 相似，则 A 必与
