1、注册公用设备工程师（暖通空调基础考试-上午-数学）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：28，分数：56.00)1.设 =i+2j+3k，=i-j-2k，与 ， 都垂直的单位向量为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.2.设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i+j-kB.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i-j+kC.过点(-1，1，0)，方向向量为-2i-j+kD.过点(-1，1，0)，方向向量为 2i+j-k3.下列方程中代表单叶双曲面的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.4.若 （分
2、数：2.00）A.b0，a 为任意实数B.a0，b=0C.a=1，b=-8D.a=0，b=05.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.-1D.A6.函数 在点 x 的导数是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x 0 )= （分数：2.00）A.是x 的高阶无穷小B.是x 的低阶无穷小C.是x 的等价无穷小D.是x 的同阶无穷小8.函数 y=x 3 -6x 上切线平行于 x 轴的点是( )。（分数：2.00）A.(0，0)B.C.D.(1，2)和(-1，2)9.函数 y=f(x)在点 x=x 2 处取得极小值，则必有( )。（分数：2.00）A.f(x 2 )
3、=0B.f(x 2 )0C.f(x 2 )=0 且 f(x 2 )0D.f(x 2 )=0 或导数不存在10.下列等式中错误的是( )。（分数：2.00）A.f(x)dx=f(x)+cB.df(xx)=f(x)C.D.df(x)dx=f(x)dx11.不定积分e -2x dx 等于( )。(式中 C 为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D.12.下列结论中，错误的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.13.下列广义积分中收敛的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 D 是曲线 y=x 2 与 y=1 所围闭区域， （分数：2.00）A.1B.C.0D.215.曲线
4、 y=e x 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围图形的面积为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.已知级数 (u 2n-1 -u 2n )是收敛的，则下列结果成立的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.17.若幂级数 a n (2x-1) n 在 x=2 处收敛，则该级数在 x= （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定18.级数 (-1) n x n 在x1 内收敛于函数( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.19.微分方程(1+2y)xdx-(1+x 2 )dy=0 的通解是( )。（分数：2.00）A.B.(1+x 2 )(1+2y)=C
5、C.(1+2y) 2 = D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)=C20.微分方程 y=x+sinx 的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D.21.设 （分数：2.00）A.D 1 =D 2B.D 1 = C.D 1 =3 n D 2D.D 1 =-3 n D 222.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则以下选项中成立的是( )。（分数：2.00）A.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 AB.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 列得 AC.B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 AD.B
6、的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A23.设 A= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.与 a 的取值有关24.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是( )。（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性相关D.A 的列向量组线性无关25.可逆矩阵 A 与矩阵( )有相同的特征值。（分数：2.00）A.A TB.A -1C.A 2D.A+E26.设 A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量 x，都有 x t Ax=0，那么( )。（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对27.袋中有
7、5 个大小相同的球，其中 3 个是白球，2 个是红球，一次随机地取出 3 个球，其中恰有 2 个是白球的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.28.三个人独立地去破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为 ，则这份密码被译出的概率为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.注册公用设备工程师（暖通空调基础考试-上午-数学）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：28，分数：56.00)1.设 =i+2j+3k，=i-j-2k，与 ， 都垂直的单位向量为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：作向量 ， 的向量积
8、，再单位化则可。由于 = =5(i+j-k)，单位化得2.设直线的方程为 （分数：2.00）A.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i+j-k B.过点(1，-1，0)，方向向量为 2i-j+kC.过点(-1，1，0)，方向向量为-2i-j+kD.过点(-1，1，0)，方向向量为 2i+j-k解析：解析：由所给直线的方程知，直线过点(1，-1，0)，方向向量为-2i-j+k，或 2i+j-k，故应选 A。3.下列方程中代表单叶双曲面的是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： -z 2 =1 表示单叶双曲面， +z 2 =1 表示椭球面， -z 2 =1 表示双叶双曲面， 4
9、.若 （分数：2.00）A.b0，a 为任意实数 B.a0，b=0C.a=1，b=-8D.a=0，b=0解析：解析：利用有理式极限的结论，由5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.A解析：解析：f(x)在 x=0 处连续，则在该点左右极限存在且相等，并等于 f(0)=1+a，由于6.函数 在点 x 的导数是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：7.设 f(x 0 )= （分数：2.00）A.是x 的高阶无穷小B.是x 的低阶无穷小C.是x 的等价无穷小D.是x 的同阶无穷小 解析：解析：dy=8.函数 y=x 3 -6x 上切线平行于 x 轴的点
