1、注册公用设备工程师给水排水基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 5 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.2005 年，第 1 题设 a，b 都是向量，下列说法正确的是( )。（分数：2.00）A.(a+b).(a-b)=a 2 -b 2B.a.(a.b)=a 2 bC.(a+b)(a-b)=aa-bbD.(a.b) 2 =a 2 b 22.2006 年，第 1 题已知 =i+aj-3k，=ai-3j+6k，=-2i+2j+6k，若 ， 共面，则 a 等于( )。（分数：2.00）A.1 或 2B.-1 或 2C.-1 或-2D
2、1 或-23.2008 年，第 1 题设 =i+2j+3k，=i-3j-2k，与 ， 都垂直的单位向量为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.4.2009 年，第 1 题设 =-i+3j+k，=i+j 十 tk，已知 =-4i-4k，则 t 等于( )。（分数：2.00）A.B.C.D.5.2010 年，第 2 题设 ， 都是非零向量，=，则( )。（分数：2.00）A.B. 且 C.()D.()6.2013 年，第 1 题已知向量 (-3，-2，1)，(1，-4，-5)，则等于( )。（分数：2.00）A.0B.6C.D.14i+16j-10k7.2005 年，第 2 题过点 M(3
3、2，1)且与直线 平行的直线方程是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.8.2005 年，第 3 题过 x 轴和点(1，2，-1)的平面方程是( )。（分数：2.00）A.x+2y-z-6=0B.2x-y=0C.y+2z=0D.x+z=09.2006 年，第 2 题设平面 x 的方程为 3x-4y-5z-2=0，以下选项中错误的是( )。（分数：2.00）A.平面 过点(-1，0，-1)B.平面 的法向量为-3i+4j+5kC.平面 在 z 轴的截距是D.平面 与平面-2x-y-2z+2=垂直10.2007 年，第 1 题设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(1，-1，0)，方
4、向向量为 2i+j-kB.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i-j+kC.过点(-1，1，0)，方向向量为-2i-j+kD.过点(-1，1，0)，方向向量为 2i+j-k11.2007 年，第 2 题(07 年)设平面 的方程为 2x-2y+3=0，以下选项中错误的是( )。（分数：2.00）A.平面 的法向量为 i-jB.平面 垂直于 z 轴C.平面 平行于 z 轴D.平面 与 xoy 面的交线为12.2008 年，第 2 题已知平面 过点(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1)的直线的对称方程为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.13.2
5、009 年，第 2 题设平面的方程为 x+y+z+1=0，直线的方程为 1-x=y+1=z，则直线与平面( )。（分数：2.00）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直14.2010 年，第 1 题设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(-1，2，-3)，方向向量为 i+2j-3kB.过点(-1，2，-3)，方向向量为-i-2j+3kC.过点(1，2，-3)，方向向量为 i-2j+3kD.过点(1，-2，3)，方向向量为-i-2j+3k15.2011 年，第 2 题设直线的方程为 x=y-1=z，平面的方程为 x-2y+z=0，则直线与平面( )。（分数：2.00）A.重合B.平行不重合
6、C.垂直相交D.相交不垂直16.2012.18设直线 L 为 （分数：2.00）A.L 平行于 B.L 在 上C.L 垂直于 D.L 与 斜交17.201315已知直线 L： （分数：2.00）A.L 与 垂直相交B.L 平行于 但 L 不在 上C.L 与 非垂直相交D.L 在 上18.2014.9设有直线 L 1 ： ，则 L 1 与 L 2 的夹角 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.19.2005 年，第 2 题将椭圆 ，绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.20.2006 年，第 3 题球面 x 2 +y 2 +z 2 =9 与
