1、注册公用设备工程师（暖通空调基础考试-下午-数学）-试卷 13 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：28，分数：56.00)1.已知 3 维列向量 ， 满足 T =2，设 3 阶矩阵 A= T ，则：（分数：2.00）A. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量B. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量C. 是 A 的属于特征值 2 的特征向量D. 是 A 的属于特征值 2 的特征向量2.设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，B=P -1 AP，已知 是 A 的属于特征值 3 的特征向量，则B 的属于特征值 3 的特征向量是( )。（分数：
2、2.00）A.PB.P -1 C.D.(P -1 ) T 3.设三阶方阵 A 的特征值 1 =1，对应的特征向量 1 ；特征值 2 = 3 =-2，对应两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，令 P=( 3 ， 2 ， 1 )，则 P -1 AP=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A= （分数：2.00）A.2B.-2C.4D.-45.设 A= ，与 A 合同的矩阵是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.6.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(-1)x 1 2 +x 2 2 +(+1)x 3 2 ，当满足( )时，是正定二次型。（分数：2.00）A.1B.0C.1
3、D.17.n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则下列不成立的是( )。（分数：2.00）A.所有 k 级子式为正(k=1，2，n)B.A 的所有特征值非负C.A -1 为正定矩阵D.秩(A)=n8.甲、乙、丙三人各射一次靶，事件 A 表示“甲中靶”，事件 B 表示“乙中靶”，事件 C 表示“丙中靶”，则“三人中至多两人中靶”可表示为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.9.当下列哪项成立时，事件 A 与 B 为对立事件( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.10.将 3 个不同的球随机地放入 5 个不同的杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.
4、D.11.设 A，B 是 2 个互不相容的事件，P(A)0，P(B)0，则( )一定成立。（分数：2.00）A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=0C.D.12.若 P(A)=05，P(B)=04， （分数：2.00）A.06B.07C.08D.0913.设事件 A 与 B 相互独立，且 =( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.袋中共有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，每次取 1 个，无放回的取 2 次，则第二次取到新球的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设有一箱产品由三家工厂生产，第一家工厂生产总量的 ，其他两厂各生产总量的 （分数：2.00）A
5、.085B.0765C.0975D.09516.10 张奖券中有 3 张中奖的奖券，两个人先后随机地各买一张，若已知第二人中奖，则第一人中奖的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.2ln2B.21n2-1C.ln2D.ln2-118.设随机变量 X 的分布密度为 则使 P(Xa)=P(Xa)成立的常数 a=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.19.设随机变量 XN(0， 2 )，则对任何实数 都有( )。（分数：2.00）A.P(X)=P(X)B.P(X)=P(X-)C.XN(0， 2 )D.XN(， 2
6、 - 2 )20.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.1B.C.2D.21.设 X 的密度函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.C.D.622.设随机变量 X 与 Y 相互独立，方差分别为 6 和 3，则 D(2X-Y)=( )。（分数：2.00）A.9B.15C.21D.2723.有一群人受某种疾病感染患病的占 20。现随机地从他们中抽 50 人，则其中患病人数的数学期望和方差是( )。（分数：2.00）A.25 和 8B.10 和 28C.25 和 64D.10 和 824.设总体 X 的概率分布为 其中 （分数：2.00）A.B.C.2D.025.设总