10、是( )。（分数：2.00）A.(0，0)B.C. D.(1，2)和(-1，2)解析：解析：由于导数 f(x 0 )表达曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处切线的斜率，故要求切线平行于x 轴的点即是求导数为零的点，由 y=3x 2 -6=0 ，代入 y=x 3 -6x，得 ，所求点为 9.函数 y=f(x)在点 x=x 2 处取得极小值，则必有( )。（分数：2.00）A.f(x 2 )=0B.f(x 2 )0C.f(x 2 )=0 且 f(x 2 )0D.f(x 2 )=0 或导数不存在 解析：解析：f(x 2 )=0 的点 x=x 2 是驻点，并不一定是极值点;f(x 2 )
11、=0 且，f(x 2 )0 是 y=f(x)在点 x=x 2 处取得极小值的充分条件，但不是必要的，故选项 A、B、C 都不正确；极值点必从驻点或导数不存在点取得，应选 D。10.下列等式中错误的是( )。（分数：2.00）A.f(x)dx=f(x)+cB.df(xx)=f(x) C.D.df(x)dx=f(x)dx解析：解析：df(x)=f(x)+C，故应选 B。11.不定积分e -2x dx 等于( )。(式中 C 为任意常数)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：用分部积分法，有12.下列结论中，错误的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：13.下列广义积
12、分中收敛的是( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为14.设 D 是曲线 y=x 2 与 y=1 所围闭区域， （分数：2.00）A.1B.C.0 D.2解析：解析： 15.曲线 y=e x 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围图形的面积为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设切点为(x 0 ，y 0 )，过原点的切线方程为 y=e x0 x，由于 e x0 =e x0 x 0 ，故 x 0 =1。所以曲线 y=e x 过原点的切线方程为 y=ex，再由图 1-4 所示，知所求面积为 (e x -ex)dx，故应选A。 16.已知级数 (u 2n-1
13、-u 2n )是收敛的，则下列结果成立的是( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：级数 (1-1)收敛，但级数 收敛，而17.若幂级数 a n (2x-1) n 在 x=2 处收敛，则该级数在 x= （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解析：因 a n (22-1) n = a n 3 n 收敛，即幂级数 a n y n 在y3 时绝对收敛。由此，当2x-13，即-1x2 时，级数 18.级数 (-1) n x n 在x1 内收敛于函数( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这是公比为-x 首项为 1 的等比级数，故应选
14、 B。19.微分方程(1+2y)xdx-(1+x 2 )dy=0 的通解是( )。（分数：2.00）A. B.(1+x 2 )(1+2y)=CC.(1+2y) 2 = D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)=C解析：解析：分离变量得， 20.微分方程 y=x+sinx 的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对 y=x+sinx 两边积分两次，可得 y= 21.设 （分数：2.00）A.D 1 =D 2B.D 1 = C.D 1 =3 n D 2 D.D 1 =-3 n D 2解析：解析：从 D 1 中每行提一个公因子 3 可得 D 2
15、，故 D 1 =3 n D 2 。22.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则以下选项中成立的是( )。（分数：2.00）A.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A B.B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 列得 AC.B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 AD.B 的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A解析：解析：由于矩阵 B 是将矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行而得到，即矩阵 B 是由矩阵 A 经过一次初等行变换而得到，要由矩阵 B 得到矩阵 A，只要对矩阵 B 作上述变换的逆变换则可，即将 B 的第 1 行的
16、-2倍加到第 2 行可得 A，故应选 A。23.设 A= （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.与 a 的取值有关解析：解析：AB-A=A(B-E)，B-E=24.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是( )。（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性相关D.A 的列向量组线性无关 解析：解析：齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是 R(A)=n，而 R(A)=n 等价于 A 的列向量组线性无关，故选 D。25.可逆矩阵 A 与矩阵( )有相同的特征值。（分数：2.00）A.A T B.A -
17、1C.A 2D.A+E解析：解析：因为A T -E=(A-E) T =A-E，故 A 与 A T 有相同的特征值，故选 A。26.设 A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量 x，都有 x t Ax=0，那么( )。（分数：2.00）A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：由 x T Ax=0，得(x T Ax) T =x T Ax=0，于是 x T (A+A T )x=0 对任一三维列向量 x 均成立，其中 A+A T 为对称阵，故必有 A+A T =0，即 A=-A T ，A 为三阶反对称阵，于是A=0，故应选 A。27.袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个是白球，2
18、个是红球，一次随机地取出 3 个球，其中恰有 2 个是白球的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：从袋中随机地取出 3 个球的不同取法共有 C 5 3 种，恰有 2 个是白球的取法有 C 3 2 C 2 1 种，故应选 D。28.三个人独立地去破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为 ，则这份密码被译出的概率为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设第 i 人译出密码的事件为 A I (i=1，2，3)，则这份密码被译出的事件为 A 1 +A 2 +A 3 ， 再由 A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，故 P(A 1 +A 2 +A 3 )=