7、平面 x+z=1 的交线在 xoy 坐标面上投影的方程是( )。（分数：2.00）A.x 2 +y 2 +(1-x) 2 =9B.C.z 2 +y 2 +(1-z) 2 =9D.21.2007 年，第 3 题下列方程中代表单叶双曲面的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.22.2008 年，第 3 题下列方程中代表锥面的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.23.2011 年，第 1 题在三维空间中方程 y 2 -z 2 =1 所代表的图形是( )。（分数：2.00）A.母线平行 x 轴的双曲柱面B.母线平行 y 轴的双曲柱面C.母线平行 z 轴的双曲柱面D.双曲线24.201
8、2 年，第 16 题曲线 x 2 +4y 2 +z 2 =4 与平面 x+z=a 的交线在 yoz 平面上的投影方程是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.25.2012 年，第 17 题方程 （分数：2.00）A.旋转双曲面B.双叶双曲面C.双曲柱面D.锥面26.2014 年，第 2 题在空间直角坐标系中，方程 x 2 +y 2 -z=0 所表示的图形是( )。（分数：2.00）A.圆锥面B.圆柱面C.球面D.旋转抛物面27.2010 年，第 3 题设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)为偶函数，值域为(-1，1)B.f(x)为奇函数，值域为(-，0)C.f(x)为奇函数，值域
9、为(-1，1)D.f(x)为奇函数，值域为(0，+)28.2005 年，第 5 题下列极限计算中，错误的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.29.2006 年，第 4 题若 （分数：2.00）A.b0，a 为任意实数B.a0，b=0C.=1，b=-8D.a=0，b=030.2007 年，第 4 题若有 （分数：2.00）A.有极限的函数B.有界函数C.无穷小量D.比(x-a)高阶的无穷小注册公用设备工程师给水排水基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 5 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.2005 年，第 1 题设 a
10、b 都是向量，下列说法正确的是( )。（分数：2.00）A.(a+b).(a-b)=a 2 -b 2 B.a.(a.b)=a 2 bC.(a+b)(a-b)=aa-bbD.(a.b) 2 =a 2 b 2解析：解析：利用向量数量积的分配律以及 a.a=a 2 ，有(a+b).(a-b)=a.a+b.a-a.b-b.b=a 2 -b 2 选项 B 和 D 在数量积中使用了结合律，所以是错误的；选项 C 在向量积中使用了交换律，故也是错误的。应选 A。2.2006 年，第 1 题已知 =i+aj-3k，=ai-3j+6k，=-2i+2j+6k，若 ， 共面，则 a 等于( )。（分数：2.00）
11、A.1 或 2B.-1 或 2C.-1 或-2 D.1 或-2解析：解析：若 ， 共面，则 3.2008 年，第 1 题设 =i+2j+3k，=i-3j-2k，与 ， 都垂直的单位向量为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由向量积定义知，故作向量 ， 的向量积，再单位化则可，由于 = =5(i+j-k)，取 i+j-k，再单位化得4.2009 年，第 1 题设 =-i+3j+k，=i+j 十 tk，已知 =-4i-4k，则 t 等于( )。（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：=5.2010 年，第 2 题设 ， 都是非零向量，=，则( )。（分数：2.00）A
12、B. 且 C.() D.()解析：解析：由 ，有 =0，提取公因子得 ()=0，由于两向量平行的充分必要条件是向量积为零，所以 ()，应选 C。6.2013 年，第 1 题已知向量 (-3，-2，1)，(1，-4，-5)，则等于( )。（分数：2.00）A.0B.6C. D.14i+16j-10k解析：解析：由向量积计算公式：7.2005 年，第 2 题过点 M(3，-2，1)且与直线 平行的直线方程是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：直线 的方向向量应垂直于平面 x-y-z+1=0 和平面 2x+y-3z+4=0 的法向量，因此所求直线的方向向量 s 应是这两个法向