7、体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中 -1 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，则 的矩估计量是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.26.设射手在向同一目标的 80 次射击中，命中 75 次，则参数的最大似然估计值为( )。（分数：2.00）A.B.0C.D.127.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，若 （分数：2.00）A.B.2nC.D.2(n-1)28.某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布 N( 0 ， 0 2 )， 0 ， 0 2 为已知，现从某日生产的一批产品中，随机抽 16 缕进行支数测量，求得子样
8、均值及方差为 A，B 要检验纱的均匀度是否变劣，则提出假设( )。（分数：2.00）A.H 0 ：= 0 ；H 1 ： 0B.H 0 ：= 0 ；H 1 ： 0C.H 0 ：= 0 2 ；H 1 ： 0 2D.H 0 ：= 0 2 ；H 1 ： 0 2注册公用设备工程师（暖通空调基础考试-下午-数学）-试卷 13 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：28，分数：56.00)1.已知 3 维列向量 ， 满足 T =2，设 3 阶矩阵 A= T ，则：（分数：2.00）A. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量B. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量C. 是
9、 A 的属于特征值 2 的特征向量D. 是 A 的属于特征值 2 的特征向量 解析：解析：A= T =2。2.设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，B=P -1 AP，已知 是 A 的属于特征值 3 的特征向量，则B 的属于特征值 3 的特征向量是( )。（分数：2.00）A.PB.P -1 C.D.(P -1 ) T 解析：解析：由 是 A 的属于特征值 3 的特征向量，有 A=3；再由 B=P -1 AP，BP -1 =P -1 APP -1 =3P -1 ，故向量 P -1 是矩阵 B 的属于特征值 3 的特征向量。3.设三阶方阵 A 的特征值 1 =1，对应的特征向量
10、1 ；特征值 2 = 3 =-2，对应两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，令 P=( 3 ， 2 ， 1 )，则 P -1 AP=( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方阵 A 有 3 个线性无关特征向量，故可与对角阵相似，AP=A 3 ， 2 ， 1 =A 3 ，A 2 ，A 1 = 3 ， 2 ， 1 4.设 A= （分数：2.00）A.2B.-2 C.4D.-4解析：解析：A 有三个线性无关的特征向量，说明存在可逆矩阵 P，使得 5.设 A= ，与 A 合同的矩阵是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用合同矩阵的定义取 C= ，则 C=C T
11、，而 C T AC= 6.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(-1)x 1 2 +x 2 2 +(+1)x 3 2 ，当满足( )时，是正定二次型。（分数：2.00）A.1B.0C.1 D.1解析：解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )正定的充分必要条件是它的标准形的系数全为正，故 -10且 0 且 +10，所以 1，应选 C。7.n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则下列不成立的是( )。（分数：2.00）A.所有 k 级子式为正(k=1，2，n) B.A 的所有特征值非负C.A -1 为正定矩阵D.秩(A)=n解析：解析：显然 B，D 成立，若 A 的特征值为 1 ， 2
12、 ， n ，则 A -1 的特征值为 8.甲、乙、丙三人各射一次靶，事件 A 表示“甲中靶”，事件 B 表示“乙中靶”，事件 C 表示“丙中靶”，则“三人中至多两人中靶”可表示为( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：“三人中至多两人中靶”是“三个人都中靶”的逆事件，故应选 B。9.当下列哪项成立时，事件 A 与 B 为对立事件( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由对立事件定义，知 AB=10.将 3 个不同的球随机地放入 5 个不同的杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：将 3 个球随机地放
13、人 5 个杯子中，各种不同的放法有 5 3 种，杯中球的最大个数为 2 的不同放法有 C 3 2 .5.4=60 种，则杯中球的最大个数为 2 的概率是 11.设 A，B 是 2 个互不相容的事件，P(A)0，P(B)0，则( )一定成立。（分数：2.00）A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=0 C.D.解析：解析：利用互不相容定义及条件概率定义。12.若 P(A)=05，P(B)=04， （分数：2.00）A.06B.07C.08 D.09解析：解析： =P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以 P(AB)=P(B)-13.设事件 A 与 B 相互独立，且 =( )。 （分数：2.00