13、量的向量积，即8.2005 年，第 3 题过 x 轴和点(1，2，-1)的平面方程是( )。（分数：2.00）A.x+2y-z-6=0B.2x-y=0 C.y+2z=0D.x+z=0解析：解析：过 z 轴的平面方程为 Ax+By=0，再将点(1，2，-1)代入得 A=-2B，故有-2Bx+8y=0，消去 B 得-2x+y=0，应选 B。9.2006 年，第 2 题设平面 x 的方程为 3x-4y-5z-2=0，以下选项中错误的是( )。（分数：2.00）A.平面 过点(-1，0，-1)B.平面 的法向量为-3i+4j+5kC.平面 在 z 轴的截距是D.平面 与平面-2x-y-2z+2=垂直
14、解析：解析：平面 3z-4y-5z-2=0 的法向量为 n 1 =(-3，4，5)，平面-2x-y-2z+2=0 的法向量为，n 2 =(-2，-1，-2)，两个平面垂直的充要条件是法向量的数量积为零，而 n 1 .n 2 =(-3)(-2)+4(-1)+5(-2)=-80，故(D)选项错误。将点(-1，0，-1)代入 3x-4y-5z-2=0 满足，A 选项正确；显然-3i+4j+5k 是平面 的法向量，B 选项正确；将 x=y=0 代入 3x-4y-5z-2=0，解得 z= ，平面 在 z 轴的截距是 10.2007 年，第 1 题设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(1，-1，0)
15、方向向量为 2i+j-k B.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i-j+kC.过点(-1，1，0)，方向向量为-2i-j+kD.过点(-1，1，0)，方向向量为 2i+j-k解析：解析：由所给直线的对称式方程知，直线过点(1，-1，0)，方向向量为-2i-j+k，故 2i+j-k 也是所给直线的方向向量，应选 A。11.2007 年，第 2 题(07 年)设平面 的方程为 2x-2y+3=0，以下选项中错误的是( )。（分数：2.00）A.平面 的法向量为 i-jB.平面 垂直于 z 轴 C.平面 平行于 z 轴D.平面 与 xoy 面的交线为解析：解析：平面 的方程中不含 z，平面 平行
16、于 z 轴，不可能垂直于 z 轴，应选 B。A 选项和 C 选项显然正确； 的方程可改写为 ，而 xoy 面的方程为 z=0，两者联立即为12.2008 年，第 2 题已知平面 过点(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1)的直线的对称方程为( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为直线与平面 垂直，故平面 的法向量就是所求直线的方向向量，又平面 过点(1，1，0)、(0，0，1)、(0，1，1)，三点可确定两个向量，平面 的法向量可取为这两个向量的向量积，即 n=13.2009 年，第 2 题设平面的方程为 x+y+z+1=0，直线
17、的方程为 1-x=y+1=z，则直线与平面( )。（分数：2.00）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直 解析：解析：平面 x+y+z+1=0 的法向量为(1，1，1)，直线 1-x=y+1=z 的方向向量为(-1，1，1)，这两个向量既不垂直也不平行，表明直线与平面相交但不垂直，应选 D。14.2010 年，第 1 题设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(-1，2，-3)，方向向量为 i+2j-3kB.过点(-1，2，-3)，方向向量为-i-2j+3kC.过点(1，2，-3)，方向向量为 i-2j+3kD.过点(1，-2，3)，方向向量为-i-2j+3k 解析：解析：将直线的方程化
18、为对称式得15.2011 年，第 2 题设直线的方程为 x=y-1=z，平面的方程为 x-2y+z=0，则直线与平面( )。（分数：2.00）A.重合B.平行不重合 C.垂直相交D.相交不垂直解析：解析：直线的方向向量为 S=(1，1，1)，平面的法向量为 n=(1，-2，1)，因 s.n=1-2+1=0，这两个向量垂直，从而直线与平面平行，又直线上的点(0，1，0)不在平面上，故直线与平面不重合。应选 B。16.2012.18设直线 L 为 （分数：2.00）A.L 平行于 B.L 在 上C.L 垂直于 D.L 与 斜交解析：解析：直线 L 的方向向量为 s=17.201315已知直线 L：
19、 （分数：2.00）A.L 与 垂直相交B.L 平行于 但 L 不在 上C.L 与 非垂直相交 D.L 在 上解析：解析：平面的法向量为，N=(-2，2，1)，直线的方向向量为 s=(3，-1，2)，对应坐标不成比例，直线与平面不垂直，又 s.n=(3，-1，2) T .(-2，2，1) T =-60，直线与平面不平行。应选 C。18.2014.9设有直线 L 1 ： ，则 L 1 与 L 2 的夹角 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：L 1 的方向向量 s 1 =(1，-2，1)，L 2 的方向向量 s 2 =(-1，-1，2)，cos= 19.2005 年，第
20、2 题将椭圆 ，绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：将 中的变量 z 换成20.2006 年，第 3 题球面 x 2 +y 2 +z 2 =9 与平面 x+z=1 的交线在 xoy 坐标面上投影的方程是( )。（分数：2.00）A.x 2 +y 2 +(1-x) 2 =9B. C.z 2 +y 2 +(1-z) 2 =9D.解析：解析：联立 x 2 +y 2 +z 2 =9 和 x+z=1 消去 z，得投影柱面方程 x 2 +y 2 +(1-x) 2 =9，再与 z=0联立，就得到投影曲线的方程，应选 B。21.2007 年，第 3
21、 题下列方程中代表单叶双曲面的是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 表示单叶双曲面， 表示椭球面， 表示双叶双曲面，22.2008 年，第 3 题下列方程中代表锥面的是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由二次曲面的分类知： 表示锥面； 表示单叶双曲面， 表示双叶双曲面，23.2011 年，第 1 题在三维空间中方程 y 2 -z 2 =1 所代表的图形是( )。（分数：2.00）A.母线平行 x 轴的双曲柱面 B.母线平行 y 轴的双曲柱面C.母线平行 z 轴的双曲柱面D.双曲线解析：解析：方程中缺变量 x，故是母线平行 x 轴的柱面；又 y 2
22、 -z 2 =1 在 yoz 面内表双曲线，故是双曲柱面。应选 A。24.2012 年，第 16 题曲线 x 2 +4y 2 +z 2 =4 与平面 x+z=a 的交线在 yoz 平面上的投影方程是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：联立 x 2 +4y 2 +z 2 =4 和 x+z=a 消去 x，得投影柱面方程，(x-z) 2 +4y 2 +z 2 =4。再与x=0 联立，就得到投影曲线的方程，应选 A。25.2012 年，第 17 题方程 （分数：2.00）A.旋转双曲面 B.双叶双曲面C.双曲柱面D.锥面解析：解析：这是双曲线26.2014 年，第 2 题在空间直
23、角坐标系中，方程 x 2 +y 2 -z=0 所表示的图形是( )。（分数：2.00）A.圆锥面B.圆柱面C.球面D.旋转抛物面 解析：解析：这是抛物线27.2010 年，第 3 题设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)为偶函数，值域为(-1，1)B.f(x)为奇函数，值域为(-，0)C.f(x)为奇函数，值域为(-1，1) D.f(x)为奇函数，值域为(0，+)解析：解析：f(-x)= ，f(x)为奇函数。又 f(x)的定义域为(-，+)；而 知 f(x)单调增，又28.2005 年，第 5 题下列极限计算中，错误的是( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 ，而 sinx 是有界量，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知29.2006 年，第 4 题若 （分数：2.00）A.b0，a 为任意实数 B.a0，b=0C.=1，b=-8D.a=0，b=0解析：解析：利用 ，(其中 P m (x)=a m x m +a m-1 x m-1 +a 0 ，Q n (x)=b n x n +b n-1 x n-1 +b 0 )由 30.2007 年，第 4 题若有 （分数：2.00）A.有极限的函数B.有界函数 C.无穷小量D.比(x-a)高阶的无穷小解析：解析：由