14、）A.B.C.D. 解析：解析：由条件概率定义， 又由 A 与 B 相互独立，知 A 与 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)=14.袋中共有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，每次取 1 个，无放回的取 2 次，则第二次取到新球的概率是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：用 A i (i=1，2)表示“第 i 取到新球”，则由全概率公式 P(A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )+ 15.设有一箱产品由三家工厂生产，第一家工厂生产总量的 ，其他两厂各生产总量的 （分数：2.00）A.085B.0765C.0975 D.095解析：解析：用 A i
15、(i=1，2，3)表示“产品是第 i 家工厂生产”，用 A 表示“取到正品”，则由全概率公式，P(A)=P(A 1 )P(AA 1 )+P(A 2 )P(AA 2 )+P(A 3 )P(AA 3 )= 16.10 张奖券中有 3 张中奖的奖券，两个人先后随机地各买一张，若已知第二人中奖，则第一人中奖的概率是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：用 A i (i=1，2)表示“第 i 个人中奖”，由于 P(A 1 )= ，P(A 2 A 1 )= ，则由贝叶斯公式，P(A 1 A 2 )= 17.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.2ln2B.21
16、n2-1 C.ln2D.ln2-1解析：解析：P(1X4)=18.设随机变量 X 的分布密度为 则使 P(Xa)=P(Xa)成立的常数 a=( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：P(Xa)=19.设随机变量 XN(0， 2 )，则对任何实数 都有( )。（分数：2.00）A.P(X)=P(X)B.P(X)=P(X-) C.XN(0， 2 )D.XN(， 2 - 2 )解析：解析：由于有 XN(， 2 )，则 aX+bNatz+b，(a) 2 ；故 XN(0， 2 2 )，X-N(-， 2 )，因 P(x)=1-P(x)，故 A 项不成立。或利用标准正态分布的对称性，可知 B
17、 成立。20.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.1B. C.2D.解析：解析：21.设 X 的密度函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B. C.D.6解析：解析： ，E(X 2 )= ，D(x)=EX 2 -(EX) 2 = 22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，方差分别为 6 和 3，则 D(2X-Y)=( )。（分数：2.00）A.9B.15C.21D.27 解析：解析：由 X 与 Y 相互独立，D(2X-Y)=4DX+DY=27。23.有一群人受某种疾病感染患病的占 20。现随机地从他们中抽 50 人，则其中患病人数的数学期望和方差是( )。（分数：
18、2.00）A.25 和 8B.10 和 28C.25 和 64D.10 和 8 解析：解析：用随机变量 X 表患病人数，则 XB(50，02)，EX=np=5002=10，DX=np(1-p)=1008=8。24.设总体 X 的概率分布为 其中 （分数：2.00）A. B.C.2D.0解析：解析： =0. 2 +1.2(1-)+2. 2 +3.(1-2)=3-4，= 25.设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中 -1 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，则 的矩估计量是( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：26.设射手在向同一目标的 80 次
19、射击中，命中 75 次，则参数的最大似然估计值为( )。（分数：2.00）A. B.0C.D.1解析：解析：记 ，则 X 服从两点分布。 P(X=x)=p * (1-p) 1-x ，x=0，1，似然函数为 27.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，若 （分数：2.00）A.B.2nC. D.2(n-1)解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，故 X 1 ，X 2 ，X n 两两相互独立，有 EX i+1 X i =EX i+1 .EX i =(EX) 2 = 2 ， EX i+1 2 =EX i 2
20、=EX 2 =DX+(Ex) 2 = 2 + 2 = (X i+1 2 +X i -2X i2+1 X i ) = (EX i+1 2 +EX i 2 -2EX i+1 X i )= ( 2 + 2 + 2 + 2 -2)=2(n-1) 2 c 故 28.某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布 N( 0 ， 0 2 )， 0 ， 0 2 为已知，现从某日生产的一批产品中，随机抽 16 缕进行支数测量，求得子样均值及方差为 A，B 要检验纱的均匀度是否变劣，则提出假设( )。（分数：2.00）A.H 0 ：= 0 ；H 1 ： 0B.H 0 ：= 0 ；H 1 ： 0C.H 0 ：= 0 2 ；H 1 ： 0 2 D.H 0 ：= 0 2 ；H 1 ： 0 2解析：解析：因为要检验均匀度，故检验总体方差不超过 0 2 。
